專題03活用正余弦定理玩轉(zhuǎn)三角形【考點(diǎn)預(yù)測】1、正弦定理（其中為外接圓的半徑）．常用變形：（1）；（2）；（3）；（4），，．2、余弦定理，，，，，3、三角形中的常見結(jié)論（1）．（2）在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊：．（3）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．（4）的面積公式①（表示邊上的高）；②；③（為內(nèi)切圓半徑）；④，其中．4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．5、實(shí)際問題中的常用角（1）仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．（3）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（4）坡度＝，即坡角的正切值．【典型例題】例1．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面積為，求的周長.【解析】（1）由題意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周長為.例2．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.【解析】（1）由，得，即，所以由正弦定理及余弦定理，得，化簡得.（2）由余弦定理，得，所以，即①.又由①知②聯(lián)立①②，得，所以，即的面積為.例3.設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，則，又，所以．（2）因?yàn)?，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以．例4．如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時(shí)的速度沿著直線追擊(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解析】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.例5．已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量，，且.(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長.【解析】（1）因?yàn)?，所?

由正弦定理，得，即，

由余弦定理，得.因?yàn)?，所?（2），解得.因?yàn)?，所以為的三等分點(diǎn)，，則，所以，.例6．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的大??；(2)若，，求c的長．【解析】（1）因?yàn)橹?，，所以，又，∴，又，所以；?）由余弦定理，所以，∴．例7．在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．(1)求的值;(2)若，求的周長與面積．【解析】（1）若選①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，故．若選②:由，化簡得，代入中，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，則，故．若選③:因?yàn)?，所以，即，則．因?yàn)?，所以，則，故．（2）因?yàn)椋?，所以．由?）得，則，由正弦定理得，則．故的周長為，的面積為．例8．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求.【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，又，∴，即，又且為三角形?nèi)角，，則，即.（2）由（1）知，，由正弦定理可得，.根據(jù)余弦定理可知，，，聯(lián)立可得，.又，則，所以，則，則，又，則.例9．在，中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且，求的面積.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，則，所以，即，故，又，所以，故.（2）由題意設(shè)，，，由（1）得，在中由余弦定理可得，①，因?yàn)椋?，即②，?lián)立①②，解得（負(fù)值舍去），則，，是等邊三角形，所以，即的面積是．【過關(guān)測試】一、單選題1．中，角的對(duì)邊分別為，且，，，那么滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)樵谥校?，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選：.2．在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.3．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，結(jié)合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故選：D4．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】由得，又，所以，從而，所以.故選：B5．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】在中，因?yàn)椋?，，由余弦定理，即，解得或（舍去?故選：C6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則c的值為（

）A． B．7 C．37 D．6【答案】A【解析】由得，即，解得或(舍去)．由及正弦定理，得，結(jié)合，得.由余弦定理，知，

所以.故選：A7．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，邊化角得，又，所以，展開得，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．8．在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，利用正弦定理，可得，，，，，，①時(shí)，有等式成立，此時(shí)；②時(shí)，有，因?yàn)?，所以?故為等腰或直角三角形.故選：D二、多選題9．在中，若，下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．若，則外接圓的半徑為【答案】ACD【解析】根據(jù)正弦定理由，因此選項(xiàng)A正確；設(shè)，所以為最大角，，所以為銳角，因此是銳角三角形，因此選項(xiàng)B不正確；，顯然為銳角，，因此有，因此選項(xiàng)C正確；由，外接圓的半徑為：，因此選項(xiàng)D正確，故選：ACD10．在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，下列敘述正確的是(

)A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則為等腰三角形D．若，則為等腰三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，則a=b，即△ABC為等腰三角形，故A正確；對(duì)于B，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，即△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC為等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，若，則根據(jù)正弦定理得：，則由B選項(xiàng)可知，此時(shí)△ABC為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的值可能為（

）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】BC【解析】在中，由正弦定理得，，因滿足條件的三角形有兩個(gè)，則必有，且，即，于是得，解得，顯然x可取1.5，1.8.故選：BC12．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則A． B． C． D．【答案】AD【解析】.整理可得:可得為三角形內(nèi)角,故A正確，B錯(cuò)誤.解得,由余弦定理得解得,故C錯(cuò)誤，D正確.故選:AD.三、填空題13．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.【答案】【解析】將等式兩邊同時(shí)乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.故答案為：.14．如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測量兩山頂間的距離.現(xiàn)選擇與山腳在同一平面的點(diǎn)為觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及，若米，米，則等于__________米.【答案】【解析】在中，，所以，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以(米).故答案為：.15．△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則△的面積為_______．【答案】【解析】由余弦定理得：，則，解得：，∴.故答案為：.16．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則的面積為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．由正弦定理，得，即，化簡得．又，，所以，故．又由余弦定理．解得或．?dāng)時(shí)，．又，則，與矛盾，所以不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，．故答案為：17．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，、、所對(duì)的邊長分別為、、，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為__.【答案】【解析】由于，所以，故，即，因?yàn)?，，?由余弦定理得，整理得，所以.故答案為：四、解答題18．如圖，我國南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為.為鈍角，且.（1）求小島與小島之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；（2）記為，為，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，且角為鈍角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為.∵，，，四點(diǎn)共圓，∴角與角互補(bǔ)，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因?yàn)?，所以，且為銳角，所以為銳角，所以，又因?yàn)椋?，所?19．在中，角A，，所對(duì)的邊分別是，，，且，(1)若，求，(2)若，且，求的面積.【解析】（1），由正弦定理可得，故.由余弦定理得.（2），則，故.20．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.【解析】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.21．在中，角所對(duì)的邊分別為．已知且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）由邊化角可得，又因?yàn)?所以，又因?yàn)榈?，將代入，整理得，或（舍），所?（2）由（1）得得，，且，則，所以.（3）由余弦定理，得，因?yàn)?所以，又因?yàn)?，所以，所?所以.22．在中，角所對(duì)邊分別為，，，且，，.(1)求邊及的值；(2)求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，即，所以，即，解得（?fù)值舍去），則，所以，則，因?yàn)椋?，所?（2）在中，，由（1）可得，則，所以，，則，，所以.23．在中，角所對(duì)的邊分別為，現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①；②；③；④．(1)條件①和條件②可以同時(shí)成立嗎？請說明理由；(2)請從上述四個(gè)條件中選擇三個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一，并求的面積．【解析】（1）對(duì)于①：因?yàn)?，所以?對(duì)于②：，由可得，因?yàn)?，所以，與矛盾故①②兩個(gè)條件不可以同時(shí)成立.（2）因?yàn)棰佗趦蓚€(gè)條件不可以同時(shí)成立，所以只能選①③④或②③④選①③④時(shí)，因?yàn)?，，所以由可得，解得（舍）故所以若選①③④時(shí)，存在且唯一，此時(shí)面積為.選②③④時(shí)，因?yàn)?，，所以由可得故，所以若選②③④時(shí)，存在且唯一，此時(shí)面積為.24．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求角的大?。?2)若，的面積，求的周長．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，?/p>