數(shù)

字

邏

輯邏輯代數(shù)基本概念邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法本章導(dǎo)讀邏輯代數(shù)是數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)工具。物理何種形式的數(shù)字系統(tǒng)，都是由一些基本的邏輯電路所組成的。為了解決數(shù)字系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中的各種具體問題，必須掌握邏輯代數(shù)這一重要數(shù)學(xué)工具。本章將從實(shí)用的角度介紹邏輯代數(shù)的基本概念、基本定理和規(guī)則、邏輯函數(shù)的表示形式以及邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握各種邏輯運(yùn)算的規(guī)則01熟練邏輯代數(shù)中的基本定理、定律和常用公式02掌握邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換方法03熟悉邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法04熟練掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法05邏輯代數(shù)基本概念邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法2.1.1邏輯常量和邏輯變量

邏輯運(yùn)算是邏輯思維和邏輯推理的數(shù)學(xué)描述。具有“真”與“假”兩種可能，一般用英文大寫字母A，B，C，…表示。

邏輯變量只有“真”、“假”兩種可能，在邏輯數(shù)學(xué)中，把“真”、“假”稱為邏輯變量的取值，簡(jiǎn)稱邏輯值，也叫邏輯常量。通常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，或者相反。雖然“1”和“0”叫邏輯值或邏輯常量，但是它們沒有“大小”的含義，也無(wú)數(shù)量的概念。它們只是代表邏輯“真”、“假”的兩個(gè)形式符號(hào)。

邏輯變量分為兩類：輸入邏輯變量和輸出邏輯變量。2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯1.“與”（and）邏輯運(yùn)算

當(dāng)決定某個(gè)事件的全部條件都具備時(shí)，才發(fā)生該事件，這種因果關(guān)系稱為‘與’邏輯關(guān)系?！芭c”邏輯最為常見的實(shí)際應(yīng)用是串聯(lián)開關(guān)照明電路，如圖

開關(guān)A、B（輸入變量）的狀態(tài)（閉合或斷開）與電燈Y（輸出變量）的狀態(tài)（亮和滅）之間存在確定的因果關(guān)系。2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯“與”邏輯關(guān)系的表達(dá)式為Y=A?B2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯2.“或”（or）邏輯運(yùn)算

當(dāng)決定某個(gè)事件的全部條件中有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備時(shí)，才發(fā)生該事件，這種因果關(guān)系稱為“或”邏輯關(guān)系。

“或”邏輯最為常見的實(shí)際應(yīng)用是并聯(lián)開關(guān)照明電路，如圖2.1.3所示。只要并聯(lián)的兩個(gè)開關(guān)A、B有一個(gè)或全部閉合時(shí)，燈Y就會(huì)亮。只有兩個(gè)開關(guān)都斷開時(shí)，燈Y才會(huì)滅。2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯“或”邏輯關(guān)系的表達(dá)式為Y=A+B2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯3.“非”（not）邏輯運(yùn)算

“非”邏輯運(yùn)算也稱為邏輯反。數(shù)字電路中實(shí)現(xiàn)“非”邏輯的反相器，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用。絕對(duì)某一事件的條件滿足時(shí)，該事件不會(huì)發(fā)生；反之事件會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯關(guān)系。

“非”邏輯的實(shí)際應(yīng)用是開關(guān)與負(fù)載并聯(lián)的控制電路。當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈Y被開關(guān)A短路而熄滅。當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈Y才有電流通過，會(huì)點(diǎn)亮。2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯Y=

A

能實(shí)現(xiàn)“非”邏輯運(yùn)算功能的電路稱為“非”門2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯

2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯

2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯

2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯

2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯

2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法

2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法2.真值表

用真值表描述邏輯函數(shù)的方法是一種表格表示法。由于一個(gè)邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個(gè)邏輯變量一共只有2n種可能取值組合。任何邏輯函數(shù)總是和若干個(gè)邏輯變量相關(guān)的，由于變量的個(gè)數(shù)是有限的，所以變量取值組合的總數(shù)也必然是有限的，因此，可以用窮舉法來描述邏輯函數(shù)的功能。

