一、課程背景與學(xué)習(xí)意義演講人課程背景與學(xué)習(xí)意義01知識(shí)儲(chǔ)備與核心概念梳理02學(xué)生常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略04總結(jié)與提升05問題類型與解題策略03目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上問題課件01課程背景與學(xué)習(xí)意義課程背景與學(xué)習(xí)意義作為九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的核心內(nèi)容之一，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用問題始終是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)這類問題既能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)單一函數(shù)性質(zhì)的掌握程度，更能考察其邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算與數(shù)形結(jié)合的綜合能力。其中，“二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上”這一問題類型，因其巧妙融合了兩類函數(shù)的核心特征（二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、反比例函數(shù)的解析式與圖像性質(zhì)），成為培養(yǎng)學(xué)生綜合思維的典型載體。今天，我們就圍繞這一主題展開深入探討。02知識(shí)儲(chǔ)備與核心概念梳理知識(shí)儲(chǔ)備與核心概念梳理要解決“二次函數(shù)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上”的問題，首先需要系統(tǒng)回顧兩類函數(shù)的基本性質(zhì)，尤其是與頂點(diǎn)、坐標(biāo)相關(guān)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。1二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)的表達(dá)式有三種常見形式，其中頂點(diǎn)式是直接獲取頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))；頂點(diǎn)式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為((h,k))；交點(diǎn)式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為(\frac{x_1+x_2}{2})，縱坐標(biāo)需代入計(jì)算。1二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)在實(shí)際問題中，若題目未明確給出二次函數(shù)的形式，通常需要先將其化為頂點(diǎn)式或通過一般式公式直接計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)。例如，對(duì)于(y=2x^2-4x+3)，通過配方法可得(y=2(x-1)^2+1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((1,1))；若直接使用公式，橫坐標(biāo)(-\frac{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1)，縱坐標(biāo)(\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times2\times3-(-4)^2}{4\times2}=\frac{24-16}{8}=1)，結(jié)果一致。2反比例函數(shù)的基本性質(zhì)反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其圖像是雙曲線，具有以下關(guān)鍵性質(zhì)：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)(k>0)時(shí)，圖像分布在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而減?。划?dāng)(k<0)時(shí)，圖像分布在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而增大；圖像上任意一點(diǎn)((x,y))滿足(xy=k)（這是判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖像上的核心條件）。2反比例函數(shù)的基本性質(zhì)例如，點(diǎn)((2,3))在反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})上，則(k=2\times3=6)；若點(diǎn)((-1,m))在(y=\frac{-4}{x})上，則(m=\frac{-4}{-1}=4)。3問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)“二次函數(shù)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上”這一條件，本質(zhì)上是將二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式后等式成立。設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)為((h,k))，反比例函數(shù)為(y=\frac{m}{x})（(m\neq0)），則必有(k=\frac{m}{h})，即(h\cdotk=m)。