云南省玉溪市峨山縣三中2026屆數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．2．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達(dá)處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．4．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．6．給出個數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計算這個數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個，每個景點(diǎn)去一人．已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知直線過雙曲線C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．9．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．10．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．11．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．12．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域是____________．14．已知向量，，則______.15．如圖是九位評委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．16．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎，“×”表示猜測某人未獲獎，而“○”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎?wù)呤莀______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證:平面；（2）求證:.20．（12分）已知橢圓過點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點(diǎn)為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.21．（12分）如圖，正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發(fā)時的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？22．（10分）已知函數(shù).（1）設(shè)，若存在兩個極值點(diǎn)，，且，求證：；（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.2、C【解析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度，再根據(jù)正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.4、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

要計算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因?yàn)橛嬎氵@個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應(yīng)該為1，故判斷語句①應(yīng)為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.7、D【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x：D．【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)．8、B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．9、C【解析】

連接，為的中位線，從而，且，進(jìn)而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線的斜率為2，又過點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．11、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．15、1【解析】

寫出莖葉圖對應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題．16、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結(jié)合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行二次求導(dǎo).由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有唯一零點(diǎn)，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.【詳解】解：（1）由題知，∵函數(shù)在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數(shù)，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調(diào)遞增，且，有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.，由整理得，令，則方程等價于而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，.，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于綜合性很強(qiáng)的難題.18、（1）見解析；（2）存在，長【解析】

（1）先證面,又因?yàn)槊?所以平面平面.（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【詳解】解:（1）證明:因?yàn)樗倪呅螢榫匦?∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面（2）取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,,,設(shè),;∴,,設(shè)平面的法向量為,∴,不防設(shè).∴,化簡得,解得或;當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴;綜上存在這樣的點(diǎn),線段的長.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查利用線面所成角求參數(shù)問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）通過證明，即可證明線面平行；（2）通過證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，為其中心，所以，為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過線面垂直得線線垂直，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理，找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.20、（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】

（1）解方程即可；（2）①設(shè)直線，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【詳解】（1）解之得：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）①，，設(shè)直線代入橢圓方程：設(shè)，，，直線，直線，，，，，.②，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.21、（1）6種；（2）；（3）.【解析】

（1）從4條街中選擇2條橫街即可；（2）小明途中恰好經(jīng)