專題09立體幾何中的平行與垂直問題【考點預測】1、證明空間中直線、平面的平行關系（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面．（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2、證明空間中直線、平面的垂直關系（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質（）．（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）．【典型例題】例1．已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】由題意，①，，故，故正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯誤；③，則或，故錯誤；④，；則與可能平行或相交，故錯誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得，故正確.故選：A.例2．已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（

）A．若則B．若則C．若則D．若則【答案】D【解析】對于A，則錯誤，原因是β不一定是經(jīng)過直線m的平面；故A錯誤；對于B，若則錯誤，如圖所示，原因是由題設條件無法推出一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，故無法判定是否α與β一定垂直，故B錯誤；對于C，若則，錯誤，例如教室的墻角，不妨設α為東墻面，γ為北墻面，β為地面，滿足但α與γ相交，故C錯誤；對于D，因為由面面垂直的判定定理得：，故D正確．故選：D．例3．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為棱的中點，則下列結論不正確的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【解析】不妨設棱柱的高為，.B選項，根據(jù)棱柱性質，//，而平面，若//平面，無論怎樣平移直線，都不會和平面只有一個交點，于是得到矛盾，故B選項錯誤；A選項，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），A選項正確；C選項，連接，根據(jù)平行四邊形性質，過，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），結合A選項，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側棱//，故，C選項正確；D選項，取中點，連接，結合為的中點可知，為中位線，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項正確.故選：B例4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝，則下列說法正確的是（

）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上【答案】D【解析】如圖所示：連接EH，F(xiàn)G.因為F，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝，所以GF//BD，且GF＝BD.因為點E，H分別是邊AB，AD的中點，所以EH//BD，且EH＝BD，所以EH//GF，且EH≠GF，所以EF與GH相交，設其交點為M，則M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直線AC上．故選：D.例5．（多選）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點或所在棱中點，則A、B、C、D四點共面的圖形（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A：取GD的中點F，連結BF、EF，因為B、F均為相應邊的中點，則BF∥HG，且BF＝HG，又HG∥AE，HG＝AE，則BF∥AE，BF＝AE，即ABCD為平行四邊形，所以AB∥EF，同理CD∥EF，則AB∥CD，即A、B、C、D四點共面，故A正確；對于B：顯然AB與CD異面，故B不正確；對于C：連結AC、BD、EF，因為BE∥DF，即BDFE為平行四邊形，所以BD∥EF，又A、C分別為相應邊的中點，則AC∥EF，所以BD∥AC，即A、B、C、D四點共面，故C正確；對于D：連結AC、BD、EF、GH，因為GE∥HF，即GEFH為平行四邊形，則GH∥EF，又A、C分別為相應邊的中點，則AC∥EF，同理BD∥GH，所以BD∥AC，即A、B、C、D四點共面，故D正確．故選：ACD．例6．如圖，三棱柱，側面底面，側棱，，，點、分別是棱、的中點，點為棱上一點，且滿足，.(1)求證：平面；(2)求證：；【解析】（1）證明：設，連接，，因為，分別為，的中點，則，，因為為的中點，所以，且，所以，，則四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，故平面；（2）證明：因為，，，所以；所以，即，因為平面平面，且平面底面，平面所以平面，又平面，故.例7．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是、的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若平面，求四棱錐的體積.【解析】（1）證明：如圖，取的中點為，連接.因為分別是的中點，四邊形是矩形，所以，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因為，的中點為，所以，因為平面，平面，所以，因為底面是矩形，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，因為由（1）知，所以平面.（3）因為平面平面ABCD，所以，又，所以，因為平面平面，所以，又E是PB的中點，所以，所以直角梯形的面積.因為點到平面的距離，所以.例8．正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．(1)求證：E、F、B、D共面；(2)求證：平面平面．【解析】（1）連接，由題意可得：分別為的中點，則，∵，，則為平行四邊形，∴，則，故E、F、B、D共面.（2）由題意可得：分別為的中點，則，∵，則，且平面，平面，∴平面，連接，由題意可得：分別為的中點，則，，∵，，則，，即為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面.例9．在正三棱柱中，，分別為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【解析】（1）連接，如圖所示因為是的中點，所以為的中點，又因為為的中點，所以.因為平面平面，所以平面.（2）在矩形，所以.所以.所以.所以.在正三棱柱中，底面平面.因為為的中點，，所以.因為平面平面，所以平面.因為平面，所以.又因為平面平面，所以平面.例10．如圖，已知四棱錐的底面ABCD是菱形，，點E為PC的中點．(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面平面PAC．【解析】（1）連接AC交BD于O點，連接EO，∵底面ABCD是菱形，O為AC的中點，∵點E為PC的中點，，

∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；（2）∵底面ABCD是菱形，∴，

∵，，平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC，

又平面PBD，∴平面平面PAC．【過關測試】一、單選題1．已知在正方體中，交于點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出圖形如圖所示，連接，因為，所以平面平面，故平面，其他三個選項易知是錯誤的.故選：C.2．已知三個互不重合的平面，，，且，，，給出下列命題：①若，，則；②若，則；③若，，則；④若，則．其中正確命題個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】對于①，當三條交線交于一點時，若，，則b，c夾角不確定，故①不正確，對于②，若，則，，即，，所以，所以，故②正確，對于④，若又，，所以，又，且，所以，故④正確，對于③，由④可同理得若，則，與矛盾，故不平行，故，，與相交，則，又，得到，故③正確，綜上可知三個命題正確，故選：C．3．直線與平面斜交，那么在內(nèi)與垂直的直線（

）A．沒有 B．有一條C．有無數(shù)條 D．有條（為大于1的整數(shù)）【答案】C【解析】如圖，過點B作，垂足為C，連接AC，則直線a在平面內(nèi)的射影為AC，在平面內(nèi)過點A作AC的垂線b，則平面，而平面，所以，又因為平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線b平行，所以在平面內(nèi)與a垂直的直線有無數(shù)條.故選：C.4．如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個平面后，則下列四個結論中錯誤的是（

）A． B．是等邊三角形C．平面平面 D．二面角的正切值為【答案】C【解析】設等腰直角三角形的腰為，則斜邊，為的中點，，又平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故A正確；由A知，平面，平面，，又，由勾股定理得：，又，是等邊三角形，故B正確；為等腰直角三角形，取斜邊的中點，則，又為等邊三角形，連接，則,為平面與平面的二面角的平面角，由平面可知，為直角，因此不是直角，故平面與平面不垂直，故C錯誤；由題意知，平面，過點作于點，連接，則，為二面角的平面角，設為，則，故D正確;故選：C.5．如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（）A． B．平面

C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】翻折前，，，翻折后，，，平面，則平面，平面，平面平面，故D正確；由上述可知二面角的平面角為，在翻折的過程中，會發(fā)生變化，故與不一定垂直，與平面不一定垂直，故B錯誤；設，在圖一中，，，解得，，，，，，在圖二中，過點在平面內(nèi)作，交于點，連接，則，故，則，，不為的中點，，，則，若，，平面，則平面，平面，則，，平面，且，，為的中點，則為的中點，與已知矛盾，故A錯誤；由選項A知，，平面，平面，平面；若平面，則，平面，則平面平面，平面平面，平面平面，則，為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，故C錯誤．故選：D．6．在正方體中，P是平面內(nèi)的一動點，M為線段的中點，則下列說法錯誤的是（

）A．平面內(nèi)任意一條直線都不與平行B．平面和平面的交線不與平面平行C．平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面平行D．平面和平面的交線不與平面平行【答案】B【解析】對A，因為與在平面內(nèi)且不平行，故與相交，故與平面相交，若平面內(nèi)任意一條直線與平行，則平面，矛盾，故A正確；對B，由平行，平面，平面，故平面.設平面和平面的交線為，由線面平行的性質可得，又平面，平面，故平面，故B錯誤；對CD，延長，交于，連接如圖.由題意，平面和平面的交線即直線，故當平面內(nèi)的直線與平行時，與平面也平行，故C正確；交線與平面交于，故D正確；故選：B二、多選題7．如圖所示，在平行六面體中，點，，分別為棱，，的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是（