這一等式是解決此類問題的核心紐帶，后續(xù)所有分析均需圍繞此展開。03問題類型與解題策略問題類型與解題策略根據(jù)題目給出的已知條件不同，“二次函數(shù)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上”的問題可分為以下幾類，我們逐一分析其解題思路與典型例題。3.1已知二次函數(shù)表達(dá)式，求反比例函數(shù)中的參數(shù)問題特征：題目給出二次函數(shù)的具體表達(dá)式（可能是一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式），并說明其頂點(diǎn)在某反比例函數(shù)圖像上，要求求出反比例函數(shù)的解析式（即確定(k)的值），或進(jìn)一步分析反比例函數(shù)的性質(zhì)。解題步驟：求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)((h,k))；將((h,k))代入反比例函數(shù)(y=\frac{m}{x})，得到(m=h\cdotk)；問題類型與解題策略驗(yàn)證(h\neq0)（因反比例函數(shù)中(x\neq0)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不能為0），若(h=0)，則頂點(diǎn)不在反比例函數(shù)上（除非(m=0)，但(m\neq0)）。典型例題：已知二次函數(shù)(y=-x^2+2x+3)，其頂點(diǎn)在反比例函數(shù)(y=\frac{m}{x})的圖像上，求(m)的值及反比例函數(shù)的解析式。解析：?jiǎn)栴}類型與解題策略第一步，求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)。方法一（配方法）：(y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4)，故頂點(diǎn)為((1,4))。方法二（公式法）：橫坐標(biāo)(h=-\frac{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)}=1)，縱坐標(biāo)(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-1)\times3-2^2}{4\times(-1)}=\frac{-12-4}{-4}=4)，結(jié)果一致。問題類型與解題策略第二步，代入反比例函數(shù)。頂點(diǎn)((1,4))在(y=\frac{m}{x})上，故(4=\frac{m}{1})，解得(m=4)。第三步，驗(yàn)證(h=1\neq0)，符合條件。因此，反比例函數(shù)解析式為(y=\frac{4}{x})。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)問題特征：題目給出反比例函數(shù)的解析式，并說明某二次函數(shù)（含未知參數(shù)）的頂點(diǎn)在該反比例函數(shù)圖像上，要求求出二次函數(shù)中未知參數(shù)的值，或確定參數(shù)的取值范圍。解題步驟：設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)((h,k))（可能含參數(shù)）；根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，建立(h)、(k)與參數(shù)的關(guān)系式；將((h,k))代入反比例函數(shù)(y=\frac{m}{x})，得到關(guān)于參數(shù)的方程；解方程并驗(yàn)證參數(shù)的合理性（如二次項(xiàng)系數(shù)(a\neq0)，反比例函數(shù)中(m\neq0)等）。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)典型例題：已知反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})，二次函數(shù)(y=ax^2+4x+c)（(a\neq0)）的頂點(diǎn)在該反比例函數(shù)圖像上，且該二次函數(shù)的最小值為2，求(a)和(c)的值。解析：第一步，分析二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系。二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{2a}=-\frac{4}{2a}=-\frac{2}{a})；縱坐標(biāo)(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-16}{4a}=c-\frac{4}{a})。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)第二步，利用“最小值為2”的條件。因?yàn)槎魏瘮?shù)有最小值，說明(a>0)，且最小值即為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(k=2)，故(c-\frac{4}{a}=2)（方程①）。第三步，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上，故(k=\frac{6}{h})，即(2=\frac{6}{-\frac{2}{a}})（注意(h=-\frac{2}{a})）?；?jiǎn)右邊：(\frac{6}{-\frac{2}{a}}=6\times\left(-\frac{a}{2}\right)=-3a)，因此(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)第四步，驗(yàn)證(a>0)是否矛盾。此處得到(a=-\frac{2}{3}<0)，與“二次函數(shù)有最小值”矛盾，說明哪里出錯(cuò)了？