甘肅省慶陽二中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.22．已知集合，則（）A. B.C. D.3．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.4．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為185．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.6．已知拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(1，) B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.9．某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè)．把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào)，若018號(hào)被抽中，則下列編號(hào)也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.52210．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺11．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.12．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，斜率為且過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值14．已知雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為、，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；②的離心率為；③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形15．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.16．若直線與平行，則實(shí)數(shù)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.18．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的題設(shè)條件中.問題：等差數(shù)列的公差為，滿足，________?（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和得到最小值時(shí)的值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為20．（12分）銳角中滿足，其中分別為內(nèi)角的對(duì)邊（I）求角；（II）若，求的取值范圍21．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點(diǎn)F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D2、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.4、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D5、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.6、B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.7、D【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故，所以，選D8、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D9、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，寫出組數(shù)與對(duì)應(yīng)抽取編號(hào)的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設(shè)第組抽取的編號(hào)為，故可設(shè)，又第一組抽中號(hào)，故可得，解得故，當(dāng)時(shí)，.故選：.10、B【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，故所以冬至當(dāng)日日影長為.故選：B11、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A12、A【解析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）為定值6【解析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因?yàn)?，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).14、②④【解析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求邊長，求出可判斷④【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯(cuò)誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確故答案為：②④15、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：16、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面MNE,又∵∥且EM平面MNE,平面MNE,∴∥平面MNE又∵,∴平面∥平面,【小問2詳解】由（1）得∥,∴為直線MN與所成的角，設(shè)正方體的棱長為a,在△中，，，∴.18、（1）選擇條件見解析，（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得到，選①，聯(lián)立求解；選②，聯(lián)立求解；選③，聯(lián)立求解；（2）由（1）知，令求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，得，選①，得，故，∴.選②，得，得，故，∴.選③，，得，故，∴；【小問2詳解】由（1）知，，，∴數(shù)列是遞增等差數(shù)列.由，得，∴時(shí)，，時(shí)，，∴時(shí)，得到最小值.19、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，……①，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)……②，則①-②可得，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，即，因?yàn)樗?，則……①，①得……②，①-②得，所以.20、（I）；（II）【解析】（I）由正弦定理邊角互化并整理得，進(jìn)而由余弦定理得；（II）正弦定理得，故，再根據(jù)三角恒等變換得，由于銳角中，，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得答案.【詳解】解：（I）由正弦定理得所以，即，所以，因?yàn)殇J角中，，所以；（II）因?yàn)椋?，所以所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?1、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點(diǎn)為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方