）A． B．C．平面 D．平面【答案】ACD【解析】連接MP，因為，別為棱，中點，所以MP//AD且因為為平行六面，所以且，所以且，故為平行四邊形，，故A正確；因為平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正確因為與平面相交，且平面//平面，所以與平面相交，又因為平面相交，所以與互不平行.故B錯誤故選：ACD8．如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是（

）.A．直線與是異面直線 B．平面C．平面 D．【答案】AB【解析】由與平面相交于點，且不在直線上，平面，故與是異面直線，故A正確；根據(jù)題意知為長方體，故平面，故B正確；取的中點為Q，連接，且，故四邊形為平行四邊形，故，又與平面相交于點A，故與平面不平行，即與平面不平行，故C錯誤；因為，且與不垂直，所以與也不垂直，故D錯誤．故選：AB．9．如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法正確的是（

）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行【答案】ABC【解析】由于是的中點，所以三點共線，則是的中點，由于是的中點，所以，C選項正確.根據(jù)正方體的性質可知平面，由于平面，所以，所以，A選項正確.由于，所以，B選項正確.由于，與相交，所以與不平行，D選項錯誤.故選：ABC10．已知空間中兩個不同的平面，兩條不同的直線滿足，則以下結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若相交，則相交 D．若，則【答案】CD【解析】A選項，如圖所示：，，與有可能只是相交，故A錯誤；B選項，如圖所示：若，，與有可能異面；C選項，若，相交，則一定相交，故C正確；D選項，由面面垂直的判定定理即可得若，，則，故D正確.故選：CD.三、填空題11．設a，b為不重合的兩條直線α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么bα；②若a?α，bα，a，b共面，那么ab；③若αβ，a?α，則aβ．上面命題中，所有真命題的序號是_____．【答案】②③【解析】a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，對于①，若a?α，b?α，a，b是異面直線，那么b與α相交或平行或異面，故①錯誤；對于②，若a?α，bα，a，b共面，那么由線面平行的性質得ab，故②正確；對于③，若αβ，a?α，則由面面平行的性質得aβ，故③正確．故答案為：②③．12．在正方體中，分別是線段的中點，則直線與直線的位置關系是______.（從相交，平行，異面中選填）【答案】相交【解析】如圖所示：連接與交于點，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，分別是線段的中點，∴，又且共面，則直線與直線相交.故答案為：相交.13．下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是______．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【解析】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.又，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結.因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結、、.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接，因為為所在棱的中點，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.14．下列各圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點共面的圖是______．【答案】①②③【解析】圖①：，，故，即四點共面，滿足；圖②：，若為中點，則，故，即共面，而，，故，即共面，且三點不共線，故共面，滿足；圖③：由題設，，故，則共面，滿足；圖④：若為中點，則，故，即共面，而面，面，則面，又，且三點不共線，故面即為面，故面，即不共面，不滿足；故答案為：①②③四、解答題15．如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.【解析】∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．點E為棱PC的中點，點F為棱AB上的一點，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)證明：AC⊥PB；(2)證明：EF∥平面PAD．【解析】（1）由條件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°，則，AC＝，∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2，則∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，且AC?平面ABCD，則AC⊥平面PBC，又PB?平面PBC，所以AC⊥PB；（2）由（1）可知AB＝2．取棱PD中點為G，連接EF、EG、AG，因為E為PC的中點，所以EG∥DC，且EG＝DC，又，所以AF∥DC，且AF＝DC，所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四邊形AFEG為平行四邊形，所以EF∥AG．又EF?平面PAD，且AG?平面PAD，則EF∥平面PAD．17．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.【解析】證明如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又∵M是PC的中點，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面平面．(1)求證：；(2)設平面與平面的交線為l，的中點分別為，證明：平面．【解析】（1）證明：，∵設，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）延長交于點M，連接,∵，∴D為的中點，∵的中點為E，∴，不在平面內(nèi),∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直線l為直線，∴平面．19．如圖，已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．(1)求證：平面PAB⊥平面PA