河北省部分高中2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．32．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，方差為0，則數(shù)據(jù)，的方差為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．的展開式中的系數(shù)為（

）A．12 B．60 C．160 D．2405．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．某智能物流車的“實際配送向量D”“規(guī)劃路線向量R”“交通擁堵修正向量J”滿足關(guān)系式：D=3R+2J.已知條件如下：實際配送向量，交通擁堵修正向量J與向量垂直，配送效率等級通過“規(guī)劃路線向量R的模(單位：km)”判定，標(biāo)準(zhǔn)如下表(一般情況下，認(rèn)定“停滯”屬于無效配送)：配送效率等級超高效高效常規(guī)低效停滯模的范圍若此次配送為有效配送，則此次配送的效率等級為（

）A．超高效 B．高效 C．常規(guī) D．低效7．如圖，三棱柱中，為中點，為棱上一點，為側(cè)面上一動點，且滿足平面，則點的軌跡的長度為（

）A．1 B．C． D．28．若函數(shù)（其中），存在唯一整數(shù)，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則滿足過點可作出3條直線與圖象相切的充分條件是（

）A．， B．C．點在射線上 D．點在曲線上11．已知雙曲線的右焦點為，左頂點為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，且交的右支于點，設(shè)為坐標(biāo)原點，為的左支上一動點，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知函數(shù)，則滿足的的值為.13．若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，則的最小值為.14．在平面四邊形中，，若滿足上述條件的平面四邊形有且只有1個，則邊的取值范圍是.四、解答題15．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，求使得的的最小值.16．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)點在曲線上，求的最大值.17．如圖1，在菱形中，動點E，F(xiàn)在邊AD，AB上（不含端點），且存在實數(shù)使，沿EF將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示．(1)若，求的值；(2)當(dāng)點的位置變化時，平面與平面的夾角的余弦值是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．18．已知是橢圓上的兩點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩動點，且的橫坐標(biāo)之和為，設(shè)直線為線段的中垂線，過點作直線，垂足為．求垂足橫坐標(biāo)的取值范圍，并求的軌跡方程．19．在生態(tài)研究中，觀察兩種昆蟲的信息傳遞，這兩種昆蟲的信息素中均含某種特殊化學(xué)物質(zhì)A，A的濃度代表環(huán)境是否安全，但種群甲與種群乙的響應(yīng)恰好相反，種群甲接收到含高濃度A的信息素后，認(rèn)為“安全”，傳遞含高濃度A的信息素，反之認(rèn)為“危險”，傳遞含低濃度A的信息素；種群乙接收到含高濃度A的信息素后，認(rèn)為“危險”，傳遞含低濃度A的信息素，反之認(rèn)為“安全”，傳遞含高濃度A的信息素，初始時，第1只昆蟲屬于種群甲，其接受到了“安全”的環(huán)境信息并開始傳遞．每只昆蟲傳遞信息時，有的概率將信息素傳遞給同種群的昆蟲，的概率將信息素傳遞給另一種群的昆蟲，每次傳遞僅傳遞給一只昆蟲，且每只昆蟲傳遞信息的準(zhǔn)確性與傳遞給的對象無關(guān)．(1)設(shè)為第n只昆蟲屬于種群甲的概率，當(dāng)時，求；(2)求第n只昆蟲傳遞含高濃度化學(xué)物質(zhì)的信息素的概率；(3)證明：當(dāng)時，，并闡述若要使這兩種昆蟲種群更加適應(yīng)環(huán)境，p應(yīng)該滿足的要求及原因．

參考答案1．C2．B3．B4．B5．D6．B7．A8．B9．AC10．ACD11．ACD12．13．14．15．（1）由于，故解得所以.（2）由（1）知，所以，則數(shù)列是以4為首項，3為公差的等差數(shù)列；所以.由，得，即，則，或，又因為，所以的最小值為4.16．（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，的最大值為又時，，，由題意得，，，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，的最大值為117．（1）在圖2中，取EF中點O，BD中點M，連接OP，OM，因為，即，所以，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，由題意可知，以O(shè)為原點，OF、OM、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，∴，，，，故，∵，∴，∴，解得（舍）或，∴，∴，∴圖中點E在靠近點D的三等分點處，即（2）設(shè)平面與平面的夾角為．由（1）易知平面PEF的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，∴．∴．∴無論點E的位置如何，平面與平面的夾角的余弦值為定值．18．（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點，則，，①當(dāng)時，的中垂線為軸，過點向中垂線作垂線，垂足為點②當(dāng)時，直線的斜率，則，所以，將代入橢圓方程得，所以，從而或，線段的中垂線方程為，即．故線段的中垂線過定點故垂足軌跡是在以為圓心，半徑為的圓弧，其方程為過點與垂直的直線為，聯(lián)立方程組消去得，因為，所以，綜上①，②所得所以垂足軌跡方程是，且．19．（1）由題意可知，當(dāng)時，由初始條件為第1只昆蟲是種群甲，所以．當(dāng)時，第n只昆蟲屬于種群甲可能有兩種情況：第只是甲且第n只與它同種群，或第只是乙且第n只與它不同種群，也即，得，

當(dāng)時，，解得，即當(dāng)，時，第n只昆蟲屬于種群甲的概率恒為，又．故第n只昆蟲屬于種群甲的概率，則．（2）由題意可知，當(dāng)時，由初始條件為第1只昆蟲是種群甲，其傳遞高濃度信號，所以．當(dāng)時，第n只昆蟲傳遞高濃度信號可能有兩種情況：第n只昆蟲接收高濃度信號且是甲種群，或第n只昆蟲接收低濃度信號且是乙種群，則，即．

由（1）得：，，則，當(dāng)時，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，則，經(jīng)檢驗，當(dāng)時也滿足上述遞推式，故，