回頭檢查：二次函數(shù)的最小值存在當(dāng)且僅當(dāng)(a>0)，此時(shí)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是最小值；若(a<0)，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是最大值。題目中明確“最小值為2”，故(a>0)，但第三步解得(a=-\frac{2}{3})，說明可能在代入時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤。重新計(jì)算第三步：頂點(diǎn)坐標(biāo)((h,k)=\left(-\frac{2}{a},c-\frac{4}{a}\right))，代入反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})，應(yīng)滿足(k=\frac{6}{h})，即(c-\frac{4}{a}=\frac{6}{-\frac{2}{a}})。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)右邊化簡(jiǎn)：(\frac{6}{-\frac{2}{a}}=6\times\left(-\frac{a}{2}\right)=-3a)，因此方程為(c-\frac{4}{a}=-3a)（方程②）。結(jié)合方程①（原錯(cuò)誤：題目中“最小值為2”應(yīng)為(k=2)，但(a>0)時(shí)(k)是最小值，所以(c-\frac{4}{a}=2)是正確的），聯(lián)立方程①和②：(\begin{cases}c-\frac{4}{a}=2\c-\frac{4}{a}=-3a\end{cases})因此(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})，但(a<0)，與“最小值為2”矛盾，說明題目條件是否存在問題？2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)或者，可能我誤解了“最小值為2”的條件。實(shí)際上，當(dāng)(a>0)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，頂點(diǎn)是最小值點(diǎn)，縱坐標(biāo)為最小值；當(dāng)(a<0)時(shí)，開口向下，頂點(diǎn)是最大值點(diǎn)。題目中說“最小值為2”，說明函數(shù)必須有最小值，即(a>0)，但根據(jù)計(jì)算，此時(shí)無解，說明題目可能存在無解的情況，或我哪里出錯(cuò)了？重新檢查頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的計(jì)算：對(duì)于(y=ax^2+4x+c)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-16}{4a}=c-\frac{4}{a})，正確。代入反比例函數(shù)(k=\frac{6}{h})，而(h=-\frac{2}{a})，故(k=\frac{6}{-\frac{2}{a}}=-3a)，所以(c-\frac{4}{a}=-3a)。2已知反比例函數(shù)，求二次函數(shù)中的參數(shù)同時(shí)，若題目中“最小值為2”是指無論開口方向，函數(shù)的最小值是2，但實(shí)際上當(dāng)(a<0)時(shí)函數(shù)沒有最小值，只有最大值，因此題目條件應(yīng)為(a>0)且(k=2)，即(c-\frac{4}{a}=2)，聯(lián)立(c-\frac{4}{a}=-3a)，得(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})，矛盾，說明此時(shí)不存在這樣的二次函數(shù)。這一例題提醒我們：在解題時(shí)需注意參數(shù)的隱含條件（如(a\neq0)、反比例函數(shù)(x\neq0)），以及函數(shù)性質(zhì)（如開口方向與最值的關(guān)系），避免忽略條件導(dǎo)致錯(cuò)誤。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍問題特征：題目可能進(jìn)一步要求二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或在滿足頂點(diǎn)條件的前提下，求二次函數(shù)的其他性質(zhì)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸位置等）。解題思路：在解決頂點(diǎn)條件的基礎(chǔ)上，結(jié)合方程聯(lián)立、判別式分析等方法，進(jìn)一步探討圖像的位置關(guān)系。典型例題：已知二次函數(shù)(y=(x-t)^2+2t)（(t)為常數(shù)）的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})的圖像上，且該二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求(k)的取值范圍。解析：3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍第一步，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。頂點(diǎn)式(y=(x-t)^2+2t)的頂點(diǎn)為((t,2t))。第二步，代入反比例函數(shù)求(k)。頂點(diǎn)((t,2t))在(y=\frac{k}{x})上，故(2t=\frac{k}{t})，解得(k=2t^2)（(t\neq0)，因(x=t)在反比例函數(shù)中不能為0）。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍第三步，聯(lián)立二次函數(shù)與反比例函數(shù)，求交點(diǎn)個(gè)數(shù)。聯(lián)立方程((x-t)^2+2t=\frac{2t^2}{x})（因(k=2t^2)）。