一、教學背景分析：為何聚焦這個主題？演講人CONTENTS教學背景分析：為何聚焦這個主題？教學目標設(shè)計：三維目標的有機融合教學過程設(shè)計：從生活到數(shù)學的漸進式探究打折銷售問題課后作業(yè)：從鞏固到實踐的延伸教學反思與總結(jié)：數(shù)學建模的本質(zhì)是"用數(shù)學說話"目錄2025九年級數(shù)學上冊一元二次方程打折銷售問題課件作為一名深耕初中數(shù)學教學十余年的一線教師，我始終相信：數(shù)學的魅力不僅在于公式的推導，更在于它對生活問題的精準刻畫。當我們將"一元二次方程"這一抽象的代數(shù)工具與"打折銷售"這一日常經(jīng)濟現(xiàn)象結(jié)合時，既能讓學生感受到數(shù)學的實用價值，更能培養(yǎng)他們用數(shù)學眼光觀察生活、用數(shù)學思維解決問題的核心素養(yǎng)。今天，我將圍繞"一元二次方程打折銷售問題"展開詳細講解，帶大家走進數(shù)學與生活的交匯點。01教學背景分析：為何聚焦這個主題？1課標與教材定位《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確要求："學生要能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型"。九年級上冊"一元二次方程"單元是初中方程體系的重要延伸，而"打折銷售問題"作為典型的經(jīng)濟類應用問題，既是一元一次方程銷售問題的進階，也是高中函數(shù)應用問題的基礎(chǔ)，具有承上啟下的關(guān)鍵作用。人教版教材將此類問題安排在"實際問題與一元二次方程"小節(jié)，通過"探究2"（某種服裝的銷售利潤問題）引出建模思路，這要求我們在教學中既要鞏固一元二次方程的解法，更要強化"問題情境-數(shù)學建模-求解驗證"的完整思維鏈。2學生學情診斷經(jīng)過前期學習，九年級學生已掌握：①一元二次方程的四種解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）；②銷售問題的基本量關(guān)系（利潤=售價-成本，利潤率=利潤/成本×100%，售價=原價×折扣率）；③用一元一次方程解決簡單銷售問題的經(jīng)驗。但他們在面對"兩次打折""銷量隨價格變化"等復雜情境時，常出現(xiàn)以下困惑：難以準確識別變量間的二次關(guān)系（如兩次折扣率的乘積導致二次項）；列方程時易混淆"成本價""標價""售價"等概念；解出方程后忽略實際意義檢驗（如折扣率不能為負數(shù)或大于1）。這些痛點正是我們教學的突破口——通過真實情境驅(qū)動，幫助學生建立"從生活語言到數(shù)學符號"的轉(zhuǎn)化能力。02教學目標設(shè)計：三維目標的有機融合1知識與技能目標01能準確復述銷售問題中"成本、標價、售價、折扣率、利潤、銷量"等核心概念的數(shù)學表達式；掌握通過分析數(shù)量關(guān)系，建立一元二次方程解決"單次打折""連續(xù)打折""銷量隨折扣變化"等典型問題的方法；會檢驗方程解的合理性，解釋解的實際意義。02032過程與方法目標在"問題探究-合作交流-歸納總結(jié)"的過程中，經(jīng)歷"實際問題→數(shù)學建?！蠼怛炞C"的完整過程，發(fā)展數(shù)學抽象與建模能力；通過對比一元一次方程與一元二次方程解決銷售問題的差異，體會二次方程在刻畫非線性關(guān)系時的優(yōu)勢。3情感態(tài)度與價值觀目標感受數(shù)學與經(jīng)濟生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)用數(shù)學工具解決實際問題的興趣；1在解決真實問題的過程中，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶忣}習慣與辯證思維（如"高折扣未必高利潤"的經(jīng)濟學啟示）。2教學重點：建立一元二次方程模型解決打折銷售問題的關(guān)鍵步驟（找等量關(guān)系、列方程）。3教學難點：識別復雜情境中的二次數(shù)量關(guān)系（如兩次折扣的累積效應、銷量與價格的二次函數(shù)關(guān)系）。403教學過程設(shè)計：從生活到數(shù)學的漸進式探究1情境導入：生活中的"折扣陷阱"（5分鐘）"同學們，上周末我陪媽媽逛商場，看到某品牌羽絨服標價1500元，海報寫著'雙十二特惠：先打九折，再打八折'，旁邊另一家店同款羽絨服標價1600元，寫著'直接打七折'。媽媽問我：哪家更劃算？我當場算了算，結(jié)果讓她很驚訝——看似'兩次打折'更優(yōu)惠，實際總價反而更高！這是為什么呢？今天我們就用數(shù)學知識揭開'折扣'背后的秘密。"通過真實生活場景引發(fā)認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望。此時順勢展示學習目標："本節(jié)課我們將用一元二次方程解決類似的打折銷售問題，學會用數(shù)學眼光分析商家的促銷策略。"