浙江省寧波市三鋒聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，若，則（）A B. C.2 D.1【答案】A【解析】因為，，則，解得.故選：A.2.已知直線的傾斜角為，則直線的一個方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的一個方向向量為，與其共線的有，故選：B.3.已知橢圓方程為，橢圓上的點到左焦點的最大值為5，最小值為1，則橢圓方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓焦距為2c,由題意得，解得，則，所以橢圓方程為.故選：A.4.已知直線與直線關(guān)于點對稱，則實數(shù)（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】因為不在直線上，且直線與直線關(guān)于點對稱，所以直線與直線平行，即，解得.在直線上取一點，關(guān)于點的對稱點為,將代入直線，解得.故選：C.5.已知圓方程為，為圓上的動點，則（）A.最大值為 B.最大值為C.最大值為3 D.最小值為【答案】B【解析】，對選項A，表示圓上點與原點連線的斜率，如圖所示，當(dāng)與圓相切的如圖情形時，取得最大值，此時，，故A錯誤.對選項B，設(shè)（為參數(shù)），則，當(dāng)時，取得最大值，故B正確.對選項C，表示圓上點到原點距離的平方，如圖所示情形下：最大值為，故C錯誤.對選項D，設(shè)（為參數(shù)），則，當(dāng)時，取得最小值，故D錯誤.故選：B.6.在正三棱柱中，，點在棱上，且三棱錐的體積為，則直線與所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，分別取的中點，連接，以為原點，以方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值等于，故選：D7.已知為橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，連接交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，，，由得，解得，可知，則，在中由余弦定理得，化簡得，即，即離心率.故選：B.8.已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由知：圓心，半徑；由得，所以恒過定點；由得，所以恒過定點；由直線方程可知：，所以，所以，即，設(shè)，則，，所以，整理得，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線斜率存在，則無法表示直線，而無法表示直線，所以點軌跡不包含；記點為弦的中點，則，位置關(guān)系如圖：

連接，由知：，則，所以（當(dāng)在處取等號），即的最小值為.故選：A.二．多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，直線，則（）A.若，則B.若，則C.過定點D.當(dāng)不經(jīng)過第二象限時，則【答案】BC【解析】因為直線，直線，對于選項A：若，則，解得或，故A錯誤；對于選項B：若，則，解得或，若，則直線，直線，可知，符合題意；若，則直線，直線，可知兩直線重合，不符合題意；綜上所述：，故B正確；對于選項C：因為直線，即為，令，解得，所以過定點，故C正確；對于選項D：因為不經(jīng)過第二象限，若，直線，不經(jīng)過第二象限，符合題意；若，則直線，可得，解得；綜上所述：，故D錯誤；故選：BC.10.圓，直線，則（）A.直線與圓必相交B.圓被軸截得的弦長為C.圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為D.時，圓上存在四個點到直線的距離為2【答案】ABD【解析】由題可知圓的圓心，半徑.由直線，得，所以直線過定點.對于A，因為，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確；對于B，當(dāng)時，，所以，或.所以圓被軸截得的弦長為，所以B正確；對于C，當(dāng)圓被直線截得的弦長最短時，圓心到直線的距離最大，最大值為，此時，直線與垂直，因為的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.所以C不正確；對于D，當(dāng)時，直線的方程為，此時圓心C到直線的距離為，因為，所以圓上存在四個點到直線的距離為2，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，在矩形中，，，分別為，中點，將沿直線翻折成，與不重合，連結(jié)，為中點，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法中正確的是（）A.在翻折過程中，B.當(dāng)時，DE平面C.在翻折過程中，三棱錐外接球的體積為D.三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】由題意可知，，對于A，取AB的中點G，連接GH，GE，，則，且，又，且，所以，且，四邊形ECHG是平行四邊形，，而，故A正確；對于B，由余弦定理可得，又因為，則，則，由于四邊形為正方形，則，連接，則為中點，連接，則，則，又，平面，則平面，故B正確；對于C，取的中點，連接，所以，即點為三棱錐的外接球的球心，半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故C錯誤；對于D，，，在翻折過程中，當(dāng)平面平面時，點到平面距離最大，則此時最大，且此時距離為，則，，D正確；故選：ABD.三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求橢圓的焦點坐標(biāo)_________________．【答案】【解析】由題意得，又因為橢圓焦點在軸上，則焦點坐標(biāo)為.故答案為：.13.已知正方體的棱長為2，為線段的中點，則點到平面的距離為_________________．【答案】【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為2，可得，則，設(shè)平面的法向量為，可得，即，令，解得，即平面的一個法向量為，則點到平面距離為.故答案為：.14.若對于圓上任意的點，直線上總存在不同兩點，使得，則的最小值為_________________．【答案】6【解析】圓，得到，圓心，.到直線的距離，所以直線與圓相離.如圖所示，直線上總存在不同兩點，使得，當(dāng)以為直徑的圓與圓內(nèi)切時，且時，取得最小值.所以.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線經(jīng)過兩直線和的交點．（1）若直線與直線垂直，求直線方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的和為0，求直線的方程．解：（1）由，得.直線和的交點為.因為直線與直線垂直，所以可設(shè)直線的方程為：.因為直線過，所以，解得.所以直線的方程為：.（2）設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，由題可知.若，設(shè)直線的方程為.因為直線過，所以，解得.所以直線的方程為：，即.若，則，且.設(shè)直線的方程為.因為直線過，所以，解得.所以直線的方程為：，即.綜上所述，直線的方程為：，或.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，點為線段的中點．（1）求證：平面；（2）點為線段中點，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖所示，連接，交于，連接，因為底面為正方形，所以是中點，因為點為線段的中點，所以在中，，可知面，面，所以平面.（2）解：如圖所示，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，即，令，解得，則平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，.所以與平面所成角的正弦值為.17.已知圓，若直線過坐標(biāo)原點，且與圓交于兩點．（1）若，求直線的方程；（2）若點是圓所在平面內(nèi)的動點，為坐標(biāo)原點，滿足，求點的軌跡方程．解：（1）由題意可得，可知圓心，半徑為，當(dāng)時，可知，此時圓心到直線的距離為，如圖所示，可知當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線距離為1，符合條件；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，此時圓心到直線距離為，化簡得，解得，此時直線方程為，綜上所述，直線方程為或.（2）設(shè)點，已知，則，則由得，化簡得，可得點的軌跡方程為.18.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為的正三角形，，與平面所成角為.（1）證明：平面；（2）若點為中點，點為棱上一點（不與重合），且滿足，是否存在使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在求出值，若不存在請說明理由．（1）證明：取中點，連接，如圖所示，因為是邊長為的正三角形，所以且，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，且，側(cè)面，所以底面，所以與平面所成角即為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，因為底面，平面，所以，且，平面，所以平面；（2）解：設(shè)存在滿足條件，因為為棱上一點（不與重合），所以，因為，所以，所以，因為為的中點，所以，所以，以為原點，以方向為軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因為，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以，取，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以，取，則，所以，設(shè)平面與平面所成角為，所以，解得，所以存在使得平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上的兩點，且滿足，求證：直線過定點