高中2025北京西城高二（上）期末數(shù)學(xué)2025.1本試卷共6頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),,那么直線的斜率為（A）（B）（C）（D）（2）雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（3）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線（）的焦點(diǎn)重合,則等于（A）（B）（C）（D）（4）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，若三點(diǎn)共線，則的值為（A）（B）（C）（D）（5）在的展開式中，的系數(shù)為（A）（B）（C）（D）（6）正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，則側(cè)面與底面所成角的余弦值為（A）（B）（C）（D）（7）從數(shù)字中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）6（B）8（C）10（D）12（8）已知直線，“或”是“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（9）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（A）（B）（C）（D）（10）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（A）橢圓的一部分（B）線段（C）圓的一部分（D）拋物線的一部分第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知直線與垂直，那么=_____.（12）已知，則_____.（13）某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠(yuǎn)，頂部斧刃處兩端有缺口，現(xiàn)小明測(cè)得銅斧縱截面最窄處AB寬4cm，底部CD寬5cm，，底部離最窄處垂直高度為3cm，斧高12cm.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫小明算算，若原斧刃與AB平行，則其長(zhǎng)度為_____cm.（14）已知曲線與軸交點(diǎn)為，與拋物線交于兩點(diǎn)，則_____，的面積為_____.（15）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，點(diǎn)集組成的圖形為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率的最大值為；③，；④的面積小于.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題10分）某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了5種不同的葷菜和種不同的素菜.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若每份學(xué)生餐有1葷3素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？（Ⅱ）若每位學(xué)生可以任選2葷2素，要保證至少有200種以上的不同選擇，求的最小值.（17）（本小題15分）如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.

（18）（本小題15分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線交于兩點(diǎn)，（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）求的值.（19）（本小題15分）不重合），過(guò)且與軸垂直的直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率；（Ⅱ）若線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)坐標(biāo).

（20）（本小題15分）如圖，在四棱錐中，，，，，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)平面與平面的交線為，（ⅰ）求二面角的余弦值；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值.（21）（本小題15分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓總與軸相切？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.（1）A（2）C（3）C（4）A（5）D（6）D（7）C（8）A（9）D（10）D二、填空題：本大題共5題，每小題5分，共25分.（11）（12）（13）（14）（15）②③④注：第14題第一空2分，第二空3分；第15題全部選對(duì)得5分，選對(duì)2個(gè)得4分，選對(duì)1個(gè)得3分，不選或錯(cuò)選得0分.三、解答題：本大題共6小題，共85分.其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.（16）（本小題10分）解：（Ⅰ）從5種不同的葷菜和4種不同的素菜中，選取1葷3素，不同的選擇方法為（種）. 4分（Ⅱ）從5種不同的葷菜和種不同的素菜中，任取2葷2素，不同的選擇方法為（種）.由題意，得， 6分所以. 8分因?yàn)椋? 9分所以的最小值為7. 10分（17）（本小題15分）解：（Ⅰ）由，，可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 2分則，，，，所以，，. 4分設(shè)平面的法向量為，所以即 6分令，則，，于是， 8分設(shè)直線與平面所成角為，則， 9分所以直線與平面所成角的正弦值為. 10分（Ⅱ）因?yàn)椋? 12分所以點(diǎn)到平面的距離為. 15分（18）（本小題15分）解：（Ⅰ）根據(jù)圓心在直線上，設(shè)圓心. 1分因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，所以， 2分所以. 3分解得. 4分所以圓心，所以圓的方程為. 5分（Ⅱ）（?。┯深}意，， 8分所以，即，所以的取值范圍是. 10分（ⅱ）因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，又因?yàn)?，所以為菱? 11分因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離， 14分所以，符合題意. 15分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為.由題意，得 3分所以橢圓的短軸長(zhǎng)， 4分離心率. 6分（Ⅱ）直線的方程為， 7分令，得，所以. 8分直線的方程為， 9分令，得，所以. 10分因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以. 12分若，則，與重合，舍去. 若，則，解得. 13分將代入，得. 14分所以或. 15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫妫?所以， 1分又因?yàn)?，，所以? 3分所以. 4分（Ⅱ）（?。┤〉闹悬c(diǎn)，連接，因?yàn)?，，，，所以四邊形為矩形，所?又因?yàn)槠矫妫傻脙蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 5分則，，，，.因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，，所以，，， 是平面的一個(gè)法向量. 6分設(shè)平面的法向量為，即 7分令，則，，于是， 8分所以， 9分因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為. 10分（ⅱ）設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫媾c平面的交線為，平面，所以交線即為直線.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所?①因?yàn)樵谥本€上，所以. ②由①②解得，所以， 11分所以. 12分因?yàn)椋? 13分設(shè)直線與直線所成角為，所以. 14分所以直線與直線所成角的余弦值為. 15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意，得 2分所以. 3分所以橢圓的方程為. 4分（Ⅱ）由題意，過(guò)的直線的