一、前置知識(shí)：一元二次方程的基本性質(zhì)回顧演講人前置知識(shí)：一元二次方程的基本性質(zhì)回顧壹一元二次方程整數(shù)根篩選的核心方法貳綜合應(yīng)用：多方法結(jié)合的典型問(wèn)題叁常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)對(duì)策略肆總結(jié)與升華伍目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程整數(shù)根篩選方法課件各位同學(xué)、同仁：大家好！今天我們共同探討的主題是“一元二次方程整數(shù)根的篩選方法”。作為九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的核心內(nèi)容之一，一元二次方程不僅是代數(shù)知識(shí)的重要載體，更是連接數(shù)與式、函數(shù)、不等式的關(guān)鍵橋梁。而“整數(shù)根篩選”問(wèn)題，因其對(duì)邏輯分析、代數(shù)變形和數(shù)感的綜合考查，常作為中考?jí)狠S題或競(jìng)賽題的命題方向。結(jié)合我多年教學(xué)實(shí)踐，許多同學(xué)在面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常因方法零散、條件遺漏而失分。因此，今天我們將系統(tǒng)梳理方法，構(gòu)建完整的解題框架。01前置知識(shí)：一元二次方程的基本性質(zhì)回顧前置知識(shí)：一元二次方程的基本性質(zhì)回顧要解決整數(shù)根篩選問(wèn)題，首先需明確一元二次方程的核心定義與性質(zhì)。1一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式形如(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的方程，其中(a)、(b)、(c)為常數(shù)，(a)是二次項(xiàng)系數(shù)，(b)是一次項(xiàng)系數(shù)，(c)是常數(shù)項(xiàng)。需特別注意：二次項(xiàng)系數(shù)(a)不能為零，這是判斷方程是否為一元二次方程的首要條件。2根的判別式與求根公式方程的根由判別式(\Delta=b^2-4ac)決定：(\Delta>0)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})；(\Delta=0)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(x=-\frac{2a})；(\Delta<0)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。3韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）若方程的兩個(gè)根為(x_1)、(x_2)，則有：(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。教學(xué)提示：我在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，部分同學(xué)常忽略“(a\neq0)”的條件，或在應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí)誤將系數(shù)符號(hào)搞反。這些細(xì)節(jié)需反復(fù)強(qiáng)調(diào)，因?yàn)樗鼈兪呛罄m(xù)篩選整數(shù)根的基礎(chǔ)。02一元二次方程整數(shù)根篩選的核心方法一元二次方程整數(shù)根篩選的核心方法整數(shù)根篩選的本質(zhì)是：在方程有實(shí)數(shù)根的前提下，進(jìn)一步限定根為整數(shù)。我們需要結(jié)合方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的方法縮小范圍，逐步驗(yàn)證。1判別式法：從“實(shí)數(shù)根”到“整數(shù)根”的第一步若方程有整數(shù)根，則首先必須有實(shí)數(shù)根（即(\Delta\geq0)），且根的表達(dá)式(\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})需為整數(shù)。因此，(\sqrt{\Delta})必須是整數(shù)（設(shè)為(k)，(k\in\mathbb{N})），且(-b\pmk)能被(2a)整除。步驟總結(jié)：①計(jì)算判別式(\Delta=b^2-4ac)，并分析(\Delta)是否為完全平方數(shù)（設(shè)(\Delta=k^2)，(k)為非負(fù)整數(shù)）；1判別式法：從“實(shí)數(shù)根”到“整數(shù)根”的第一步②若(\Delta)是完全平方數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證(-b\pmk)能否被(2a)整除；③若滿(mǎn)足，則對(duì)應(yīng)的根為整數(shù)。