第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時學習目標素養(yǎng)要求1．理解二面角的有關概念，會求簡單的二面角的大小直觀想象、數(shù)學運算2．理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理，會運用平面與平面垂直的判定定理證明空間位置關系的簡單命題直觀想象、邏輯推理|自學導引|

二面角1．定義從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角(如圖)．________叫做二面角的棱，________叫做二面角的面．記法：__________，在α，β內(nèi)，分別取點P，Q時，可記作___________；當棱記為l時，可記作_________或___________．兩個半平面直線AB

半平面α和β

α－AB－β

P－AB－Q

α－l－β

P－l－Q

2．二面角的平面角(1)定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，如圖所示，以點O為垂足，在________________分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做__________________．(2)直二面角：平面角是________的二面角．(3)二面角的平面角α的取值范圍是______________．半平面α和β內(nèi)二面角的平面角直角0°≤α≤180°

【預習自測】如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小等于________．【答案】90°

【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．故∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又∵∠BAC＝90°，∴二面角B－PA－C的大小為90°．

平面與平面垂直的判定1．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：記作：________．直二面角α⊥β

垂線【預習自測】對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是 (

)A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C

【解析】因為m∥n，n⊥β，則m⊥β．又m?α，故α⊥β，所以C正確．|課堂互動|

題型1二面角的計算問題如圖，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的余弦值．解：如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD．由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角．求二面角大小的步驟(1)作：作出或找出這個平面角，確定二面角的平面角有兩種方法，一是定義法，即在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線；二是垂面法，即過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．(2)證：證明這個角是二面角的平面角．(3)求：作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大?。}型2平面與平面垂直的判定如圖所示，在四面體A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，且SA＝SB＝SC．求證：平面ABC⊥平面SBC．證明：(方法一，利用定義證明)因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直．(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．2．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD．證明：如圖，連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE．因為O為AC中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC．因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．又因為EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．(1)證明：由AB⊥BE，得AP⊥PE．同理可得DP⊥PE．又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD．又∵PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD．折疊問題抓住兩點折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．|素養(yǎng)達成|1．求二面角大小的步驟：簡稱為“一作、二證、三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應用思路．(體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng))(1)本質(zhì)：通過證明直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．1．(題型2)已知l⊥α，則過l與α垂直的平面 (

)A．有1個 B．有2個C．有無數(shù)個 D．不存在【答案】C

【解析】由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．2．(題型2)空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有 (

)A．平面ABC⊥平面ACD B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ADC⊥平面BCD【答案】D

【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD．又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．3．(多選)(題型3)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，在翻折的過程中，可能成立的是 (

)A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面DBF⊥平面BFCD．平面DCF⊥平面BFC【答案】BC

【解析】對于A，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故A不可能成立；對于B，如圖，設點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，故B可能成立；對于C，當點P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；對于D，因為點D的射影不可能在FC上，故D不可能成立．故選