第4講轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用一特殊與一般的轉(zhuǎn)化應(yīng)用二命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化目錄索引應(yīng)用三函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用四正難則反的轉(zhuǎn)化【思想概述】

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法適用于在研究、解決數(shù)學(xué)問題時(shí),思維受阻或試圖尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情形使問題得到解決的情況.這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略,同時(shí)也是獲取成功的思維方式.應(yīng)用一特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1

(多選題)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.下列結(jié)論正確的是(

)【一題多解】A.f(0)=1B.f(x)是偶函數(shù)C.若f(2)=3,則f(4)=6D.若f(1)=0,則4是f(x)的一個(gè)周期ABD

應(yīng)用體驗(yàn)1(多選題)(2025湖北十堰三模)已知b<0,a+b=2,則(

)【一題多解】A.a2+b2<4B.a(1-b)>2C.2a-2-b>3D.2a+2b>2-a+2-bBCD解析

(方法一

特殊值法)因?yàn)閎<0,a+b=2,令a=3,b=-1,依次代入可得選項(xiàng)B,C,D正確,A錯(cuò)誤.故選BCD.(方法二)因?yàn)閎<0,a+b=2,即a=2-b,當(dāng)a=3,b=-1時(shí),則a2+b2=10>4,故A錯(cuò)誤;因?yàn)閍(1-b)=(2-b)(1-b)=b2-3b+2,且f(b)=b2-3b+2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,則f(b)>f(0)=2,故B正確;因?yàn)?a-2-b=22-b-2-b=3·2-b,且b<0,則-b>0,2-b>1,所以2a-2-b=3·2-b>3,故C正確;因?yàn)閍+b=a-(-b)=2>0,即a>-b,且g(x)=2x-2-x在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,則g(a)>g(-b),即2a-2-a>2-b-2b,所以2a+2b>2-a+2-b,故D正確.故選BCD.應(yīng)用二命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

A

應(yīng)用體驗(yàn)2(2025湖南湘潭三模)記x,y為實(shí)數(shù),設(shè)甲:y>x>0,乙:x-cosy<y-cosx,則(

)A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件A解析

構(gòu)建函數(shù)f(x)=x+cos

x,因?yàn)閤-cos

y<y-cos

x,等價(jià)于y+cos

y>x+cos

x,即f(y)>f(x),且f'(x)=1-sin

x≥0,可知f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,則f(y)>f(x)等價(jià)于y>x,顯然由y>x>0可以推出y>x,但由y>x不能推出y>x>0,所以甲是乙的充分不必要條件.故選A.應(yīng)用三函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化

C

C

應(yīng)用四正難則反的轉(zhuǎn)化

B

(0,1)解析

由已知得f'(x)=(x-a)(ex-1),若a=0,則f'(x)≥0,滿足f(x)是增函數(shù);若a<0,由f'(x)>0得,x<a或x>0,也滿足f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增;若a>0,由f'(x)>0得,x<0或x>a,若f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增,需滿足(a2,+∞)?(a,+∞),即a2≥a>0,解得a≥1,∴f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增時(shí),