一、教學(xué)背景分析：為何要學(xué)“一元二次方程利潤(rùn)應(yīng)用題”？演講人CONTENTS教學(xué)背景分析：為何要學(xué)“一元二次方程利潤(rùn)應(yīng)用題”？教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)：明確“教什么”與“怎么教”教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：從生活到數(shù)學(xué)的“建模之旅”總結(jié)與升華：從“解題”到“用數(shù)學(xué)”（5分鐘）課后作業(yè)：分層設(shè)計(jì)，延伸學(xué)習(xí)目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程利潤(rùn)應(yīng)用題課件01教學(xué)背景分析：為何要學(xué)“一元二次方程利潤(rùn)應(yīng)用題”？教學(xué)背景分析：為何要學(xué)“一元二次方程利潤(rùn)應(yīng)用題”？作為一線數(shù)學(xué)教師，我常思考：數(shù)學(xué)知識(shí)如何真正“落地”？當(dāng)學(xué)生問(wèn)“學(xué)方程有什么用”時(shí)，利潤(rùn)應(yīng)用題就是最好的答案。它是一元二次方程章節(jié)的核心應(yīng)用場(chǎng)景，更是連接數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)生活的重要橋梁。1課標(biāo)與教材定位《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確要求：“能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型?！币辉畏匠汤麧?rùn)應(yīng)用題正是這一要求的典型載體。從教材編排看，它承接七年級(jí)一元一次方程的應(yīng)用、八年級(jí)分式方程的應(yīng)用，是“方程建模思想”的深化；同時(shí)為九年級(jí)下冊(cè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題埋下伏筆，具有承前啟后的關(guān)鍵作用。2學(xué)生學(xué)情洞察我?guī)н^(guò)三屆九年級(jí)學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們?cè)诮鉀Q利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)普遍存在“三難”：一是生活經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)“進(jìn)價(jià)”“售價(jià)”“銷量”等概念理解模糊；二是變量關(guān)系梳理困難，難以找到“價(jià)格調(diào)整”與“銷量變化”的聯(lián)動(dòng)規(guī)律；三是方程構(gòu)建時(shí)容易忽略實(shí)際意義，如解出負(fù)數(shù)售價(jià)或超過(guò)市場(chǎng)容量的銷量。這些痛點(diǎn)正是本節(jié)課需要突破的關(guān)鍵。02教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)：明確“教什么”與“怎么教”1三維教學(xué)目標(biāo)01知識(shí)目標(biāo)：掌握利潤(rùn)問(wèn)題的基本公式（利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量），能準(zhǔn)確分析價(jià)格調(diào)整與銷量變化的線性關(guān)系，列出符合實(shí)際的一元二次方程并求解。02能力目標(biāo)：通過(guò)“實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)建?！匠糖蠼狻鷻z驗(yàn)驗(yàn)證”的全過(guò)程訓(xùn)練，提升邏輯分析能力、變量控制能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。03情感目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)在商業(yè)決策中的工具價(jià)值，激發(fā)“用數(shù)學(xué)眼光觀察生活”的興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣（如檢驗(yàn)解的合理性）。