第第頁(yè)第03講函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題方法總結(jié)：1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即確定定義域→求出導(dǎo)函數(shù)→令解不等式→得到遞增區(qū)間后取定義域的補(bǔ)集（減區(qū)間）→單調(diào)性列出表格2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)——解含參不等式，而定義域?qū)Φ南拗朴袝r(shí)會(huì)簡(jiǎn)化含參不等式的求解3、求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項(xiàng)處理掉，以簡(jiǎn)化討論的不等式例1．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知在上有恒成立，即可得關(guān)于的不等式組，由此可得相應(yīng)可行域，結(jié)合的幾何含義，即可求其最小值.【詳解】由題意知：在上，恒成立，∴，即由不等式組可得如下可行域，∴為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，其最小值為O到距離的平方，故，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減知其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒小于等于0，得到關(guān)于的不等式組，結(jié)合目標(biāo)式，應(yīng)用線性規(guī)劃思想求最小值.例2．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于任意，有，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖象過(guò)定點(diǎn)可得，設(shè)，結(jié)合已知條件可得在遞增，求的導(dǎo)數(shù)，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】解：因?yàn)榈膱D象過(guò)定點(diǎn)，所以，解得，所以，因?yàn)閷?duì)于任意，有，則，設(shè)，即，所以，令，因?yàn)?，則，所以要使在恒成立，只需，故，整理得，解得，故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由已知條件構(gòu)造新函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于參數(shù)的不等式.例3．已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】求導(dǎo)得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由求解.【詳解】已知函數(shù)，則，因?yàn)樵?，上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)與根的分布，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.例4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A．B．C．D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在區(qū)間上恒成立，求得當(dāng)時(shí)，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)、三角恒等變換及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.例5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分析可知對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的，，即，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故.故選：A.例6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在內(nèi)存在單調(diào)增區(qū)間，等價(jià)于在上有有解，然后參變分離即可求解﹒【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在區(qū)間上有解(成立)，即在區(qū)間上成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，即，即，得．故選：D﹒例7．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由在R上恒成立，整理成二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次三項(xiàng)式，則其對(duì)恒成立，分離參數(shù)后，求出關(guān)于的函數(shù)的最小值，即得的范圍．【詳解】由題意在R上恒成立，其中，整理得對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，，令，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以的最小值是16，所以．故選：D．例8．已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)已知不等式的形式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由，?gòu)造函數(shù)，所以有，即因?yàn)椋院瘮?shù)是上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)是上增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，要想函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以由數(shù)形結(jié)合思想可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，所以有，所以當(dāng)時(shí)，由可得：，或，綜上所述：或m≥4，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.過(guò)關(guān)練習(xí)1．函數(shù)對(duì)于任意，恒有，那么（

）A．可能不存在單調(diào)區(qū)間B．是R上的增函數(shù)C．不可能有單調(diào)區(qū)間D．一定有單調(diào)區(qū)間【答案】A【解析】根據(jù)題意，舉出兩個(gè)滿足的例子，據(jù)此分析選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對(duì)于任意，恒有，則的解析式可以為：，滿足，不是增函數(shù)，沒(méi)有單調(diào)區(qū)間，也可以為，滿足，是增函數(shù)，其遞增區(qū)間為，則可能存在單調(diào)區(qū)間，也可能不存在單調(diào)區(qū)間，則A正確；BCD錯(cuò)誤；故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，構(gòu)造反例是解決本題的關(guān)鍵.2．若函數(shù)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】求得，由題意可知，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，函數(shù)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意確定函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)解題.3．若函數(shù)恰有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，）C．（0，]D．（，1]【答案】B【詳解】若恰有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，則等價(jià)為函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即m≠0且判別式，即，即?8m+1>0，解得m<且m≠0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?∞,0)∪(0,)，故選B.4．若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分和分析函數(shù)內(nèi)外層的單調(diào)性，列不等式求解【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有意義，則，設(shè)則，(1)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，則需使，對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立；因?yàn)闀r(shí)，所以與矛盾，此時(shí)不成立.(2)當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，則需使對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋?，又，所?綜上，的取值范圍是故選：B5．若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．B．C．(1，2]D．[1，2)【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.【詳解】顯然函數(shù)的定義域?yàn)?，．由，得函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)闉槎x域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以，即．綜上可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件，得，進(jìn)而求解.6．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，進(jìn)而可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為．由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增求參數(shù)，可轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：（1）區(qū)間為函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集；（2）對(duì)任意的，恒成立.同時(shí)也要注意區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)值的大小關(guān)系.7．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先用誘導(dǎo)公式把化為，利用導(dǎo)數(shù)小于等于0，解不等式，求出的范圍-【詳解】由題意，，求導(dǎo)，于是在區(qū)間上恒成立，注意，所以，因此且，所以的取值范圍是．故選：C【點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)，由單調(diào)性求參數(shù)的范圍：（1）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”，求出參數(shù)的范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出參數(shù)的范圍.8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可知導(dǎo)數(shù)在上恒成立，分離參數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可得解.【詳解】由題意得，，又在上，則，∴.令，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，則，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D9．已知，則“”是“在內(nèi)單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，參數(shù)所滿足的條件，然后根據(jù)集合與充分條件以及必要條件的關(guān)系即可得出所求的答案．【詳解】當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，在內(nèi)恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，記作，，令，，則，所以“”是“在內(nèi)單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選：．10．函數(shù)f(x)＝1＋x＋cosx在上的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】【分析】由題意，求導(dǎo)可得f′(x)＝－sinx，解不等式組，即得解【詳解】f′(x)＝－sinx.由，解得0<x，所以f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：11．若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于k的不等式組，解出即可．【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，∴或，解得：或，故答案為：．12．已知函數(shù)（且）.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出、，由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）求出，分、、、討論的正負(fù)可得答案.(1)∵，∴，∴，又，∴.∴所求切線方程為.(2)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，∴，易知，①當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.②當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得或.③當(dāng)時(shí)，.④當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得或.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)進(jìn)行討論，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.13．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)【分析】（1）表示出函數(shù)的解析式，求解導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）表示出函數(shù)的解析式，求解導(dǎo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根求解，參變分離后，令新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性并求解最大值與端點(diǎn)值，即可求得參數(shù)范圍.(1)當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以的增區(qū)間是，

減區(qū)間是．(2)，，由題意在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)實(shí)根，

設(shè)，則，時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，其中，，所以當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)實(shí)根，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．14．設(shè)函數(shù)在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值，并且討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)的取值范圍為.【分析】（1）、先求出切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可求出的值；求出，分，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;（2）、將原不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值在時(shí)恒大于零問(wèn)題，分類討論即可得到的取值范圍.(1)，，，又，切線方程為，又切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，故，.①、若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②、若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)區(qū)間遞減，在上單調(diào)區(qū)間遞增.綜上所述：的單調(diào)遞減為，單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，,,,,,在上恒成立.設(shè)，，且.①、當(dāng)時(shí)，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，而，所以對(duì)時(shí)，.符合題意②、當(dāng)時(shí)，若x滿足，即時(shí)，，而，因此時(shí)，,不符合題意.綜上:的取值范圍為.15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求處切線的斜率，并求，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程.（2）由已知可得，討論、，根據(jù)的符號(hào)求對(duì)應(yīng)自變量的范圍，即可得單調(diào)區(qū)間；(1)當(dāng)時(shí)，，，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.(2)由題意，，（ⅰ）當(dāng)