2知識回顧：銷售問題的"基礎(chǔ)工具箱"（8分鐘）為幫助學生搭建思維階梯，先通過表格梳理核心概念的數(shù)學表達（投影展示）：|概念|數(shù)學表達式|示例（假設(shè)成本100元）||-------------|-----------------------------|-------------------------------||成本（C）|進貨價/生產(chǎn)成本|進貨價100元||標價（M）|商家標注的價格（未打折前）|標價150元（期望利潤50元）||售價（S）|實際成交價格=標價×折扣率（d）|打8折：S=150×0.8=120元||利潤（P）|售價-成本=S-C|利潤=120-100=20元|2知識回顧：銷售問題的"基礎(chǔ)工具箱"（8分鐘）|利潤率（r）|利潤/成本×100%=P/C×100%|利潤率=20/100×100%=20%||銷量（Q）|一定時間內(nèi)售出的數(shù)量|原價時月銷100件，每降10元多銷20件|提問互動："如果一件商品先打x折，再打y折，最終售價如何計算？"引導學生得出：最終售價=標價×x/10×y/10=標價×(xy)/100，這里的xy項會導致二次方程的產(chǎn)生，為后續(xù)建模埋下伏筆。3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.1探究1：單次打折問題（基礎(chǔ)模型）例題1：某文具店購進一批筆記本，成本價8元/本，標價15元/本。為促銷，商家決定打x折銷售，若要保證利潤率不低于25%，求x的最小值。教學步驟：審題標注：用不同顏色筆圈出"成本價8元""標價15元""打x折""利潤率不低于25%"；變量分析：售價=15×(x/10)，利潤=售價-成本=15×(x/10)-8，利潤率=(利潤)/成本×100%；列不等式：(15×(x/10)-8)/8≥25%→轉(zhuǎn)化為方程求解臨界值（因為"不低于"的最小值對應等式）；3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.1探究1：單次打折問題（基礎(chǔ)模型）解方程：15x/10-8=8×25%→1.5x=10→x≈6.67；01實際意義檢驗：折扣率x需≤10（不超過10折），且x≥0，因此x的最小值為7折（實際中折扣取一位小數(shù)或整數(shù)）。02設(shè)計意圖：從學生熟悉的"單次打折"入手，強化"利潤率"與"折扣率"的關(guān)系，明確"列方程需先找等量關(guān)系"的核心思路。033探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.2探究2：連續(xù)兩次打折問題（二次項的產(chǎn)生）例題2：某品牌手機上市時標價4800元，首月按標價銷售，月銷量200臺；第二個月為促銷，先打9折，第三個月再打x折，若第三個月售價為3888元，求x的值。教學關(guān)鍵點：引導學生發(fā)現(xiàn)"兩次打折"的數(shù)學關(guān)系：最終售價=標價×第一次折扣率×第二次折扣率；設(shè)第二次折扣率為x（注意：這里的x是10分之幾，如打8折則x=0.8），則方程為4800×0.9×x=3888；解得x=3888/(4800×0.9)=0.9，即第二次打9折；追問："若題目改為'連續(xù)兩次打相同折扣，最終售價為3888元'，方程該如何列？"此時引出二次方程：4800×x2=3888→x2=0.81→x=0.9（舍去負解），明確"相同折扣連續(xù)兩次"會產(chǎn)生x2項，這是一元二次方程的典型特征。3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.2探究2：連續(xù)兩次打折問題（二次項的產(chǎn)生）學生活動：同桌討論"兩次不同折扣"與"兩次相同折扣"的方程差異，派代表分享，教師總結(jié)：二次項的出現(xiàn)源于變量的平方關(guān)系（如相同折扣率的乘積）。3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.3探究3：銷量隨折扣變化的綜合問題（高階模型）例題3：某超市銷售一種成本為20元/千克的水果，原售價30元/千克，每天可售出200千克。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降低1元，每天銷量增加20千克。若商家想通過降價促銷，使每天利潤達到2160元，應將售價定為多少元？教學突破：分析變量關(guān)系：設(shè)降價x元，則售價=(30-x)元，銷量=(200+20x)千克；利潤=（售價-成本）×銷量→(30-x-20)(200+20x)=2160；化簡方程：(10-x)(200+20x)=2160→2000+200x-200x-20x2=2160→-20x2+2000=2160→20x2=-160（此處故意出錯，引發(fā)學生質(zhì)疑）；3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.3探究3：銷量隨折扣變化的綜合問題（高階模型）學生糾錯：正確展開應為(10-x)(200+20x)=10×200+10×20x-x×200-x×20x=2000+200x-200x-20x2=2000-20x2，所以方程應為2000-20x2=2160→-20x2=160→x2=-8（顯然無解）。