例題1：求方程(x^2-5x+6=0)的整數(shù)根。解析：(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1=1^2)（完全平方數(shù)）。根為(\frac{5\pm1}{2})，即(x_1=3)，(x_2=2)，均為整數(shù)。例題2：若方程(2x^2-(k+1)x+k=0)有整數(shù)根，求整數(shù)(k)的值。1判別式法：從“實(shí)數(shù)根”到“整數(shù)根”的第一步解析：(\Delta=(k+1)^2-8k=k^2-6k+1)。要求(\Delta)為完全平方數(shù)，設(shè)(k^2-6k+1=m^2)（(m)為非負(fù)整數(shù)），變形為((k-3)^2-m^2=8)，即((k-3-m)(k-3+m)=8)。因(k-3-m)和(k-3+m)同奇偶且乘積為8，可能的整數(shù)解為((2,4))、((-4,-2))等，解得(k=6)或(k=0)，驗(yàn)證后均滿(mǎn)足條件。注意：當(dāng)(a)不為1時(shí)，(2a)可能影響根的整除性，需特別關(guān)注分母的因數(shù)分解。2韋達(dá)定理法：利用根與系數(shù)的關(guān)系鎖定整數(shù)條件若方程有整數(shù)根(x_1)、(x_2)，則根據(jù)韋達(dá)定理：(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。由于(x_1)、(x_2)為整數(shù)，(-\frac{a})和(\frac{c}{a})必須為整數(shù)（或分?jǐn)?shù)，但分母需與根的和、積的分母約分后為整數(shù)）。更直接的思路是將方程兩邊乘以(a)（若(a)為整數(shù)），轉(zhuǎn)化為(ax_1\cdotax_2=ac)，利用整數(shù)的因數(shù)分解求解。步驟總結(jié)：2韋達(dá)定理法：利用根與系數(shù)的關(guān)系鎖定整數(shù)條件01在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容①設(shè)整數(shù)根為(x_1)、(x_2)，則(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})；02在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容②若(a)為整數(shù)，則(ax_1)、(ax_2)是整數(shù)，且((ax_1)(ax_2)=ac)；03例題3：方程(3x^2+mx-2=0)有整數(shù)根，求整數(shù)(m)的可能值。③列出(ac)的所有整數(shù)因數(shù)對(duì)，逐一驗(yàn)證是否滿(mǎn)足和為(-b)的條件。2韋達(dá)定理法：利用根與系數(shù)的關(guān)系鎖定整數(shù)條件解析：設(shè)整數(shù)根為(x_1)、(x_2)，則(x_1+x_2=-\frac{m}{3})，(x_1x_2=-\frac{2}{3})。A兩邊同乘3得：(3x_1\cdot3x_2=-6)，設(shè)(3x_1=p)，(3x_2=q)（(p,q)為整數(shù)），則(pq=-6)。B(-6)的整數(shù)因數(shù)對(duì)為((1,-6),(-1,6),(2,-3),(-2,3),(3,-2),(-3,2),(6,-1),(-6,1))。C2韋達(dá)定理法：利用根與系數(shù)的關(guān)系鎖定整數(shù)條件對(duì)應(yīng)(x_1=\frac{p}{3})，(x_2=\frac{q}{3})需為整數(shù)，故(p)、(q)必須是3的倍數(shù)。但(-6)的因數(shù)中，3的倍數(shù)只有(3,-3,6,-6)，因此可能的因數(shù)對(duì)為((3,-2))（但(-2)不是3的倍數(shù)，舍去）、((-3,2))（舍去）、((6,-1))（舍去）、((-6,1))（舍去）。這說(shuō)明原方程無(wú)整數(shù)根？教學(xué)反思：此處出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明我的推導(dǎo)有誤。實(shí)際應(yīng)直接考慮(x_1x_2=-\frac{2}{3})，若(x_1)、(x_2)為整數(shù)，則乘積必為整數(shù)，但(-\frac{2}{3})不是整數(shù)，因此原方程無(wú)整數(shù)根。這提醒我們：當(dāng)(\frac{c}{a})不是整數(shù)時(shí)，方程不可能有整數(shù)根（若(a)、(c)均為整數(shù)）。2韋達(dá)定理法：利用根與系數(shù)的關(guān)系鎖定整數(shù)條件例題4：方程(x^2-(k+2)x+2k=0)有整數(shù)根，求整數(shù)(k)。解析：由韋達(dá)定理，(x_1+x_2=k+2)，(x_1x_2=2k)。