第六章

統(tǒng)計(jì)6.4.2分層隨機(jī)抽樣的期望與方差1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析和求解，理解分層隨機(jī)抽樣的均值推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)求分層隨機(jī)抽樣的均值；2.理解分層隨機(jī)抽樣的方差推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)求分層隨機(jī)抽樣的方差.回顧：1.分層隨機(jī)抽樣的概念：將總體按其屬性特征分成若干類型（有時(shí)稱作層），然后在每個(gè)類型中按照所占比例隨機(jī)抽取一定的個(gè)體的抽樣方法.2.分層隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)：抽樣具有代表性、準(zhǔn)確反映總體特征.3.分層隨機(jī)抽樣適用范圍：適用于總體的分成有明顯差別、互不交疊的幾部分構(gòu)成.4.分層隨機(jī)抽樣步驟：（1）計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)數(shù)之比；（2）將總體分成互不交叉的層，按比例確定每層要抽取的個(gè)體；（3）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體；（4）將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本.1.分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差：如果知道樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，那么可以通過(guò)計(jì)算得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；因此，在利用分層隨機(jī)抽樣得到樣本后，可以對(duì)某學(xué)校高一年級(jí)，算出樣本平均數(shù)和樣本方差.

問(wèn)題1：對(duì)某學(xué)校高一年級(jí)，如果只知道甲班和乙班的各班數(shù)學(xué)平均成績(jī)和方差，以及甲班和乙班的人數(shù)，而缺少每名學(xué)生的成績(jī)，應(yīng)如何計(jì)算整個(gè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)的平均成績(jī)?例1：某公司的高收入員工月平均工資是11000元，中等收入員工月平均工資是6500元，低收入員工月平均工資是2900元.能否認(rèn)為該公司員工的月平均工資收入是元?這樣計(jì)算平均數(shù)的方法合理嗎?

解：在這個(gè)問(wèn)題中，如果該公司有1000名員工，其中50名屬于高收入者，150名屬于中等收入者，800名屬于低收入者，那么由于每一類員工所占比例不同，因此上述計(jì)算方法顯然不合理.例2：甲、乙兩位同學(xué)相約晚上在某餐館吃飯，他們分別在

A，B兩個(gè)網(wǎng)站查看同一家餐館的好評(píng)率.甲在網(wǎng)站

A查到的好評(píng)率是98%，而乙在網(wǎng)站

B查到的好評(píng)率是85%.綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，應(yīng)該如何得到這家餐館的好評(píng)率?

解：好評(píng)率是由好評(píng)人數(shù)除以總評(píng)價(jià)人數(shù)得到的；98%的好評(píng)率意味著如果有100人評(píng)價(jià)，那么有98人給了好評(píng).設(shè)在網(wǎng)站

A評(píng)價(jià)該餐館的人數(shù)為

n1，其中給出好評(píng)的人數(shù)為

m1；在網(wǎng)站

B評(píng)價(jià)該餐館的人數(shù)為

n2，其中給出好評(píng)的人數(shù)為

m2.由題可知，，

，綜上，這家餐館的總好評(píng)率應(yīng)為；其中，和分別是各自的權(quán)重，總好評(píng)率等于相應(yīng)的好評(píng)率與其權(quán)重乘積的和；所以除非再知道A，B兩個(gè)網(wǎng)站評(píng)價(jià)人數(shù)的比例關(guān)系，否則并不能求出總好評(píng)率；由以上分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)

n1=n2

時(shí)，總好評(píng)率等于化簡(jiǎn)得：

一般地，將樣本和樣本

合成一組新樣本，這組新樣本的平均數(shù)為

于是，當(dāng)已知兩層構(gòu)成的樣本中每層的平均數(shù)分別為和時(shí)，可以得到這個(gè)樣本的平均數(shù).

記則這個(gè)樣本的平均數(shù)為，其中稱為權(quán)重；設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為

和則這個(gè)樣本的平均數(shù)為為了簡(jiǎn)化表示，引進(jìn)求和符號(hào)，記作例3：A、B兩班參加了同一考試，其中

A班50人，B班40人，A班的平均數(shù)是80.5分，方差為500；B班的平均數(shù)為85分，方差為360.那么

A、B兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)和方差是多少？解：設(shè)甲班50名學(xué)生的成績(jī)分別是

，那么甲班的平均成績(jī)、權(quán)重和方差分別為：設(shè)乙班40名學(xué)生的成績(jī)分別是

，那么乙班的平均成績(jī)、權(quán)重和方差分別為

如果不知道

和

，只知道甲、乙兩班的平均成績(jī)、方差及權(quán)重，根據(jù)以上分析，考點(diǎn)全部90名學(xué)生的平均成績(jī)應(yīng)為：

分；而全部90名學(xué)生的方差為：

如果知道

和

，那么全部90名學(xué)生的方差為：

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為