第十章概率10.3頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別數(shù)學(xué)抽象2．會(huì)用頻率估計(jì)概率數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|

頻率與概率1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸__________事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．穩(wěn)定于

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”)(1)隨機(jī)事件的頻率和概率不可能相等． (

)(2)隨機(jī)事件的頻率和概率都隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化． (

)(3)概率能反映隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？(2)概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量．(3)頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率是一個(gè)定值，是某事件的固有屬性．聯(lián)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于P(A)，因此可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．

隨機(jī)模擬1．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)．(2)構(gòu)建模擬試驗(yàn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法為蒙特卡洛方法．【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”)(1)在用計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣試驗(yàn)時(shí)，假設(shè)計(jì)算器只能產(chǎn)生0～9之間的隨機(jī)數(shù)，則可以用4,5,6,7,8,9來(lái)代表正面． (

)(2)用隨機(jī)模擬試驗(yàn)估計(jì)事件的概率時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)越多，所得的估計(jì)值越接近實(shí)際值． (

)【答案】(1)×

(2)√|課堂互動(dòng)|題型1由頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率

(1)有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5]3．(2)某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：分組[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率

①將各組的頻率填入表中；②根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率．【答案】(1)B隨機(jī)事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率．當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率．1．某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．繪制頻率分布表如下．【解析】在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為題型2概率的含義

某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個(gè)病人都沒(méi)有治愈，第10個(gè)病人就一定能治愈嗎？解：如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是10%指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，有10%的病人能夠治愈．對(duì)于一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果是隨機(jī)的，但治愈的可能性是10%，前9個(gè)病人是這樣，第10個(gè)病人仍是這樣，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%．對(duì)概率的正確理解(1)概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗(yàn)總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．(2)任何事件的概率都是區(qū)間[0,1]上的一個(gè)確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過(guò)來(lái)，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越?。?3)小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．(4)必然事件Ω的概率為1，即P(Ω)＝1；不可能事件?的概率為0，即P(?)＝0．【答案】①②③

題型3游戲的公平性

某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉辦晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤(pán)游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開(kāi)始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)責(zé)表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？解：該方案是公平的，理由如下．各種情況如表所示．和轉(zhuǎn)盤(pán)24567轉(zhuǎn)盤(pán)11567826789378910游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來(lái)說(shuō)，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時(shí)，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．3．有一種游戲是這樣的：在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤(pán)上，盤(pán)面被均勻地分成12份，分別寫(xiě)有1～12這12個(gè)數(shù)字，其中2,4,6,8,10,12這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1,3,5,7,9,11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng)．游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)盤(pán)上數(shù)字的格數(shù)．例如：你轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，以此類推．請(qǐng)問(wèn)：小明在玩這個(gè)游戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng)的概率是多少？解：根據(jù)題意知轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)有偶數(shù)的區(qū)域，故得到的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng)的概率是0．

題型4利用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率

天氣預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)某旅游勝地8月1日后的連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十個(gè)整數(shù)值中，假定0,1,2,3,4,5表示當(dāng)天下雨，6,7,8,9表示當(dāng)天不下雨．在隨機(jī)數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下40組四位隨機(jī)數(shù)：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343【答案】B

4．袋子中有四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“幸”“?！薄翱臁薄皹?lè)”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，取到“快”就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)直到第二次停止的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，且用1,2,3,4表示取出小球上分別寫(xiě)有“幸”“?！薄翱臁薄皹?lè)”四個(gè)字，以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：13

24

12

32

43

14

24

32

31

2123

13

32

21

24

42

13

32

21

34【答案】B

|素養(yǎng)達(dá)成|1．概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定會(huì)發(fā)生，只是認(rèn)為事件發(fā)生的可能性大．2．概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于一個(gè)事件而言，概率是一個(gè)常數(shù)，頻率則隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但具有穩(wěn)定性，次數(shù)越多頻率越接近其概率．(體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng))1．(題型2)拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48，下列說(shuō)法正確的是 (

)A．正面向上的概率為0.48 B．反面向上的概率是0.48C．正面向上的頻率為0.48 D．反面向上的頻率是0.48【答案】C

【解析】因?yàn)閽仈S一枚硬幣100次，即為100次試驗(yàn)，正面向上這一事件發(fā)生了48次，根據(jù)頻率的定義可知，正面向上的頻率為0.48．故選C．2．(題型1)某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000kW·h，按照上個(gè)月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過(guò)指標(biāo)，若這個(gè)月(按30天計(jì))仍沒(méi)有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率約是

(

)A．0.3 B．0.35C．0.4 D．0.45【答案】C

3．(題型4)通過(guò)模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：6830

3013

7055

7430

7740

4422

78842604

3346

0952

6807

9706

5774

57256576

5929

9768

6071

9138

6754如果恰有三個(gè)數(shù)在1,2,3,4,5,6中，則表示恰有三次擊中目標(biāo)，則四次射擊中恰有三次擊中目標(biāo)的概率約為 (

)A．25% B．30%C．35% D．40%【答案】A