高中2025北京四中高二（上）期末數(shù)學(xué)（試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.若直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3.以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.4.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.15 B.16 C.180 D.2405.如圖，在四面體中，E，F(xiàn)分別滿，，，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.6.已知拋物線（），過其焦點(diǎn)且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.7.甲?乙?丙?丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間,甲同學(xué)不與老師相鄰,乙同學(xué)與老師相鄰,則不同站法種數(shù)為A.24 B.12 C.8 D.68.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面C.與MN成角為60° D.點(diǎn)B到平面的距離為9.若，是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），點(diǎn)I為的內(nèi)心，若的面積是面積的3倍，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.10.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某地春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為3的圓，圓心到傘柄底端距離為3，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，該地的陽(yáng)光與地面夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11.已知直線：與直線：平行，那么__________.12.圓C：的圓心坐標(biāo)為___________，圓C的經(jīng)過點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為__________.13.若，則__________，__________.（用數(shù)字作答）14.雙曲線W：（）的頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)為，.若，是橢圓E：（）的焦點(diǎn)，，是橢圓E的頂點(diǎn).P是雙曲線W與橢圓E的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則雙曲線W的離心率為__________.15.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng).則當(dāng)______________時(shí)，的面積最小，此時(shí)由P，M，N三點(diǎn)確定的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為__________.三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16.從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選擇4位同學(xué)去參加志愿者活動(dòng).（1）共有多少種不同的選法？（2）既有男生又有女生的選法有多少種？17.已知拋物線W：（）經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線W的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l與拋物線W相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值.18.如圖，直三棱柱中，，D為的中點(diǎn).請(qǐng)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得三棱柱存在且唯一.條件①：；條件②：三棱柱的體積為4；條件③：的面積為.（1）求點(diǎn)A到平面的距離；（2）求平面與平面所成角的余弦值.注：如果選擇的條件不符合要求，本題得0分.19.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分別為AB，PC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得直線DE與平面所成角為.若存在，確定點(diǎn)E的位置，若不存在，說(shuō)明理由.20.已知橢圓E：（）的右頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)（）與x軸不重合的直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB交直線于點(diǎn)M.記直線OM，AC的斜率分別為，.若，求實(shí)數(shù)t的值.21.已知正整數(shù)，集合.對(duì)于集合S中的任意元素和，記，并記.（1）當(dāng)時(shí)，若，，求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，集合S中的元素，，…，，，，…，滿足：①，，…，兩兩不同；②，，…，兩兩不同.證明：存在，使得；（3）當(dāng)時(shí)，若，，，，，其中.證明：.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.【答案】D【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，先求出直線的斜率，再由，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，，直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為：，所以，所以.故選：D.2.【答案】A【分析】直接根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.故選：A.3.【答案】B【分析】由給定切線求出圓的半徑即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由圓與軸相切，得該圓半徑為點(diǎn)到軸的距離5，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.【答案】D【分析】先求的展開式的通項(xiàng)公式，再結(jié)合式子特點(diǎn)令，得出，即可得到答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：D.5.【答案】A【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合幾何體表示出.【詳解】在四面體中，，，所以.故選：A6.【答案】B【分析】設(shè)Ax1,【詳解】根據(jù)題意，設(shè)Ax1,y1,Bx所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€AB的斜率為2，線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B7.【答案】C【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結(jié)合左右對(duì)稱原則求解.【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時(shí)甲有兩個(gè)位置可以站，2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共8種.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵在于弄清計(jì)數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題.8.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷AB；利用線線角的向量求法判斷C；利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離判斷D.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對(duì)于A，，與不共線，則不垂直于平面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，與平面不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，而，因此，與MN成角為，C正確；對(duì)于D，，點(diǎn)B到平面的距離，D錯(cuò)誤.故選：C9.【答案】B【分析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)三角形面積公式，以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓定義，得到，再由題中條件，列出等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,，又因?yàn)?，?所以，即，所以.故選：B10.