2教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：構(gòu)建“價(jià)格-銷量-利潤(rùn)”的數(shù)學(xué)模型，列出一元二次方程。難點(diǎn)：準(zhǔn)確捕捉“價(jià)格每漲（降）a元，銷量減少（增加）b件”的變量關(guān)系，建立正確的等量關(guān)系式。03教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：從生活到數(shù)學(xué)的“建模之旅”1情境引入：從“水果店的煩惱”說(shuō)起（5分鐘）“上周我去小區(qū)水果店買蘋果，老板嘆氣說(shuō)：‘現(xiàn)在進(jìn)價(jià)3元/斤，我賣5元/斤，每天能賣200斤；可要是漲價(jià)，每漲1元，每天就少賣40斤。你說(shuō)我定價(jià)多少才能保證每天利潤(rùn)500元？’同學(xué)們，你們能幫老板解決這個(gè)問(wèn)題嗎？”用真實(shí)生活場(chǎng)景激發(fā)興趣，同時(shí)自然引出“利潤(rùn)”相關(guān)概念?；?dòng)提問(wèn)：老板的“利潤(rùn)”由哪些部分組成？（單件利潤(rùn)×銷量）若定價(jià)為x元/斤，單件利潤(rùn)怎么表示？（x-3）漲價(jià)后銷量如何變化？（原銷量200斤，每漲1元少賣40斤，故銷量=200-40(x-5)）通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生初步感知變量關(guān)系，為建模鋪墊。2概念梳理：利潤(rùn)問(wèn)題的“四要素”（8分鐘）利潤(rùn)問(wèn)題本質(zhì)是“經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系”，核心涉及四個(gè)要素：成本（進(jìn)價(jià)）：商家購(gòu)進(jìn)商品的單價(jià)，記為c（固定值）。售價(jià)（定價(jià)）：商家出售商品的單價(jià)，記為x（變量，需設(shè)定）。銷量（銷售量）：一定售價(jià)下能賣出的商品數(shù)量，記為Q（與售價(jià)相關(guān)的變量）。利潤(rùn)（總利潤(rùn)）：商家銷售商品的總盈利，記為P（目標(biāo)值或待求量）。公式推導(dǎo)：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量→P=(x-c)×Q關(guān)鍵變式：當(dāng)售價(jià)調(diào)整時(shí)，銷量通常呈線性變化。例如“每漲a元，銷量減少b件”，則Q=原銷量-b×(x-原售價(jià))/a（注意單位統(tǒng)一）。2概念梳理：利潤(rùn)問(wèn)題的“四要素”（8分鐘）易錯(cuò)提醒：我曾遇到學(xué)生將“每漲1元少賣40斤”錯(cuò)誤表示為“銷量=200-40x”，忘記“x是定價(jià)，原售價(jià)是5元”，正確應(yīng)為“銷量=200-40(x-5)”。這一步必須強(qiáng)調(diào)“變量基準(zhǔn)”，即“調(diào)整量=現(xiàn)售價(jià)-原售價(jià)”。3例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.1基礎(chǔ)例題：漲價(jià)情境下的利潤(rùn)方程（難度★★）例1：某文具店銷售一種筆記本，進(jìn)價(jià)8元/本，原售價(jià)12元/本時(shí)，每天可售出100本。經(jīng)調(diào)查，若每本漲價(jià)1元，每天銷量減少10本。若商家希望每天利潤(rùn)為500元，應(yīng)將售價(jià)定為多少？分析步驟：設(shè)定變量：設(shè)售價(jià)為x元/本（x≥12）。計(jì)算單件利潤(rùn)：x-8。計(jì)算銷量：原銷量100本，每漲1元少賣10本，故銷量=100-10(x-12)=220-10x（驗(yàn)證：當(dāng)x=12時(shí)，銷量=100，正確）。列方程：(x-8)(220-10x)=500。3例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.1基礎(chǔ)例題：漲價(jià)情境下的利潤(rùn)方程（難度★★）解方程：展開得-10x2+300x-1760=500→10x2-300x+2260=0→x2-30x+226=0（判別式Δ=900-904=-4<0？不對(duì)，哪里錯(cuò)了？）課堂生成：此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)矛盾，我順勢(shì)引導(dǎo)檢查步驟。