整理得：(x(x-t)^2+2tx-2t^2=0)，展開((x-t)^2=x^2-2tx+t^2)，故左邊為(x(x^2-2tx+t^2)+2tx-2t^2=x^3-2tx^2+t^2x+2tx-2t^2=x^3-2tx^2+(t^2+2t)x-2t^2)。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍因式分解：嘗試(x=t)是否為根，代入得(t^3-2t\cdott^2+(t^2+2t)t-2t^2=t^3-2t^3+t^3+2t^2-2t^2=0)，故((x-t))是因式。用多項(xiàng)式除法或配方法分解：(x^3-2tx^2+(t^2+2t)x-2t^2=(x-t)(x^2-tx+2t))因此，方程等價(jià)于((x-t)(x^2-tx+2t)=0)，解得(x=t)或(x^2-tx+2t=0)。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍第四步，分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)。已知(x=t)是一個(gè)解，對(duì)應(yīng)交點(diǎn)為((t,2t))（即頂點(diǎn)），但需要判斷(x^2-tx+2t=0)是否有其他實(shí)數(shù)解。判別式(\Delta=(-t)^2-4\times1\times2t=t^2-8t)。題目要求有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分兩種情況：若(x=t)是唯一解，則(x^2-tx+2t=0)無實(shí)根，即(\Delta<0)，此時(shí)(t^2-8t<0)，解得(0<t<8)；但此時(shí)交點(diǎn)只有1個(gè)（頂點(diǎn)），不符合“兩個(gè)不同交點(diǎn)”的要求。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍若(x^2-tx+2t=0)有兩個(gè)不同實(shí)根，且其中一個(gè)可能與(x=t)重合：當(dāng)(x=t)是(x^2-tx+2t=0)的根時(shí)，代入得(t^2-t^2+2t=0)，即(t=0)，但(t=0)時(shí)頂點(diǎn)為((0,0))，不在反比例函數(shù)上（(k=0)不符合(k\neq0)），故(x=t)不是(x^2-tx+2t=0)的根。因此，當(dāng)(\Delta>0)時(shí)，(x^2-tx+2t=0)有兩個(gè)不同實(shí)根，此時(shí)總共有3個(gè)交點(diǎn)（(x=t)和兩個(gè)新根），但題目要求“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，說明其中一個(gè)根可能是重根或與(x=t)重合。3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍1這里可能我的分析有誤，因?yàn)樵匠淌侨畏匠?，最多有三個(gè)實(shí)根。題目要求“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，可能是指除頂點(diǎn)外還有一個(gè)交點(diǎn)（即三次方程有兩個(gè)實(shí)根，其中一個(gè)是重根）。2重新考慮：三次方程((x-t)(x^2-tx+2t)=0)的實(shí)根個(gè)數(shù)由(x^2-tx+2t=0)決定：3當(dāng)(\Delta>0)（(t<0)或(t>8)）時(shí)，(x^2-tx+2t=0)有兩個(gè)不同實(shí)根，三次方程有三個(gè)不同實(shí)根；4當(dāng)(\Delta=0)（(t=0)或(t=8)）時(shí)，(x^2-tx+2t=0)有一個(gè)實(shí)根（重根），三次方程有兩個(gè)實(shí)根（其中一個(gè)是重根）；3綜合應(yīng)用：求函數(shù)圖像的交點(diǎn)或參數(shù)范圍當(dāng)(\Delta<0)（(0<t<8)）時(shí)，(x^2-tx+2t=0)無實(shí)根，三次方程有一個(gè)實(shí)根（(x=t)）。題目要求“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，即三次方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，因此需(\Delta=0)，即(t=0)或(t=8)。但(t=0)時(shí)頂點(diǎn)為((0,0))，不在反比例函數(shù)上（(k=0)無效），故(t=8)，此時(shí)(k=2t^2=2\times64=128)。但這與題目要求的“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”可能存在矛盾，說明在綜合問題中需更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龇匠痰母c圖像交點(diǎn)的關(guān)系，避免遺漏條件。04學(xué)生常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略學(xué)生常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生解決此類問題時(shí)容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤，需重點(diǎn)提醒：1頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤表現(xiàn)：忘記頂點(diǎn)式的正確形式，或在一般式中誤用公式（如將橫坐標(biāo)算成(\frac{2a})而非(-\frac{2a})），導(dǎo)致頂點(diǎn)坐標(biāo)錯(cuò)誤。對(duì)策：通過配方法和公式法兩種方式交叉驗(yàn)證頂點(diǎn)坐標(biāo)，強(qiáng)化“頂點(diǎn)式中((h,k))