第二十三章

旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)第1課時

旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)

1.通過引入具體實例，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、探索的過程中完成對旋轉(zhuǎn)這一圖形變化從直觀到抽象、從感性認識到理性認識的轉(zhuǎn)變，發(fā)展學(xué)生直觀想象能力，分析、歸納，抽象概括的思維能力。2.通過探索圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強學(xué)生的合作意識，進一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng)。3.通過讓學(xué)生從事實驗探究、知識應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，進一步體會旋轉(zhuǎn)的內(nèi)涵，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性。學(xué)習(xí)重點：圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)學(xué)習(xí)難點：旋轉(zhuǎn)概念的形成過程及性質(zhì)的探究過程(1)以上現(xiàn)象有什么共同特點?(2)鐘表的指針、電扇的風(fēng)葉在轉(zhuǎn)動過程中，其形狀、大小、位置是否發(fā)生變化呢？BOA45°【觀察】觀察下列圖形的運動，它有什么特點？知識點1旋轉(zhuǎn)的概念

鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動，從12時到4時，時針轉(zhuǎn)動了______度.120°

把時針當成一個圖形，那么它可以繞著中心固定點轉(zhuǎn)動一定角度.【思考】怎樣來定義這種圖形變換？

風(fēng)車風(fēng)輪的每個葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動到新的位置.

怎樣來定義這種圖形變換？

把葉片當成一個平面圖形，那么它可以繞著平面內(nèi)中心固定點轉(zhuǎn)動一定角度.這個定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一個定點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)的概念旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)中心AOBPP’如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP’，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.線段OP與OP’叫做對應(yīng)線段.BOA450點A繞＿＿點，往＿＿＿＿方向，轉(zhuǎn)動了＿度到點B．Ｏ順時針45旋轉(zhuǎn)的三要素:旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.例1

如圖,△ABC為等邊三角形,點P在△ABC中,將△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBQ重合.(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點?(2)旋轉(zhuǎn)角是多少度?(3)△BPQ是什么三角形?旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念識別素養(yǎng)考點1分析：

(1)根據(jù)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等來確定旋轉(zhuǎn)中心的位置.(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角.(3)由旋轉(zhuǎn)角和對應(yīng)邊的關(guān)系可以得到答案.解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點B.(2)因為△ABC為等邊三角形,當邊AB旋轉(zhuǎn)到邊BC的位置時,正好轉(zhuǎn)過了60°,所以旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是60°.(3)BP=BQ,而旋轉(zhuǎn)角又等于60°,所以∠PBQ=60°,這樣△BPQ就是一個等邊三角形.【想一想】圖形在旋轉(zhuǎn)時,旋轉(zhuǎn)的方向有幾種?提示:有兩種情況，分別為逆時針方向旋轉(zhuǎn)和順時針方向旋轉(zhuǎn).若葉片A

繞O

順時針旋轉(zhuǎn)到葉片B，則旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是_________，旋轉(zhuǎn)角等于____度，其中的對應(yīng)點有_______、_______、_______、_______、

_______、_______.OACDEFO∠AOB60F與AA與BB與CC與DD與EE與FB填一填.旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)方向必須明確

確定平面圖形旋轉(zhuǎn)時,旋轉(zhuǎn)的判定溫馨提示：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度”稱之為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同樣屬于全等變換.A．30°B．45°C．90°D．135°例2

如圖，點A、B、C、D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為(

)C旋轉(zhuǎn)角度的計算素養(yǎng)考點2解析:

對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角，就是旋轉(zhuǎn)角，由圖可知，OB、OD是對應(yīng)邊，∠BOD是旋轉(zhuǎn)角，所以，旋轉(zhuǎn)角為90°.如右圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞B點順時針方向旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置時，其旋轉(zhuǎn)中心是點

，旋轉(zhuǎn)角度為

.B90°繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°.△ABC是如何運動到△A′B′C的位置？知識點2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)ABB′A′C．M′M．．．．45°旋轉(zhuǎn)中心是點__________；圖中對應(yīng)點_______________________________________;圖中對應(yīng)線段有_____________________________________.每對對應(yīng)線段的長度 .圖中旋轉(zhuǎn)角等于________.C點A與點A′,點B與點B′,點M與點M′,點N與點N′線段CA與CA′、CB與CB′、AB與A′B′45°相等根據(jù)上圖填空.B'A'C'ABCO線：AO=A'O，BO=B'O，CO=C'O

角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'觀察下圖，你能得到什么結(jié)論？1.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.（OD=OA，OE=OB，OF=OC）2.兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等.（∠DOA=∠EOB=∠FOC）3.旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點.（旋轉(zhuǎn)中心O）4.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)DEABFCO例3如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3則∠BE′C＝________度．135旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點3解析：連接EE′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BE'E=45°，在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，

由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1，BC1分別交于點E，F(xiàn)．求證：△BCF≌△BA1D.

