一、課程引言：從“知道”到“會(huì)用”的跨越演講人CONTENTS課程引言：從“知道”到“會(huì)用”的跨越知識(shí)筑基：溫故知新，明確變形的“起點(diǎn)”核心突破：六大變形技巧與實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用課堂小結(jié)：從“技巧”到“思想”的升華課后任務(wù)：分層訓(xùn)練，鞏固提升目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系變形技巧課件01課程引言：從“知道”到“會(huì)用”的跨越課程引言：從“知道”到“會(huì)用”的跨越作為一線數(shù)學(xué)教師，我常在作業(yè)批改和課堂練習(xí)中觀察到一個(gè)普遍現(xiàn)象：九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”（即韋達(dá)定理）時(shí)，能熟練背誦“若方程(ax^2+bx+c=0(a≠0))的兩根為(x_1,x_2)，則(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})”，但遇到需要變形應(yīng)用的題目時(shí)，卻常?？ぁ纯床怀鋈绾螌⑺蟊磉_(dá)式轉(zhuǎn)化為兩根和與積的形式，要么在復(fù)雜情境中混淆了系數(shù)與根的關(guān)系。今天這節(jié)課，我們就來系統(tǒng)梳理“根與系數(shù)關(guān)系的變形技巧”，幫助大家實(shí)現(xiàn)從“記憶定理”到“靈活解題”的關(guān)鍵跨越。02知識(shí)筑基：溫故知新，明確變形的“起點(diǎn)”知識(shí)筑基：溫故知新，明確變形的“起點(diǎn)”要掌握變形技巧，首先必須精準(zhǔn)回顧根與系數(shù)關(guān)系的核心內(nèi)容及其適用條件。這是所有變形的“地基”，任何技巧都建立在對(duì)基礎(chǔ)定理的深刻理解上。1韋達(dá)定理的標(biāo)準(zhǔn)表述與限制條件定理內(nèi)容：對(duì)于一元二次方程(ax^2+bx+c=0(a≠0))，若其有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(x_1,x_2)，則滿足：[x_1+x_2=-\frac{a},\quadx_1x_2=\frac{c}{a}]特別提醒：定理成立的前提是方程有實(shí)數(shù)根，即判別式(\Delta=b^2-4ac\geq0)。在涉及參數(shù)的問題中，必須優(yōu)先驗(yàn)證這一條件，否則可能出現(xiàn)“無實(shí)根但誤用韋達(dá)定理”的錯(cuò)誤。1韋達(dá)定理的標(biāo)準(zhǔn)表述與限制條件若方程二次項(xiàng)系數(shù)(a≠1)，兩根和需注意符號(hào)（負(fù)號(hào)）和分母（(a)）的影響，這是學(xué)生最易出錯(cuò)的細(xì)節(jié)之一。例如，方程(2x^2-3x+1=0)的兩根和是(\frac{3}{2})，而非(3)。2基礎(chǔ)表達(dá)式的“翻譯”訓(xùn)練1在變形前，我們需要熟練掌握“將常見代數(shù)式用(x_1+x_2)和(x_1x_2)表示”的基本技能。這相當(dāng)于為后續(xù)變形搭建“語言轉(zhuǎn)換器”。2例1：用(x_1+x_2)和(x_1x_2)表示以下代數(shù)式：3（1）(x_1^2+x_2^2)——可變形為((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)；4（2）(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})——通分后為(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2})；5（3）((x_1-x_2)^2)——展開為((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)；6（4）(x_1^3+x_2^3)——利用立方和公式(x_1^3+x2基礎(chǔ)表達(dá)式的“翻譯”訓(xùn)練_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2))。這些“基礎(chǔ)翻譯”是后續(xù)復(fù)雜變形的“零件”，建議同學(xué)們用表格整理常見變形公式（如表1），并通過每日5分鐘的口算訓(xùn)練強(qiáng)化記憶。