對(duì)一個(gè)函數(shù)求出所有輸入變量取值下的函數(shù)值并用表格形式記錄下來，這種表格稱為真值表。2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法3.卡諾圖

卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)成的平面圖。它是一種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法，這種方法在邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中十分有用，將在后面結(jié)合函數(shù)化簡(jiǎn)問題進(jìn)行詳細(xì)介紹。4.波形圖

邏輯函數(shù)還可以用輸入輸出的波形圖來表示。2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法2.1.4邏輯函數(shù)的相等

邏輯函數(shù)和普通代數(shù)中的函數(shù)一樣存在相等的問題。設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)F1=f1（A1，A2，……，An）F2=f2（A1，A2，……，An）若對(duì)應(yīng)于邏輯變量A1，A2，……，An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等，記作F1=F2。2.1.4邏輯函數(shù)的相等

判斷兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，通常有兩種方法：一種方法是列出輸入變量所有可能的取值組合，并按邏輯運(yùn)算法則計(jì)算出各種輸入取值下兩個(gè)函數(shù)的相應(yīng)值，然后進(jìn)行比較；另一種方法是用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行證明。邏輯代數(shù)基本概念邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式2.2.1邏輯代數(shù)的基本公式2.2.1邏輯代數(shù)的基本公式【例2.2.1】證明表2.2.1中分配律A+B?C=（A+B）?（A+C）。證明：假設(shè)分配律以前的公式成立，則有A+B?C=A（1+B+C）+BC=A+AB+AC+BC=AA+AB+AC+BC=（AA+AC）+（AB+BC）=A（A+C）+B（B+C）=（A+B）?（A+C）2.2.2邏輯代數(shù)的基本定理

2.2.2邏輯代數(shù)的基本定理

2.2.2邏輯代數(shù)的基本定理

2.2.2邏輯代數(shù)的基本定理

2.2.2邏輯代數(shù)的基本定理【例2.2.7】求邏輯式Y(jié)=（A+

C）B+A（

B+

C）的對(duì)偶式Y(jié)’。解：根據(jù)對(duì)偶定理可以得Y’=（A?

C+

B）?（A+

B?

C）=（A+

B）（

C+

B）（A+

B）（A+

C）=（A+

B）（

C+

B）（A+

C）=（A+

C）

B+A（

B+

C）=Y2.2.3邏輯代數(shù)的常用公式

2.2.4異或運(yùn)算公式

邏輯代數(shù)基本概念邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式2.3.1邏輯函數(shù)基本表達(dá)式1.與-或表達(dá)式

所謂與-或表達(dá)式式指由若干與項(xiàng)進(jìn)行或運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。每個(gè)與項(xiàng)可以是單個(gè)變量的原變量或者反變量，也可以由多個(gè)原變量或者反變量相與組成。例如，

AB、A

BC、

C均為與項(xiàng)，將這3個(gè)與項(xiàng)相或便可構(gòu)成一個(gè)3變量函數(shù)的與=或表達(dá)式，即F（A，B，C）=

AB+A

BC+C

與項(xiàng)有時(shí)又被稱為積項(xiàng)，相應(yīng)地與-或表達(dá)式又稱為“積之和”表達(dá)式。2.3.1邏輯函數(shù)基本表達(dá)式2.或-與表達(dá)式

所謂或-與表達(dá)式是指由若干或項(xiàng)進(jìn)行與運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。每個(gè)或項(xiàng)可以是單個(gè)變量的原變量或者反變量，也可以由多個(gè)原變量或者反變量相或組成。例如，（

A+B）、（B+

C）、（A+

B+C）、

D均為或項(xiàng)，將這4個(gè)或項(xiàng)相與便可構(gòu)成一個(gè)4變量函數(shù)的或-與表達(dá)式，即F（A，B，C，D）=（

