高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市十校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若傾斜角為，則斜率，觀察選項(xiàng)可知，ABD不滿足，C滿足.故選：C.2.橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，所以，所以焦距為，故選：A.3.設(shè)空間向量，則（）A.6 B.9 C.-6 D.-9【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，解得故選：B.4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外離 D.外切【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，，則，故兩圓外切.故選：D.5.設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相等，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】D【解析】設(shè)，，則（*）,，由,，則，即有，將其代入（*）,，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓.故選：D.6.若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由曲線，整理可得，則曲線為圓心、半徑的圓的上半部分，如下圖：由圖可得直線與圓相切，則，解得，由圖可得直線的方程為；；由圖可得直線過(guò)，可得方程；由圖可得直線過(guò)，可得方程.由圖可得.故選：A.7.在直三棱柱中，，，，，為的重心，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直三棱柱中，底面；設(shè),底面是等腰三角形，，，則邊上的高為，因此,直三棱柱的高，所以頂點(diǎn)；由，故，因此,

是的重心，重心坐標(biāo)為三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值，即：,平面過(guò)點(diǎn)，取向量：,設(shè)平面的法向量為，則：，由得，代入第二個(gè)方程得，取，則，故法向量,平面過(guò)原點(diǎn)，因此平面方程為,對(duì)于平面，點(diǎn)的距離為：，因此，點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.8.如圖，若平行光線與平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈橢圓形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，球的大圓在光線照射下形成橢圓形，易知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，因?yàn)?，所?故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在四面體中，，，分別為棱的中點(diǎn)，且，則（）A. B.C D.【答案】AB【解析】由題意如圖所示：連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，由，故A正確，C不正確；因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；由，故D不正確.故選：AB.10.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，所以，又圓的半徑為2，所以，解得或，故選：BCD.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為0B.的最大值為C.若存在點(diǎn)，使得，的斜率分別為，，則的離心率可能為D.若存在點(diǎn)，使得，的斜率分別為，，則的離心率可能為【答案】ABD【解析】由題知，設(shè)，對(duì)于A，因?yàn)?，則，又，則，又，所以，故A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，則，又，則，又，所以，故B正確，若，的斜率分別為，，又，且，則，整理得到，由，得到，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線，之間的距離為_(kāi)_________.【答案】或【解析】將直線的方程化為直線，由平行直線之間的距離公式得.故答案為：.13.已知為橢圓上任意一點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，所以，又因?yàn)闉闄E圓上任意一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.故答案為：.14.在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).若，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】6【解析】以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，設(shè)，則，由于，則，在平面內(nèi)表示一條直線，令得，，令得，，則，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為6，故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）分別求直線在軸、軸上的截距；（2）求過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（3）若直線的傾斜角為，求直線的傾斜角.解：（1），當(dāng)時(shí)，，則軸上的截距為10；當(dāng)時(shí)，，則軸上的截距為.（2）設(shè)所求直線的斜率為，的斜率為，因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得，又所求直線過(guò)點(diǎn)，則所求直線方程為，整理得到.（3）直線的傾斜角為，，，的斜率為，直線的傾斜角為.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且為上的動(dòng)點(diǎn).（1）若，求；（2）設(shè)點(diǎn)，求的最小值與最大值.解：（1）依題意得：，根據(jù)橢圓定義可得：，已知，聯(lián)立以下兩個(gè)方程：，將兩式相加，得，因此.（2）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，左焦點(diǎn)；根據(jù)橢圓定義，，因此，代入，得：，對(duì)任意點(diǎn)，有，當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)；因?yàn)?，所以，代入，得：最小值：，?dāng)在延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得；

最大值：當(dāng)在的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得.17.在四棱錐中，底面，，.（1）證明：平面.（2）設(shè)，.（i）求直線與平面所成角的正弦值；（ii）證明：平面與平面的夾角的余弦值小于.（1）證明：,且平面，平面，故平面.（2）(i)解：因?yàn)榈酌妫?面,，又，故以A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖：，.故，，.設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，，設(shè)直線與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.（ii）證明：設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，.設(shè)平面與平面的夾角為，則，，，故平面與平面的夾角的余弦值小于.18.已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，求的最大值.（3）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，而，故，化簡(jiǎn)得：，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線：得：，故，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：，令，，故，令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，最大，即最大，此時(shí)，故（舍）或，故最大值為：.（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線為：.聯(lián)立直線與曲線：得：，故，，，又，位于過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線：上，故，.則，將代入上式，得：，若使為定值，則必須為常數(shù)，而且與無(wú)關(guān)，故此時(shí)只能為：，故存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：.19.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程.（2）設(shè)直線與相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（i）若，的橫坐標(biāo)大于的橫坐標(biāo)，求直