|原代數(shù)式|變形后表達(dá)式|關(guān)鍵公式/步驟||----------------|-------------------------------|---------------------------||(x_1^2+x_2^2)|((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)|完全平方公式展開||(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})|(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2})|通分合并|2基礎(chǔ)表達(dá)式的“翻譯”訓(xùn)練|((x_1-x_2)^2)|((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)|展開后替換(x_1x_2)||(x_1^3+x_2^3)|((x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2))|立方和公式分解|03核心突破：六大變形技巧與實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用核心突破：六大變形技巧與實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用掌握基礎(chǔ)“翻譯”后，我們需要針對(duì)不同題型場(chǎng)景，總結(jié)變形的“策略地圖”。以下六大技巧覆蓋了九年級(jí)常見考點(diǎn)，從單一變形到綜合應(yīng)用，逐步提升難度。1技巧一：直接代入求值——“目標(biāo)明確，正向變形”適用場(chǎng)景：題目直接給出一元二次方程，要求計(jì)算與兩根相關(guān)的代數(shù)式值（如例1中的形式）。操作步驟：確認(rèn)方程有實(shí)根（計(jì)算(\Delta)或題目已隱含說明）；寫出兩根和(S=x_1+x_2)和兩根積(P=x_1x_2)；將目標(biāo)代數(shù)式用(S)和(P)表示，代入計(jì)算。典型例題：已知方程(x^2-5x+3=0)的兩根為(x_1,x_2)，求(x_1^2+x_2^2)和(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2})的值。1技巧一：直接代入求值——“目標(biāo)明確，正向變形”解析：由韋達(dá)定理得(S=5)，(P=3)；(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-6=19)；(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{19}{3})。易錯(cuò)提醒：部分學(xué)生在計(jì)算(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2})時(shí)，可能直接寫成(\frac{S}{P})，這是錯(cuò)誤的，必須先通分再代入。2技巧二：整體代入消元——“無關(guān)變量，整體替換”適用場(chǎng)景：題目中出現(xiàn)多個(gè)變量，但通過韋達(dá)定理可將部分變量用(S)和(P)表示，從而減少未知數(shù)數(shù)量。操作步驟：識(shí)別題目中需要消去的變量（通常是方程的根(x_1,x_2)）；將含(x_1,x_2)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為(S)和(P)的組合；代入已知條件，解關(guān)于參數(shù)的方程。典型例題：已知關(guān)于(x)的方程(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0)的兩根為(x_1,x_2)，且(x_1^2+x_2^2=11)，求(k)的值。2技巧二：整體代入消元——“無關(guān)變量，整體替換”解析：由韋達(dá)定理得(S=2k+1)，(P=k^2+k)；(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=(2k+1)^2-2(k^2+k)=4k^2+4k+1-2k^2-2k=2k^2+2k+1)；由題設(shè)(2k^2+2k+1=11)，解得(k^2+k-5=0)，即(k=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2})；驗(yàn)證判別式：(\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+k)=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1>0)，恒成立，故(k)的值為(\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2})。2技巧二：整體代入消元——“無關(guān)變量，整體替換”教學(xué)反思：這類題目中，學(xué)生常忘記驗(yàn)證判別式，但本題因(\Delta=1)恒正，可省略；若題目中參數(shù)影響(\Delta)，則必須檢驗(yàn)，否則可能得到無實(shí)根的“虛解”。3技巧三：構(gòu)造新方程——“以根為線索，逆向應(yīng)用”適用場(chǎng)景：已知某兩個(gè)數(shù)的和與積，要求構(gòu)造以它們?yōu)楦囊辉畏匠?