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D.證明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得

A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF與△BA1D中，△BCF≌△BA1D（ASA）.

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）當AD=BF時，求∠BEF的度數(shù)．解：（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，

∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）.AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE解：（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

由（1）可知∠A=∠CBE=45°，

∵AD=BF，

∴BE=BF，

∴∠BEF=67.5°.（2）當AD=BF時，求∠BEF的度數(shù)．

1.下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有()個①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉(zhuǎn)動；④水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動.A.2B.3C.4

D.5C基礎(chǔ)鞏固題2.下列說法正確的是(

)A.旋轉(zhuǎn)改變圖形的形狀和大小B.平移改變圖形的位置C.圖形可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離D.由平移得到的圖形也一定可由旋轉(zhuǎn)得到BABCDE

D4.△A′OB′是△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的.已知∠AOB=20°,∠

A′OB=24°，AB=3,OA=5,則A′B′=

,OA′=

,旋轉(zhuǎn)角等于

.3544

°5.△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，則下列說法正確的是（）

A.DE=3B.AE=4C.∠CAB是旋轉(zhuǎn)角

D.∠CAE是旋轉(zhuǎn)角D1.如圖（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，點C在AE上，△ABC繞著A點經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與△ADE重合，再將圖（1）作為“基本圖形”繞著A點經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)得到圖（2）.兩次旋轉(zhuǎn)的角度分別為（

）

A.45°，90°B.90°，45°C.60°，30°D.30°，60°A能力提升題2.如圖，△ADE可由△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點B的對應(yīng)點是E，點A的對應(yīng)點是D，在平面直角坐標系中，三點坐標為A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.請找出旋轉(zhuǎn)中心P的位置，并寫出P的坐標.ABOCDExy解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點距離相等可以知道，旋轉(zhuǎn)中心P既在線段AD的垂直平分線上，又在線段BE的垂直平分線上，它們的交點就是點P.ABOCDExyP（3,2）P3.如圖所示，AB是長為4的線段，且CD⊥AB于O.你能借助旋轉(zhuǎn)的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法.旋轉(zhuǎn)到同一個象限，構(gòu)成四分之一個圓.

將一個直角三角板繞30°角的頂點順時針旋轉(zhuǎn)，使一直角邊與原斜邊在同一條直線上(如圖所示).你知道旋轉(zhuǎn)角是多少嗎？連結(jié)BB

′，△ABB

′有什么特征嗎？150°△ABB′是等腰三角形拓廣探索題旋轉(zhuǎn)定義三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.1.把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度,叫做圖形的

,點O叫做

,轉(zhuǎn)動的角叫做

.如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的

.

2.鐘表的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60min,鐘表的軸心是它的

,經(jīng)過20min,分針的旋轉(zhuǎn)角為

度.

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

;

(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

;

(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形

.

旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)中心

旋轉(zhuǎn)角

對應(yīng)點

120旋轉(zhuǎn)中心

相等

旋轉(zhuǎn)角

全等

4.如圖,以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將∠1按順時針方向旋轉(zhuǎn)110°,得到∠2.若∠1=40°,則∠2=

,∠3=

.

40°70°旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【例】

如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC邊上一點,△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置.(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點?(2)旋轉(zhuǎn)了多少度?(3)如果M是AB邊的中點,那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后,點M轉(zhuǎn)到了什么位置?分析:確定這個圖形的旋轉(zhuǎn)中心是解決問題的關(guān)鍵.解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點A.(2)旋轉(zhuǎn)角∠BAC=60°.(3)點M轉(zhuǎn)到了AC的中點處.點撥:在旋轉(zhuǎn)過程中,不動的點與其本身是對應(yīng)點,且該點即為旋轉(zhuǎn)中心.一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段的夾角也是旋轉(zhuǎn)角.67123451.下列幾種運動:①單擺上小球的轉(zhuǎn)動;②發(fā)電風(fēng)車上扇葉的運動;③傳送帶上的物體;④筆直鐵軌上飛馳而過的火車.其中屬于旋轉(zhuǎn)的有(

)A.0種 B.1種 C.2種 D.3種答案答案關(guān)閉C67123452.有兩個直角三角形紙板,一個含45°角,另一個含30°角,如圖①所示疊放,先將含30°角的紙板固定不動,再將含45°角的紙板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn),使BC∥DE,如圖②所示,則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為(

)

A.15° B.30° C.45° D.60°圖①

圖②

答案答案關(guān)閉B67123453.如圖的四個三角形中,不能由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是(

)答案答案關(guān)閉B67123454.如圖,在等邊三角形ABC中,D是AC上一點,連接BD,將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAE,連接ED,若BC=5,BD=4,則下列結(jié)論錯誤的是(

)A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等邊三角形D.△ADE的周長是9答案解析解析關(guān)閉由旋轉(zhuǎn)的性