消去(k)得(x_1x_2=2(x_1+x_2-2))，整理為((x_1-2)(x_2-2)=0)，因此(x_1=2)或(x_2=2)。代入原方程得(4-2(k+2)+2k=0)，恒成立，故(k)為任意整數(shù)？糾正：實(shí)際因式分解原方程得((x-2)(x-k)=0)，根為(x=2)或(x=k)，因此當(dāng)(k)為整數(shù)時(shí)，方程有整數(shù)根。這說(shuō)明韋達(dá)定理法需結(jié)合因式分解，才能更高效。3因式分解法：直接構(gòu)造整數(shù)根的表達(dá)式若方程能分解為((mx+n)(px+q)=0)（(m,p,n,q)為整數(shù)），則根為(x=-\frac{n}{m})、(x=-\frac{q}{p})。要使根為整數(shù)，需(m)整除(n)，(p)整除(q)。步驟總結(jié)：①?lài)L試將二次項(xiàng)系數(shù)(a)分解為兩個(gè)整數(shù)的乘積(a=m\cdotp)；②將常數(shù)項(xiàng)(c)分解為兩個(gè)整數(shù)的乘積(c=n\cdotq)；3因式分解法：直接構(gòu)造整數(shù)根的表達(dá)式③驗(yàn)證交叉相乘和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)(b)（即(mq+pn=b)）；④若滿(mǎn)足，則根為(-\frac{n}{m})、(-\frac{q}{p})，需進(jìn)一步驗(yàn)證是否為整數(shù)。例題5：分解(6x^2-x-2=0)并求整數(shù)根。解析：(6=2\times3)，(-2=(-2)\times1)，交叉相乘：(2\times1+3\times(-2)=2-6=-4\neq-1)；調(diào)整(-2=2\times(-1))，3因式分解法：直接構(gòu)造整數(shù)根的表達(dá)式交叉相乘：(2\times(-1)+3\times2=-2+6=4\neq-1)；再調(diào)整(6=3\times2)，(-2=(-1)\times2)，交叉相乘：(3\times2+2\times(-1)=6-2=4\neq-1)；最終正確分解為((2x+1)(3x-2)=0)，根為(x=-\frac{1}{2})、(x=\frac{2}{3})，均非整數(shù)，故原方程無(wú)整數(shù)根。教學(xué)提示：因式分解法適用于系數(shù)較小的方程，但對(duì)含參數(shù)或系數(shù)較大的方程效率較低，需結(jié)合其他方法。4參數(shù)分離法：將參數(shù)表示為根的函數(shù)當(dāng)方程含參數(shù)時(shí)，可將參數(shù)表示為根的函數(shù)，利用整數(shù)根的限制求解參數(shù)范圍。步驟總結(jié)：①設(shè)整數(shù)根為(x=k)，代入方程得關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式(f(k)=0)；②分析(f(k))的取值范圍，結(jié)合整數(shù)(k)的可能值，求出參數(shù)的整數(shù)值。例題6：若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m=0)有整數(shù)根，求整數(shù)(m)的值。解析：設(shè)整數(shù)根為(k)，則(k^2-(m+2)k+m=0)，整理得(m=\frac{k^2-2k}{k-1}=k-1-\frac{1}{k-1})。4參數(shù)分離法：將參數(shù)表示為根的函數(shù)因(m)為整數(shù)，故(\frac{1}{k-1})必須為整數(shù)，即(k-1=\pm1)，解得(k=2)或(k=0)。01當(dāng)(k=2)時(shí)，(m=2-1-1=0)；當(dāng)(k=0)時(shí)，(m=0-1-(-1)=0)，故(m=0)。02驗(yàn)證：方程為(x^2-2x=0)，根為(x=0)、(x=2)，均為整數(shù)，符合條件。0303綜合應(yīng)用：多方法結(jié)合的典型問(wèn)題綜合應(yīng)用：多方法結(jié)合的典型問(wèn)題實(shí)際解題中，單一方法往往不夠，需結(jié)合判別式、韋達(dá)定理和參數(shù)分離，逐步縮小范圍。1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題例題7：已知關(guān)于(x)的方程((k-1)x^2+2kx+k+3=0)有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求整數(shù)(k)的值。解析：①首先，方程是一元二次方程，故(k-1\neq0)，即(k\neq1)；②判別式(\Delta=(2k)^2-4(k-1)(k+3)=4k^2-4(k^2+2k-3)=-8k+12)。