高中2025北京八中高二（上）期末數(shù)學(xué)考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.在的展開式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.102.若直線l的方向向量是則直線l的傾斜角是（）A. B. C. D.3.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A.2 B. C.3 D.4.和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中（）為一固定常數(shù)值，，，，則（）A.32 B.48 C.64 D.1285.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B. C. D.26.橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.7.已知橢圓和雙曲線的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（）A.， B.， C.， D.，8.已知等比數(shù)列的公比為q且，記、則“且”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10.如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.若，則__________.12.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大值時(shí)，的值為__________．13.已知數(shù)列滿足，且其前項(xiàng)和滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.14.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則__________15.斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用，斐波那契數(shù)列滿足，（，）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)t，使得對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列；④不存在正整數(shù)，，…，，且，使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三、解答題（共6題，滿分85分）16.在貫徹中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中，某單位定點(diǎn)幫扶甲、乙兩個(gè)村各50戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對(duì)這100戶村民的年收入情況、勞動(dòng)能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)和，制成下圖，其中“”表示甲村貧困戶，“”表示乙村貧困戶.若，則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”，若，則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”，若，則認(rèn)定該戶為“低收入戶”；若，則認(rèn)定該戶為“今年能脫貧戶”，否則為“今年不能脫貧戶”.（1）從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，求該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率；（2）若從所有“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”中選3戶，用表示所選3戶中乙村的戶數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試比較這100戶中，甲、乙兩村指標(biāo)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.17.如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．18.知橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好為（1）求橢圓E的方程；（2）如圖，下頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C，D兩點(diǎn).直線AD，AC分別交x軸于點(diǎn)H，求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.19.地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價(jià)格情況如表1（該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響）.明年冬小麥統(tǒng)一收購價(jià)格（單位：元）概率表1假設(shè)圖1中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.（1）試估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為元的概率；（2）設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說明理由.20.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C：（）過點(diǎn)，且離心率為.設(shè)分別為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為橢圓上異于的一點(diǎn)，直線分別與直線：相交于兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷三點(diǎn)是否共線，并證明你的結(jié)論.21.已知集合．對(duì)集合A中的任意元素，定義，當(dāng)正整數(shù)時(shí)，定義（約定）．（1）若，求和；（2）若滿足且，求的所有可能結(jié)果；（3）是否存在正整數(shù)n使得對(duì)任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.【答案】C【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．2.【答案】C【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，故選：C.3.【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B4.【答案】D【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，，則，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，，所以.故選：D.5.【答案】D【分析】數(shù)列滿足，，可得，利用周期性即可得出．【詳解】數(shù)列滿足，，可得，，，，，數(shù)列的周期為3．．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6.【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.7.【答案】C【分析】求得橢圓的離心率，雙曲線的離心率為，運(yùn)用離心率公式，解方程可得，再由雙曲線的漸近線方程，結(jié)合直線的斜率和傾斜角關(guān)系可得所求角.【詳解】設(shè)橢圓的離心率為，則，雙曲線的離心率為，由題意可得，解得，故雙曲線的漸近線方程為，可得漸近線的傾斜角分別為，，故選：C【點(diǎn)睛】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.8.【答案】B【分析】由等比數(shù)列及已知，要為遞增數(shù)列只需在上恒成立，討論、、，結(jié)合的符號(hào)，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.