；或已知一根與另一根的關(guān)系，求另一根或參數(shù)。操作步驟：若已知兩數(shù)(m,n)，則以(m,n)為根的方程為(x^2-(m+n)x+mn=0)；若已知一根(x_1)和關(guān)系（如(x_2=kx_1)），則結(jié)合(x_1+x_2=S)和(x_1x_2=P)，解方程組求(x_1)或參數(shù)。典型例題：3技巧三：構(gòu)造新方程——“以根為線索，逆向應(yīng)用”（1）已知兩數(shù)的和為5，積為6，求這兩個(gè)數(shù)；（2）已知方程(2x^2-5x+k=0)的一根是另一根的2倍，求(k)的值。解析：（1）構(gòu)造方程(x^2-5x+6=0)，解得(x=2)或(x=3)，故兩數(shù)為2和3；（2）設(shè)兩根為(x)和(2x)，則(x+2x=\frac{5}{2})（注意二次項(xiàng)系數(shù)為2，故(S=\frac{5}{2})），解得(x=\frac{5}{6})；兩根積為(x\cdot2x=2x^2=\frac{k}{2})（因(P=\frac{k}{2})），3技巧三：構(gòu)造新方程——“以根為線索，逆向應(yīng)用”代入(x=\frac{5}{6})得(2\times(\frac{5}{6})^2=\frac{k}{2})，解得(k=\frac{25}{9})。關(guān)鍵提示：構(gòu)造新方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)通常取1（方便計(jì)算），但題目若有特殊要求（如整系數(shù)），需調(diào)整系數(shù)；涉及倍數(shù)關(guān)系時(shí)，注意兩根和與積的表達(dá)式中二次項(xiàng)系數(shù)的影響（如例2中(S=\frac{5}{2})而非5）。4技巧四：參數(shù)范圍求解——“不等式與等式的聯(lián)動(dòng)”適用場(chǎng)景：題目要求確定參數(shù)的取值范圍，需同時(shí)滿足方程有實(shí)根（(\Delta\geq0)）和根的特定條件（如正根、負(fù)根、一正一負(fù)等）。操作步驟：利用韋達(dá)定理將根的條件轉(zhuǎn)化為(S)和(P)的不等式；聯(lián)立判別式(\Delta\geq0)，解不等式組。常見根的條件與轉(zhuǎn)化：|根的條件|轉(zhuǎn)化為(S)和(P)的不等式|示例（方程(x^2+bx+c=0)）||------------------|-----------------------------------------------|----------------------------------|4技巧四：參數(shù)范圍求解——“不等式與等式的聯(lián)動(dòng)”|兩根均為正|(x_1>0,x_2>0)→(S>0)且(P>0)|(b<0)，(c>0)，(\Delta\geq0)||兩根均為負(fù)|(x_1<0,x_2<0)→(S<0)且(P>0)|(b>0)，(c>0)，(\Delta\geq0)||一正根一負(fù)根|(x_1x_2<0)→(P<0)|(c<0)（無需額外判別式，因(P<0)時(shí)(\Delta=b^2-4c>0)恒成立）|4技巧四：參數(shù)范圍求解——“不等式與等式的聯(lián)動(dòng)”|一根為0|(x_1=0)→(P=0)且(S=-b)|(c=0)，另一根為(-b)|典型例題：已知關(guān)于(x)的方程(x^2+(2m-1)x+m^2=0)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求(m)的取值范圍。解析：判別式(\Delta=(2m-1)^2-4m^2=4m^2-4m+1-4m^2=-4m+1\geq0)，解得(m\leq\frac{1}{4})；4技巧四：參數(shù)范圍求解——“不等式與等式的聯(lián)動(dòng)”3241兩根和(S=-(2m-1)=1-2m>0)，解得(m<\frac{1}{2})；易錯(cuò)點(diǎn)：部分學(xué)生可能忽略“兩根均為正”需同時(shí)滿足(S>0)和(P>0)，或忘記驗(yàn)證判別式，導(dǎo)致范圍擴(kuò)大。兩根積(P=m^2>0)，解得(m\neq0)；聯(lián)立得(m\leq\frac{1}{4})且(m\neq0)。5技巧五：實(shí)際問題建?！皬纳畹綌?shù)學(xué)的橋梁”適用場(chǎng)景：與增長(zhǎng)率、幾何面積、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)等實(shí)際問題結(jié)合，需通過設(shè)未知數(shù)建立方程，再利用根與系數(shù)關(guān)系分析解的合理性。操作步驟：設(shè)未知數(shù)（通常設(shè)變化前的量為(x)，或設(shè)兩根為(x_1,x_2)）；根據(jù)題意建立一元二次方程；利用韋達(dá)定理分析根的意義（如是否為正、是否符合實(shí)際情境）。