屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題（十）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1．已知集合，則（）A. B. C. D.2．設(shè)，則的虛部為（）A. B. C. D.3．歐幾里得大約生活在公元前年至公元前年，著有《幾何原本》《光學(xué)》《曲面軌跡》《已知數(shù)》等著作．若從這部著作中任意抽取部，則抽到《光學(xué)》的概率為（）A. B. C. D.4．已知一個(gè)矩形較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出矩形的直觀圖是菱形，則直觀圖的面積為（）A. B. C. D.5．在中，若，則最大角的余弦值為（）A. B. C. D.6．已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為，將沿折起得到三棱錐，且三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.7．若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)部分得分，有選錯(cuò)得0分9．下列說(shuō)法正確的是（）A.殘差圖中若樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說(shuō)明該模型的擬合精度越高B.在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于各組的頻數(shù)C.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為D.某校共有男女學(xué)生人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為人的樣本，若樣本中男生有人，則該校女生人數(shù)是人10．已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.一定可以作為一個(gè)基底B.一定有最小值C.一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則稱(chēng)是“函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是函數(shù)B.若是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，則C.若對(duì)任意成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)，，，，都有,則是函數(shù)D.若是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)，則______.13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)__________.14．設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)滿足（其中，），則___________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．已知數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：某產(chǎn)品生產(chǎn)需投入年固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需要額外投入流動(dòng)成本萬(wàn)元.在年產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；在年產(chǎn)量不少于萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）.已知每件產(chǎn)品售價(jià)元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品在當(dāng)年可全部售完.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，生產(chǎn)銷(xiāo)售該產(chǎn)品所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（注：若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）18．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程；（2）作在點(diǎn)處的切線，設(shè)與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，求；（3）將橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“格點(diǎn)”，記上的所有格點(diǎn)為，，，…，，證明：為定值．2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題參考答案（十）一、單選題1.【解析】B由，可得，所以，由，解得，所以，所以，故選：B2.【解析】C因?yàn)椋缘奶摬繛?.【解析】B記4部書(shū)籍分別為，則從4部書(shū)籍中任意抽取2部的基本事件為共有6個(gè)，抽到《光學(xué)》的基本事件為共有3個(gè)，所以抽到《光學(xué)》的概率為：，故選：B4.【解析】A如圖，是矩形的直觀圖，則，，，所以的高為，則直觀圖的面積為，故選：A5.【解析】D，所以最大角為C，，故選：D6.【解析】B由外接球的定義可知外接球球心到三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.記矩形中心為，由矩形的性質(zhì)知點(diǎn)在翻折過(guò)程中到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即其為外接球球心，對(duì)角線的一半即為外接球半徑，則，故選：B7.【解析】B由得.由圖象知，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，若，所以，和圖象不符，所以.所以一定有，故選：B8.【解析】B設(shè)，，則l的方程為，由，得，設(shè)，，則，①因?yàn)?，所以②．由①②可得，再結(jié)合，，得，解得，故選：B二、多選題9.【解析】AD對(duì)于A，如果樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說(shuō)明該模型的擬合精度越高，故A正確；對(duì)于B，在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?×0.75=6，故該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)10，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)該校女生人數(shù)為n，由已知可得55100=1500?n1500，解得n10.【解析】BCD對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不能作為平面向量的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以有最小值，B正確；對(duì)于C，由，兩邊同時(shí)平方得，解得，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確，故選：BCD11.【解析】ABD對(duì)于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)：，，，，，考慮函數(shù)，因?yàn)?，所以，但，，所以不T函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，任意選取，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知，這里的是任意選取的，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確，故選：ABD三、填空題12.【解析】得，令，解得.則，故，故答案為：313.【解析】在中取1、在中取3個(gè)x和2個(gè)2y，該項(xiàng)為在中取、在中4個(gè)x和1個(gè)2y，該項(xiàng)為故的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：3014.【解析】因?yàn)?，所以該式的前?xiàng)都為，后項(xiàng)都為，所以，，所以且，得，因?yàn)?，，所以，所以，故，故答案為?2四、解答題15.【解析】（1）證明：∵，則，即2分而所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，··········································3分∴，即6分（2）解：由（1）得：，8分∴13分16.【解析】證明：如圖，連接，由題意知平面，所以，2分又，，所以，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以4分因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，，所以平面，所以．因?yàn)?，所以平面AMC．6分（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖7分，，，，，所以，．9分設(shè)平面的法向量為，則，取，11分由（1）知平面AMC的一個(gè)法向量為，13分因?yàn)?，所以平面和平面AMC夾角的余弦值為15分17.【解析】（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為元，則萬(wàn)件的商品銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元；根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，；2分當(dāng)時(shí)，；4分所以6分（2）當(dāng)時(shí)，8分，10分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值；11分當(dāng)時(shí)，，13分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大，最大為萬(wàn)元15分18.【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，2分此時(shí)根據(jù)取值，列表，分析的符號(hào)，的單調(diào)性和極值點(diǎn)4分由表可知：所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故的值域?yàn)?分（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，則，故，7分當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意，舍去，8分當(dāng)時(shí)，記，則，因?yàn)?，所以，令，即，解得?0分令，則或；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，12分由于，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故滿足題意，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，15分要使恒成立，即，可得解得，綜上可得17分19.【解析】（1）解：由題意得，解得，所以C的方程為4分（2）解：當(dāng)時(shí)，由得，所以，所以l的斜率為，l的方程為，即，由得C的漸近線方程為，聯(lián)立與，解得，8分所以．10分證明：在方程中，令，得，令，得，則．因?yàn)椋?1分所以，得是C上的一個(gè)格點(diǎn)，，得是C上的一個(gè)格點(diǎn)．按這種構(gòu)造方式，由可以得到一系列格點(diǎn)．下面證明C上的任意一個(gè)格