A+B）（B+

C）（A+

B+C）

D

或項(xiàng)有時(shí)又被稱為和項(xiàng)，相應(yīng)地或-與表達(dá)式又稱為“和之積”表達(dá)式。2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式1.最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式是建立在最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念的基礎(chǔ)之上的。（1）最小項(xiàng)的定義和性質(zhì)

定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的與項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該與項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)。有時(shí)又將最小項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)。

性質(zhì)1：任意一個(gè)最小項(xiàng)，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個(gè)最小項(xiàng)的值為1.并且，最小項(xiàng)不同，使其值為1的變量取值也不同。2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式（2）最大項(xiàng)的定義和性質(zhì)

定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的或項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該或項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)。有時(shí)又將最大項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)。

為了書寫方便，在變量個(gè)數(shù)和變量順序確定之后，通常用Mi表示最大項(xiàng)。下標(biāo)i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆畲箜?xiàng)中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。例如，3變量A，B，C構(gòu)成的最大項(xiàng)

A+B+C可用M5表示。2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式（3）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系

最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的簡(jiǎn)寫形式時(shí)，為什么在確定最小項(xiàng)mi的下標(biāo)i時(shí)，令標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)中的反變量用0表示，原變量用1表示，而在確定最大項(xiàng)MI的下標(biāo)時(shí)，卻令標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)中的反變量用1表示，原變量用0表示呢？因?yàn)檫@樣做可使在同一個(gè)問題中下標(biāo)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)互為反函數(shù)?；蛘哒f，相同變量構(gòu)成的最小項(xiàng)mi和最大項(xiàng)Mi之間存在互補(bǔ)關(guān)系，即

mi=Mi或者mi=

Mi2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式2.邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式有標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式兩種類型。（1）標(biāo)準(zhǔn)與-或表達(dá)式

由若干最小項(xiàng)或構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)與-或表達(dá)式，也叫做最小項(xiàng)表達(dá)式。例如，

A

BC，

AB

C，A

B

C，ABC為3變量構(gòu)成的4個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)這4個(gè)最小項(xiàng)進(jìn)行或運(yùn)算，即可得到一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或表達(dá)式F（A，B，C）=A

BC+AB

C+A

B

C+ABC

該函數(shù)表達(dá)式又可簡(jiǎn)寫為F（A，B，C）=m1+m2+m4+m7=

m（1，2，4，7）2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式（2）標(biāo)準(zhǔn)或-與表達(dá)式由若干最大項(xiàng)相與構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)或-與表達(dá)式，也叫做最大項(xiàng)表達(dá)式。例如，A+B+C，

A+B+

C，

A+

B+

C為3變量構(gòu)成的3個(gè)最大項(xiàng)，對(duì)這3個(gè)最大項(xiàng)進(jìn)行該表達(dá)式又可簡(jiǎn)寫為F（A，B，C）=M0M5M7=

M（0，5，7）2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換將一個(gè)任意邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方式，一種是代數(shù)轉(zhuǎn)換法，另一種是真值表轉(zhuǎn)換法。1.代數(shù)轉(zhuǎn)換法所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表達(dá)式從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換

2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換將一個(gè)任意邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方式，一種是代數(shù)轉(zhuǎn)換法，另一種是真值表轉(zhuǎn)換法。1.代數(shù)轉(zhuǎn)換法所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表達(dá)式從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換2.真值表轉(zhuǎn)換法

一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表與它的最小項(xiàng)表達(dá)式具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。假定在函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F的值為1、其他變量取值下F的值為0，那么，函數(shù)F的最小項(xiàng)表達(dá)式由這k組變量取值對(duì)應(yīng)的k個(gè)最小項(xiàng)組成。因此，求一個(gè)函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式時(shí)，可以通過先列出該函數(shù)的真值表，然后根據(jù)真值表寫出最小項(xiàng)表達(dá)式。2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換【例2.3.3】將函數(shù)表達(dá)式F（A，B，C）=A