哦，原方程展開應(yīng)為(x-8)(220-10x)=500→220x-10x2-1760+80x=500→-10x2+300x-1760=500→-10x2+300x-2260=0→兩邊除以-10得x2-30x+226=0，Δ=900-904=-4<0，無(wú)實(shí)數(shù)解。這說(shuō)明“希望利潤(rùn)500元”在該定價(jià)策略下無(wú)法實(shí)現(xiàn)，需調(diào)整目標(biāo)或策略。教育價(jià)值：讓學(xué)生意識(shí)到“數(shù)學(xué)解”可能不符合實(shí)際，需檢驗(yàn)是否有解、解是否合理，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性。3例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.2提升例題：降價(jià)情境下的利潤(rùn)方程（難度★★★）例2：某手機(jī)店銷售一款手機(jī)，進(jìn)價(jià)2000元/部，原售價(jià)3000元/部時(shí)，每月可售出100部。為促銷，商家決定降價(jià)：每降50元，每月銷量增加10部。若希望每月利潤(rùn)為120000元，應(yīng)將售價(jià)定為多少？分析關(guān)鍵點(diǎn)：降價(jià)情境中，“每降50元，銷量增加10部”，需統(tǒng)一單位（以“元”為單位）。設(shè)降價(jià)50k元（k為整數(shù)），則售價(jià)=3000-50k，銷量=100+10k。或直接設(shè)售價(jià)為x元（x≤3000），則降價(jià)=3000-x元，銷量增加量=(3000-x)/50×10=2(3000-x)，故銷量=100+2(3000-x)=6100-2x。列方程：(x-2000)(6100-2x)=1200003例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.2提升例題：降價(jià)情境下的利潤(rùn)方程（難度★★★）01020304展開得：-2x2+10100x-12200000=120000→2x2-10100x+12320000=0→x2-5050x+6160000=0驗(yàn)證合理性：售價(jià)需低于3000元，且高于進(jìn)價(jià)2000元（否則虧本），故兩個(gè)解均合理?？山ㄗh商家選擇2989.5元（接近原售價(jià)，減少降價(jià)幅度）或2060.5元（大幅降價(jià)薄利多銷）。求解：Δ=50502-4×1×6160000=25502500-24640000=862500=9292（近似值），x=(5050±929)/2→x≈2989.5或x≈2060.5學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤：部分學(xué)生直接設(shè)降價(jià)x元，導(dǎo)致銷量表達(dá)式錯(cuò)誤（如銷量=100+10x），未注意“每降50元”對(duì)應(yīng)“x元”時(shí)的倍數(shù)關(guān)系。需強(qiáng)調(diào)“變量設(shè)定要明確基準(zhǔn)”。3例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.3綜合例題：含固定成本的利潤(rùn)問(wèn)題（難度★★★★）例3：某服裝廠生產(chǎn)T恤，每件成本（材料費(fèi)+加工費(fèi)）30元，每月固定成本（租金、工資）5000元。原售價(jià)50元/件時(shí)，每月可售800件。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)每漲1元，月銷量減少20件。若希望月利潤(rùn)（總利潤(rùn)=銷售利潤(rùn)-固定成本）為15000元，應(yīng)將售價(jià)定為多少？分析升級(jí)點(diǎn)：引入“固定成本”，總利潤(rùn)=（單件利潤(rùn)×銷量）-固定成本。設(shè)售價(jià)為x元，則：銷售利潤(rùn)=(x-30)[800-20(x-50)]=(x-30)(1800-20x)總利潤(rùn)=(x-30)(1800-20x)-5000=150003例題精講：從“單一變量”到“復(fù)雜情境”（25分鐘）3.3綜合例題：含固定成本的利潤(rùn)問(wèn)題（難度★★★★）整理方程：-20x2+2400x-54000-5000=15000→-20x2+2400x-74000=0→x2-120x+3700=0求解：Δ=14400-14800=-400<0，無(wú)實(shí)數(shù)解。