這說明我的假設(shè)錯誤——題目中"售價每降低1元"，實際應為"售價每降低1元"，但利潤可能隨降價先增后減，當利潤要求過高時可能無解；修正題目：若將利潤改為1920元，則方程為2000-20x2=1920→20x2=80→x2=4→x=2（舍去負解），此時售價=30-2=28元；深度追問："若題目改為'售價每提高1元，銷量減少20千克'，方程會如何變化？"引導學生理解"漲價"與"降價"的變量符號差異，強化"變量設(shè)定需符合實際情境"的意識。3探究新知：從單一到復雜的建模訓練（25分鐘）3.3探究3：銷量隨折扣變化的綜合問題（高階模型）設(shè)計意圖：通過"糾錯-修正"過程，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)挠嬎懔晳T；通過"漲價vs降價"的對比，深化對變量關(guān)系的理解，體會二次方程在刻畫"利潤-價格"拋物線關(guān)系中的作用。4鞏固練習：分層訓練，螺旋提升（12分鐘）4.1基礎(chǔ)題（面向全體）某書店一本圖書的成本是18元，標價30元。為迎接讀書節(jié)，書店決定打x折銷售，若要保證利潤率為25%，求x的值。（答案：x=7.5）4鞏固練習：分層訓練，螺旋提升（12分鐘）4.2提高題（面向中等生）某品牌運動鞋首次促銷打9折，銷量提升50%，總利潤比原價銷售增加20%。若成本價為200元，求原價。（提示：設(shè)原價為x元，原銷量為a件，利用利潤關(guān)系列方程：0.9x×1.5a-200×1.5a=1.2(xa-200a)，解得x=400元）4鞏固練習：分層訓練，螺旋提升（12分鐘）4.3拓展題（面向?qū)W優(yōu)生）某商場銷售某種商品，成本為50元/件。當售價為80元/件時，每天可售出100件。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降低1元，銷量增加10件；售價每提高1元，銷量減少5件。若商家希望每天利潤不低于3000元，求售價的范圍。（答案：通過建立兩個二次不等式，解得售價在60元到100元之間）實施方式：學生獨立完成基礎(chǔ)題后，小組合作解決提高題，教師巡視指導；拓展題由學優(yōu)生展示思路，全班討論驗證。5課堂小結(jié)：思維導圖構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)（5分鐘）引導學生從"核心概念""建模步驟""注意事項"三方面總結(jié)，教師用思維導圖板書：04打折銷售問題打折銷售問題├─核心概念：成本、標價、售價（=標價×折扣率）、利潤（=售價-成本）、銷量│1.審題：明確已知量、未知量、等量關(guān)系│2.設(shè)元：合理設(shè)定變量（如折扣率x、降價x元）│3.列方程：根據(jù)利潤=（售價-成本）×銷量或售價=標價×折扣率連乘│4.解方程：用因式分解法/公式法求解│5.檢驗：舍去不符合實際的解（如折扣率>1、銷量為負）└─注意事項：├─區(qū)分"打折"與"降價"的表述（打折是比例，降價是絕對數(shù)）├─連續(xù)打折時是折扣率的乘積（非折扣數(shù)的和）├─建模步驟：打折銷售問題└─銷量變化與價格變化的關(guān)系需明確正負（漲價減銷量，降價增銷量）學生分享："我之前總把'打9折再打8折'算成1.7折，現(xiàn)在知道是0.9×0.8=0.72，也就是7.2折，數(shù)學真是幫我避開了消費陷阱！"通過學生的真實感悟，強化知識的生活價值。05課后作業(yè)：從鞏固到實踐的延伸1必做題（基礎(chǔ)鞏固）教材P21習題21.3第5題（某商品連續(xù)兩次降價后的價格問題）；改編題：某服裝店以120元/件的價格購進一批襯衫，標價200元/件。若先打9折銷售100件，再打8折銷售剩余50件，總成本為18000元，求總利潤。2選做題（能力提升）調(diào)查本地超市或電商平臺的促銷活動（如"滿300減50""第二件半價"），選擇一種設(shè)計成數(shù)學問題，并用一元二次方程求解（若涉及復雜促銷，可簡化為"等價折扣率"進行計算）。3實踐題（素養(yǎng)拓展）以"打折銷售中的數(shù)學智慧"為主題，制作一張手抄報，要求包含：①一個真實促銷案例；②數(shù)學建模過程；③你的消費建議。下節(jié)課進行展示評比。06教學反思與總結(jié)：數(shù)學建模的本質(zhì)是"用數(shù)學說話"教學反思與總結(jié)：數(shù)學建模的本質(zhì)是"用數(shù)學說話"回顧本節(jié)課的設(shè)計，我們始終圍繞"從生活情境中抽象數(shù)學模型，用一元二次方程解決實際