【詳解】由題設(shè)且n≥2，要為遞增數(shù)列，只需在上恒成立，當(dāng)，不論取何值，總存在，不滿足要求；當(dāng)，，則，不滿足要求；，總存在，不滿足要求；當(dāng)，，則，不滿足；，若，，顯然，即，不滿足；，則在上恒成立，滿足.所以為遞增數(shù)列有且.綜上，“且”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B9.【答案】B【分析】求出的軌跡方程，利用兩圓相交或相切的位置關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)，，，即，圓上存在點(diǎn)，使得，所以兩圓相交或相切，，即，.故選：B.10.【答案】C【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根據(jù)雙曲線的定義可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根據(jù)雙曲線的離心率公式即可得解.【詳解】，不妨令，又由雙曲線的定義得，，，在中，，又.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】利用賦值法令可計(jì)算得出，再應(yīng)用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式計(jì)算可得即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，即可得，因?yàn)檎归_式中代表系數(shù)，所以的展開式中含有一次項(xiàng)，可得，得，所以.故答案為：.12.【答案】【詳解】直線可化為，由點(diǎn)斜式方程可知直線恒過定點(diǎn)，且斜率為，結(jié)合圖象可知當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，此時(shí)，，解得：．13.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件得到數(shù)列的性質(zhì),按性質(zhì)寫出一個(gè)數(shù)列即可.【詳解】∵，∴數(shù)列時(shí)一個(gè)增數(shù)列；∵，∴∴故答案為：（答案不唯一）14.【答案】【分析】由題意求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，繼而求得數(shù)列的前項(xiàng)和公式，將的表達(dá)式進(jìn)行裂項(xiàng)，再求即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有：，解得，數(shù)列的前n項(xiàng)和，則有：，故有.故答案為：.15.【答案】①③【分析】由第2、3、4項(xiàng)可判斷①；觀察各項(xiàng)的奇偶可判斷②；利用遞推關(guān)系得可判斷③；寫出斐波那契數(shù)列直接觀察可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意得，故成等差數(shù)列，故①正確，對(duì)于②，由遞推公式可知，，中有兩個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，成等差數(shù)列；故③正確，對(duì)于④，依次寫出數(shù)列中的項(xiàng)為，可得，故④不正確.故答案為：①③.三、解答題（共6題，滿分85分）16.【答案】（1）0.1；（2）見解析；（3）這100戶中甲村指標(biāo)的方差大于乙村指標(biāo)的方差.【詳解】試題分析：（1）處于100以下“”圖標(biāo)共5個(gè)，由古典概型可求．（2）由圖知，“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”有10戶，其中甲村6戶，乙村4戶，，的可能值為0，1，2，3.寫出超幾何分布列．（3）數(shù)據(jù)越集中方差越小，數(shù)據(jù)越分散方差越大，顯然乙村更集中．試題解析：（1）由圖知，在甲村50戶中，“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”有5戶，所以從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率為（2）由圖知，“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”有10戶，其中甲村6戶，乙村4戶，依題意，的可能值為0，1，2，3.從而，，，.所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望.（3）這100戶中甲村指標(biāo)的方差大于乙村指標(biāo)的方差.【點(diǎn)睛】平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.17.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18.【答案】（1）（2）證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意過且斜率為的直線設(shè)出來，令直線方程里的求出的值，把此點(diǎn)代入橢圓方程，再根據(jù)的關(guān)系求解.（2）把直線方程設(shè)出來，與橢圓聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，韋達(dá)定理求出用來表示，然后把方程用表示出來，令方程里的，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把三角形的面積用表示，同理的面積也用表示出來，所以用，表示，然后根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得.【小問1詳解】過且斜率為的直線的方程為，令，得，由題意可得，解得，橢圓E的方程為：；【小問2詳解】由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：，，，聯(lián)立，得，，由，得，，，直線AD的方程為，令，解得，則，同理可得，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，（3）建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良，理由見解析【分析】（1）計(jì)算出畝產(chǎn)量是的概率，結(jié)合表1以及獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（3）設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，設(shè)增產(chǎn)后的每畝動(dòng)漫小麥總價(jià)格為元，計(jì)算出增產(chǎn)的會(huì)產(chǎn)生增加的收益，與比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由圖可知，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價(jià)為元的概率為【小問2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：.【小問3詳解】解：建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良，設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，設(shè)增產(chǎn)后的每畝動(dòng)漫小麥總價(jià)格為元，分析可知，所以，增產(chǎn)的會(huì)產(chǎn)生增加的收益為，故建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良.20.【答案】（1）（2）共線，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條列出有關(guān)的方程組，求出的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)