B+B

CB表示成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：F（A，B，C）=

m（2，4，5，6）2.3.3各種邏輯函數(shù)表示方法的相互轉(zhuǎn)換【例2.3.4】將函數(shù)表達(dá)式F（A，B，C）=

AC+A

B

C表示成最大項(xiàng)表達(dá)式。解：F（A，B，C）=

M（0，2，5，6，7）邏輯代數(shù)基本概念邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式2.4.1邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義

邏輯函數(shù)表達(dá)式有各種不同的表示形式，即使同一類型的表達(dá)式也有繁簡(jiǎn)。對(duì)于某一個(gè)邏輯函數(shù)來說，盡管函數(shù)表達(dá)式的形式不同，但所描述的邏輯功能是相同的。在數(shù)字系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)某一邏輯功能的邏輯電路的復(fù)雜性與描述該功能的邏輯表達(dá)式的復(fù)雜性直接相關(guān)。一般說，邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)出來的相應(yīng)邏輯電路也就越簡(jiǎn)單。這對(duì)于節(jié)省元件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本、提高系統(tǒng)的可靠性、提高產(chǎn)品在市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)力非常重要。

邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法很多，常見的有代數(shù)化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法。2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法

2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法

2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法3.配項(xiàng)法：利用公式A+A=A，A=AB+A

B和AB+

AC=AB+

AC+BC配項(xiàng)或增加多余項(xiàng)，再和其他項(xiàng)合并?！纠?.4.3】將邏輯函數(shù)Y=

A

BC+A

BC+ABC化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)“與或”表達(dá)式。解：Y=

A

BC+A

BC+ABC=（A

BC+A

BC）+（A

BC+ABC）=

BC（

A+A）+AC（

B+B）=BC+C2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法

2.4.3邏函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法輯卡諾圖化簡(jiǎn)法比代數(shù)法方便、直觀、規(guī)律性強(qiáng)，可直接寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式，比較容易掌握，一般運(yùn)用于五變量以下的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。在卡諾圖中，最小項(xiàng)滿足下面3種情況中的1種（或1種以上）的稱為幾何相鄰。相接：挨著的最小項(xiàng)。相對(duì)：一行或一列兩頭的最小項(xiàng)。相重：對(duì)折起來能夠重合的最小項(xiàng)。2.4.3邏函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法輯1.合并最小項(xiàng)規(guī)律（1）若2個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰，則可合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去一對(duì)互反變量。合并后的結(jié)果只剩下公共變量。（2）若4個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰，則可合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去兩對(duì)互反的變量。合并后的記過只有剩下公共變量。（3）若8個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去三隊(duì)互反變量。合并后的結(jié)果只剩下公共變量。2.4.3邏函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法輯2.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟卡諾圖化簡(jiǎn)法也稱圖形化簡(jiǎn)法，化簡(jiǎn)步驟如下：繪制邏輯函數(shù)的卡諾圖；為填1的相鄰最小項(xiàng)繪制包圍圈；分別寫出各包圍圈所覆蓋的變量組合（乘積項(xiàng)）；將各包圍圈對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，得到邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)“與或”表達(dá)式。2.4.3邏函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法輯可見，利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，較重要的步驟是繪制包圍圈，這是能否正確化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的關(guān)鍵，其原則如下：只有相鄰的填1小方格才能合并，且每個(gè)包圍圈內(nèi)必須包圍2m個(gè)相鄰的填1小方格；為了充分化簡(jiǎn)，1可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但新繪制的包圍圈中必須有未被圈過的1。包圍圈的個(gè)數(shù)盡量少，這樣邏輯函數(shù)的“與”項(xiàng)就少；包圍圈盡量大，這樣消去的變量就多，與門輸入端的數(shù)目就少。繪制包圍圈時(shí)應(yīng)全覆蓋，即覆蓋卡諾圖中所有的1。2.4.3邏函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法輯【例2.4.6】用卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y=

BCD