深度討論：這說(shuō)明在當(dāng)前成本和市場(chǎng)條件下，無(wú)法達(dá)到月利潤(rùn)15000元。商家需考慮降低固定成本（如換租金更低的廠房）或提高銷量（如優(yōu)化營(yíng)銷）。數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算工具，更是決策依據(jù)。4課堂練習(xí)：分層鞏固，螺旋提升（15分鐘）基礎(chǔ)題（面向全體）：某超市銷售牛奶，進(jìn)價(jià)4元/盒，原售價(jià)6元/盒時(shí)，每天賣300盒。若每盒漲價(jià)0.5元，每天少賣30盒。若希望每天利潤(rùn)為630元，應(yīng)定價(jià)多少？提升題（面向中等生）：某書店銷售小說(shuō)，進(jìn)價(jià)20元/本，原售價(jià)35元/本時(shí)，每周賣200本。為清庫(kù)存，決定降價(jià)：每降1元，每周多賣10本。若希望每周利潤(rùn)比原來(lái)增加20%（原利潤(rùn)=(35-20)×200=3000元，目標(biāo)利潤(rùn)3600元），應(yīng)降價(jià)多少？拓展題（面向?qū)W優(yōu)生）：4課堂練習(xí)：分層鞏固，螺旋提升（15分鐘）某玩具廠生產(chǎn)兩種玩具：A成本10元/個(gè)，售價(jià)20元/個(gè)，每天賣100個(gè)；B成本15元/個(gè)，售價(jià)30元/個(gè)，每天賣80個(gè)?，F(xiàn)計(jì)劃調(diào)整價(jià)格：A每漲1元少賣5個(gè)，B每降1元多賣4個(gè)。若希望兩種玩具每天總利潤(rùn)增加10%（原總利潤(rùn)=10×100+15×80=2200元，目標(biāo)2420元），如何調(diào)整價(jià)格？練習(xí)反饋：巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)，基礎(chǔ)題學(xué)生能正確列出方程，但部分人忘記檢驗(yàn)解是否使銷量為正（如定價(jià)過(guò)高導(dǎo)致銷量負(fù)數(shù)）；提升題中“利潤(rùn)增加20%”的表述需明確是“原利潤(rùn)的120%”；拓展題的“總利潤(rùn)”需分別計(jì)算兩種玩具的利潤(rùn)再相加，考查變量控制能力。04總結(jié)與升華：從“解題”到“用數(shù)學(xué)”（5分鐘）1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)回顧利潤(rùn)應(yīng)用題的核心流程可概括為“四步建模法”：明確變量：設(shè)定售價(jià)（或降價(jià)、漲價(jià)幅度）為x；表達(dá)相關(guān)量：?jiǎn)渭麧?rùn)=售價(jià)-成本，銷量=原銷量±變化量（根據(jù)漲/降價(jià)調(diào)整）；列方程：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量（注意固定成本需扣除）；檢驗(yàn)解：是否符合實(shí)際意義（售價(jià)>成本，銷量>0）。2數(shù)學(xué)思想提煉本節(jié)課貫穿“數(shù)學(xué)建模思想”——將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用方程工具求解，再回歸實(shí)際驗(yàn)證。這正是數(shù)學(xué)“源于生活、用于生活”的體現(xiàn)。3情感共鳴“同學(xué)們，今天我們不僅學(xué)會(huì)了列方程解利潤(rùn)問(wèn)題，更重要的是擁有了‘用數(shù)學(xué)決策’的能力。未來(lái)你們可能成為店主、經(jīng)理，甚至創(chuàng)業(yè)者，那時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)：今天解的每一個(gè)方程，都是商業(yè)決策中最理性的‘計(jì)算器’?！?5課后作業(yè)：分層設(shè)計(jì)，延伸學(xué)習(xí)課后作業(yè)：分層設(shè)計(jì)，延伸學(xué)習(xí)必做題（鞏固基礎(chǔ)）：教材P45第3、4題（簡(jiǎn)單利潤(rùn)問(wèn)題）。選做題（能力提升）：調(diào)查本地一家小店（如奶茶店、文具店）的成本、售價(jià)、銷量數(shù)據(jù)，嘗試提出一個(gè)“調(diào)整價(jià)格以達(dá)到目標(biāo)利潤(rùn)”的問(wèn)題