因方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故(\Delta>0)，即(-8k+12>0)，解得(k<\frac{3}{2})；1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題③由求根公式，根為(x=\frac{-2k\pm\sqrt{-8k+12}}{2(k-1)}=\frac{-k\pm\sqrt{-2k+3}}{k-1})。因根為整數(shù)，設(shè)(\sqrt{-2k+3}=m)（(m)為正整數(shù)），則(-2k+3=m^2)，即(k=\frac{3-m^2}{2})；④因(k)為整數(shù)，(3-m^2)必為偶數(shù)，故(m^2)為奇數(shù)，(m)為奇數(shù)。設(shè)(m=2t+1)（(t\geq0)整數(shù)），則(m^2=4t^2+4t+1)，代入得(k=\frac{3-(4t^2+4t+1)}{2}=1-2t^2-2t)；1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題⑤結(jié)合(k<\frac{3}{2})，(t=0)時(shí)，(k=1)（舍去，因(k\neq1)）；(t=1)時(shí)，(k=1-2-2=-3)；(t=2)時(shí)，(k=1-8-4=-11)（此時(shí)(\Delta=-8\times(-11)+12=100)，根為(\frac{11\pm10}{-4})，即(x=-\frac{21}{4})或(x=-\frac{1}{4})，非整數(shù)，舍去）；⑥驗(yàn)證(k=-3)：方程為(-4x^2-6x+0=0)，即(2x^2+3x=0)，根為(x=0)、(x=-\frac{3}{2})（非整數(shù)，矛盾）。1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題這說(shuō)明之前的推導(dǎo)有誤，問(wèn)題出在步驟③中，當(dāng)(k=-3)時(shí)，原方程為((-4)x^2+(-6)x+0=0)，即(-4x^2-6x=0)，根為(x=0)或(x=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2})，確實(shí)非整數(shù)。這說(shuō)明需重新考慮。正確解法：由韋達(dá)定理，設(shè)根為(x_1)、(x_2)（整數(shù)），則(x_1+x_2=-\frac{2k}{k-1}=-2-\frac{2}{k-1})，(x_1x_2=\frac{k+3}{k-1}=1+\frac{4}{k-1})。1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題因(x_1+x_2)和(x_1x_2)均為整數(shù)，故(\frac{2}{k-1})和(\frac{4}{k-1})必為整數(shù)，即(k-1)是2和4的公因數(shù)，可能的(k-1=\pm1,\pm2)，即(k=2,0,3,-1)。逐一驗(yàn)證：(k=2)：方程為(x^2+4x+5=0)，(\Delta=16-20=-4<0)，無(wú)實(shí)根；(k=0)：方程為(-x^2+0x+3=0)，即(x^2-3=0)，根為(\pm\sqrt{3})，非整數(shù)；1含參數(shù)的一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題(k=3)：方程為(2x^2+6x+6=0)，(\Delta=36-48=-12<0)，無(wú)實(shí)根；(k=-1)：方程為(-2x^2-2x+2=0)，即(x^2+x-1=0)，根為(\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2})，非整數(shù)。結(jié)論：原方程無(wú)滿(mǎn)足條件的整數(shù)(k)。教學(xué)啟示：此類(lèi)問(wèn)題需綜合運(yùn)用判別式、韋達(dá)定理和因數(shù)分析，每一步都要嚴(yán)格驗(yàn)證，避免遺漏或誤判。04常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)對(duì)策略常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)對(duì)策略通過(guò)多年教學(xué)觀察，學(xué)生在解決整數(shù)根問(wèn)題時(shí)，常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：1忽略二次項(xiàng)系數(shù)非零錯(cuò)誤案例：解方程((m-1)x^2+2x+1=0)有整數(shù)根，求(m)。學(xué)生可能直接應(yīng)用判別式，忽略(m-1\neq0)。應(yīng)對(duì)：首先明確方程類(lèi)型，若題目未說(shuō)明是一元二次方程，需分(m-1=0)（一次方程）和(m-1\neq0)（二次方程）討論。2判別式非完全平方數(shù)的誤判錯(cuò)誤案例：認(rèn)為(\Delta=8)是完全平方數(shù)（實(shí)際(\sqrt{8}=2\sqrt{2