典型例題：某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，平均每天可多售出2件。若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？5技巧五：實(shí)際問題建?！皬纳畹綌?shù)學(xué)的橋梁”解析：設(shè)每件降價(jià)(x)元，則每天多售出(2x)件，每件盈利((40-x))元，每天銷量為((20+2x))件；依題意得方程：((40-x)(20+2x)=1200)，整理為(x^2-30x+200=0)；設(shè)兩根為(x_1,x_2)，則(x_1+x_2=30)，(x_1x_2=200)，解得(x=10)或(x=20)；驗(yàn)證：降價(jià)10元時(shí)，每件盈利30元，銷量40件，盈利(30×40=1200)元；降價(jià)20元時(shí)，每件盈利20元，銷量60件，盈利(20×60=1200)元，均符合實(shí)際。5技巧五：實(shí)際問題建?！皬纳畹綌?shù)學(xué)的橋梁”教學(xué)價(jià)值：此類問題中，韋達(dá)定理不僅用于求解，更用于快速判斷根的合理性（如兩根均為正，符合“降價(jià)”的實(shí)際意義），避免了逐一驗(yàn)證的繁瑣。6技巧六：綜合變形——“多知識(shí)點(diǎn)融合，靈活轉(zhuǎn)化”適用場(chǎng)景：涉及二次函數(shù)、幾何圖形、分式方程等多知識(shí)點(diǎn)的綜合題，需結(jié)合根的判別式、因式分解、代數(shù)式化簡(jiǎn)等技巧。典型例題：已知二次函數(shù)(y=x^2+bx+c)的圖像與(x)軸交于(A(x_1,0))、(B(x_2,0))兩點(diǎn)（(x_1<x_2)），且(x_1^2+x_2^2=10)，圖像的頂點(diǎn)為(C)，若(\triangleABC)是等腰直角三角形，求(b)和(c)的值。解析：由韋達(dá)定理，(x_1+x_2=-b)，(x_1x_2=c)，故(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=b^2-2c=10)；6技巧六：綜合變形——“多知識(shí)點(diǎn)融合，靈活轉(zhuǎn)化”頂點(diǎn)(C)的縱坐標(biāo)為(\frac{4c-b^2}{4})（因頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式為(\frac{4ac-b^2}{4a})，此處(a=1)）；01(\triangleABC)為等腰直角三角形，且(AB)為底邊，故頂點(diǎn)(C)到(AB)的距離等于(AB)長(zhǎng)度的一半。02(AB)長(zhǎng)度為(|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{b^2-4c})；03頂點(diǎn)到(x)軸的距離為(|\frac{4c-b^2}{4}|=\frac{b^2-4c}{4})（因(b^2-4c>0)，否則無實(shí)根）；046技巧六：綜合變形——“多知識(shí)點(diǎn)融合，靈活轉(zhuǎn)化”由等腰直角三角形性質(zhì)，(\frac{b^2-4c}{4}=\frac{1}{2}\times\sqrt{b^2-4c})，設(shè)(d=\sqrt{b^2-4c})（(d>0)），則(\frac{d^2}{4}=\fracu0ee44m{2})，解得(d=2)，即(b^2-4c=4)；聯(lián)立(b^2-2c=10)和(b^2-4c=4)，解得(c=3)，(b^2=16)，故(b=±4)。思維拓展：此題融合了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、等腰直角三角形性質(zhì)和韋達(dá)定理，關(guān)鍵在于將幾何條件（三角形形狀）轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式（距離關(guān)系），體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的深度結(jié)合。04課堂小結(jié)：從“技巧”到“思想”的升華課堂小結(jié)：從“技巧”到“思想”的升華回顧本節(jié)課，我們圍繞“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的變形技巧”展開，核心邏輯可概括為“一個(gè)基礎(chǔ)，六大策略”：一個(gè)基礎(chǔ)：對(duì)韋達(dá)定理的精準(zhǔn)理解（包括(S)和(P)的表達(dá)式、判別式的前提作用）是所有變形的根基；六大策略：直接代入、整體消元、構(gòu)造方程、參數(shù)范圍、實(shí)際建模、綜合變形，覆蓋了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的各類題