【答案】D【分析】作出示意圖，利用正弦定理解三角形求出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，以及半焦距，即可求得橢圓離心率.【詳解】如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的另一個(gè)端點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的傘沿為為傘的圓心，為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，令橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由，得，在中，，則，由正弦定理得，，解得，則，所以該橢圓的焦距為.故選：D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11.【答案】【分析】由兩條直線平行列式求出值.【詳解】由直線：與直線：平行，得，所以.故答案為：12.【答案】①.②.【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求出最短弦長(zhǎng).【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，而，圓C的經(jīng)過點(diǎn)的最短弦是垂直于的圓的弦，所以所求的最短弦長(zhǎng)為.故答案為：；13.【答案】①.②.【分析】利用賦值法計(jì)算可得.【詳解】令，可得，令，可得①，令，可得②，①②，得，解得.故答案為：；.14.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓E的方程，進(jìn)而求出雙曲線W的實(shí)半軸長(zhǎng)和半焦距即可求出離心率.【詳解】依題意，，解得，橢圓E：的半焦距為，因此雙曲線W的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，所以雙曲線W的離心率為.故答案為：15.【答案】①.##0.5②.【分析】利用線面垂直的判定證得平面，求出的面積并確定取最小值時(shí)點(diǎn)，再作出截面多邊形并求出周長(zhǎng).【詳解】棱長(zhǎng)為2的正方體中，連接，由分別為中點(diǎn)，得，又平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，的面積，當(dāng)最小時(shí)的面積最小，此時(shí)，，因此，所以；分別取的中點(diǎn)，同理可得，，則平面，平面，而當(dāng)時(shí)，平面，則平面、平面與平面重合，因此過P，M，N三點(diǎn)的正方體截面即為正六邊形，正六邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）直接由組合數(shù)公式求解即可.（2）分類討論，選出4名同學(xué)分別為1男3女，2男2女和3男1女三種情況，即可得解.【小問1詳解】從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選擇4位同學(xué)去參加志愿者活動(dòng)，共有種不同的選法.【小問2詳解】選出4名同學(xué)既有男生又有女生有三種情況：有1名男同學(xué)和3名女同學(xué)，則有：種不同的選法.有2名男同學(xué)和2名女同學(xué)，則有：種不同的選法.有3名男同學(xué)和1名女同學(xué)，則有：種不同的選法.所以既有男生又有女生的選法有種.17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）將給定的點(diǎn)代入方程求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出面積的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】由拋物線W：過點(diǎn)，得，解得，所以拋物線W的方程為.【小問2詳解】顯然直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，由消去得，則，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等體積法即可求得結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】選擇條件①：因?yàn)?所以,解得,同理得到,在直角，,得到：,又因?yàn)?則為直角三角形，因?yàn)?所以，解得：,所以點(diǎn)A到平面的距離為.選擇條件②：三棱柱的體積為4；設(shè)三棱柱的高為，,解得：,即,故，以下解法同上；選擇條件③：的面積為在中，因?yàn)槿庵侵比庵?，所?解得,因?yàn)椋獾茫?故或者，與題干中的三棱柱存在且唯一相矛盾，所以條件③不符合題意.【小問2詳解】因?yàn)槭侵比庵?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以,所以,設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則,得令，則，故；,解得，令，則，故設(shè)平面與平面的夾角為，，平面與平面所成角的余弦值為.19.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，點(diǎn)為中點(diǎn).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用平行公理、線面平行的判定推理即得.（2）取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理得證.（3）由（2）可得直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由分別為的中點(diǎn)，，又四邊形是菱形，則，于是四邊形是平行四邊形，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，于是，由平面，平面，得，又平面，所以平面.【小問3詳解】由（2）知，，又四邊形是菱形，則四邊形是正方形，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，假定在棱PA上存在一點(diǎn)E，滿足條件，令，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則直線DE與平面所成角正弦值為，解得，所以在棱PA上存在一點(diǎn)E，使得直線DE與平面所成角為，點(diǎn)為中點(diǎn).20.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)離心率、橢圓參數(shù)關(guān)系及已知求參數(shù)值，即可得方程；（2）令，且，，進(jìn)而求出、，聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理及化簡(jiǎn)得到關(guān)于t的方程，即可求值.【小問1詳解】由題設(shè)，可得，則，故；【小問2詳解】令，且，，則，若，則，故，而，聯(lián)立，則，且，所以，則，，所以，，又，即，所以，則，驗(yàn)證易知滿足題設(shè)，則.21.【答案】（1）；（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）由定義式代入數(shù)據(jù)求解可得；（2）由定義式得到，可知，均從中這個(gè)值中取；再由結(jié)論和為，將共個(gè)數(shù)分成組，利用抽屜原理證明即可；（3）由定義式得，由得出的個(gè)分量中個(gè)“”，個(gè)“”，分析條件，轉(zhuǎn)化為任意與的分量“”的相同列數(shù)至多個(gè)，再分別從個(gè)數(shù)與個(gè)分量?jī)蓚€(gè)角度，對(duì)不同“列對(duì)”的個(gè)數(shù)進(jìn)行組合計(jì)數(shù)即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?，則由題意可得，；因?yàn)椋?，則由題意可得，，故；.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)為集合S中的任一元素，則.則有；由，可知，即的可能取值有個(gè)；由，，…，兩兩不同，故取個(gè)中的個(gè)不同取值；同理也取個(gè)中的個(gè)不同取值；將共個(gè)數(shù)分成如下組：，依序記組數(shù)分別為.則對(duì)于的各自個(gè)不同取值，由抽屜原理知，在組中取個(gè)不同的數(shù)，則至少有兩組數(shù)全部取到.下面反證法證明：存在，使得.證明：假設(shè)不存在，使得；根據(jù)以上分析，依條件從組數(shù)據(jù)中取的個(gè)不同取值.由的個(gè)不同取值，至少有兩組中的數(shù)全部取到，不妨設(shè)的個(gè)不同取值，取出兩組中的全部個(gè)數(shù)，則的個(gè)不同取值，若取中的任一個(gè)，則由可知，必存在，使得，這與假設(shè)矛盾；故必不取中任何數(shù)；又也至少有兩組數(shù)全部取到，不妨設(shè)取出兩組中全部個(gè)數(shù)；同理可知的另個(gè)數(shù)不取兩組中的任一個(gè)，則從余下這組數(shù)中取個(gè)數(shù)，故由抽屜原理仍可得到，也至少有兩組數(shù)全部取到，不妨設(shè)取出兩組中全部個(gè)數(shù)，進(jìn)而同理得到取出兩組中全部個(gè)數(shù)，現(xiàn)取的最后個(gè)數(shù)，若取的數(shù)，則個(gè)數(shù)值必有相同，不合題意；若取中的任一個(gè)數(shù)，因?yàn)橹羞@8個(gè)數(shù)均已經(jīng)取出，所以由可知，必存在，使得，這與假設(shè)矛盾；綜上可知，假設(shè)錯(cuò)誤，即存在，使得.