廣東省東莞市七校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．橢圓16x225y2400的焦點(diǎn)為（）

A．(4,0)B．(0,±3)C．(±3,0)D．(5,0)

2．若平面的法向量為u1,2,4，平面的法向量為vm,1,2，直線l的方向向量為tn,2,4，

則（）

A．若//，則m1B．若l，則n2

C．若n20，則l//D．若m10，則

22

3．若直線xym0被圓C：x1y14截得的弦長為22，則m（）

A．±2B．2C．2D．22

1

4．如圖，三棱錐OABC中，OMOA，BNCN，點(diǎn)G為MN的中點(diǎn)，記OAa，OBb，OCc，

3

則OG（）

111111111111

A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)bcC．a(chǎn)bcD．a(chǎn)bc

446664644466

5．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N在線段CC1上，且C1N2NC，則DB1與MN

所成角的余弦值為（）

A．1B．0

53

C．D．

2121

22

6．已知圓C:(x3)y9，D是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E(2,4)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足DEEM，則點(diǎn)M的軌跡方

程為（）

59

A．(x)2(y2)2B．(x1)2(y8)29

24

C．(x5)2(y8)29D．(x8)2(y1)29

7．已知F1,F2是橢圓C的焦點(diǎn)，A，B分別是C上第二、四象限上的點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C的

離心率的取值范圍是（）

2332

A．0,B．,1C．0,D．,1

2222

8．?dāng)?shù)學(xué)家萊莫恩（Lemoine）在1867年發(fā)現(xiàn)并證明：過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C作它的外接圓的切線分別

和邊BC,CA,AB所在的直線相交于點(diǎn)P,Q,R，則三點(diǎn)P,Q,R在同一直線上.這條直線稱為該三角形的“萊莫

恩（Lemoine）線”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中若某三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0,1,B2,0,C(0,4)，

則該三角形的萊莫恩（Lemoine）線方程為（）

A．2x3y80B．2x3y80

C．2x3y80D．2x3y80

二、多選題

9．下列說法正確的是（）

A．直線yx1在y軸上的截距為1

32

B．直線l1:ax2y10與l2:x(a1)y10平行，則它們之間的距離為

4

C．經(jīng)過定點(diǎn)A0,2的直線都可以用方程ykx2表示

D．點(diǎn)C2,3關(guān)于直線xy1的對稱點(diǎn)是4,1

22222

10．已知圓C1:(x4)(y5)16，C2:(xm)(yn)r，下列結(jié)論正確的是（）

22

A．若r1且兩圓內(nèi)切，則圓心C2的軌跡方程為(x4)(y5)9

B．若mn1,r3，則兩圓有3條公切線

C．若mn1,r3，則兩圓的公共弦所在直線的方程為3x4y160

D．若mn0,r1，AB為圓C2的直徑，P為圓C1上的動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最大值為414

11．在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足DPDCDD1([0,1],[0,1])，則下列結(jié)論

正確的是（）

．當(dāng)時(shí)，VV

A1,0D1A1BPD1A1CP

19

B．當(dāng)1,時(shí)，平面ABP截正方體所得的截面的面積為

212

111

C．若且BEBB，則當(dāng)PAPE取得最小值時(shí)，

2214

D．若點(diǎn)P在以A1B的中點(diǎn)O為球心，5為半徑的球面上，則點(diǎn)P的軌跡的長度為π

三、填空題

12．如圖，線段AB,BD在平面內(nèi)，AC,ABD600，且AC3,AB4,BD5，則CD

13．已知實(shí)數(shù)x,y滿足xy0，則x2y28x2y17x2y210x4y29的最小值為

14．如圖，“愛心”圖案由函數(shù)f(x)x24的圖像的一部分及其關(guān)于直線yx的對稱圖形組成，點(diǎn)M是

該圖案上一動(dòng)點(diǎn)，N是其圖象上點(diǎn)M關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)，連接MN，則MN的最大值為．

四、解答題

15．如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E,F分別是平面AB1，平面A1C1的中心．

(1)求證：B,C1,F,E四點(diǎn)共面；

(2)求FA1BCD1的體積．

16．已知圓C:(x1)2(y2)29，直線l:(2m1)x(m1)y7m40

(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)Q；

(2)當(dāng)圓心C到直線l的距離取得最大值時(shí)，求m的值；

(3)當(dāng)m0時(shí)，P為l上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B．求四邊形PACB面積的最小值．

x2y2

17．已知雙曲線C:1(a0,b0)過點(diǎn)P(3,2)，左右焦點(diǎn)分別為F1(2,0),F2(2,0)．

a2b2

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2作斜率為1的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB；

(3)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，且直線MN的斜率為常數(shù)kk0，線段MN的中點(diǎn)

為Q，求直線OQ的斜率．

18．已知兩個(gè)非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作

a,b．定義a與b的“向量積”為ab：ab是一個(gè)與a、b都垂直的向量，且它的模ababsina,b．如

圖，在四棱錐PABCD中，底面為矩形，PD底面ABCD，DADP4,AB2,E為線段AD上一點(diǎn)．

(1)求ADBP；

(2)若E為線段AD的中點(diǎn)，求二面角PEBA的正弦值；

(3)線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得ADBPEM，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

x2y2

19．已知橢圓1(ab0)．

a2b2

(1)結(jié)合橢圓的定義以及橢圓與圓的關(guān)系，猜想橢圓上的所有點(diǎn)到某個(gè)焦點(diǎn)的平均距離d和橢圓的面積S（不

需證明）；

(2)已知d6,S23，請利用（1）的猜想解答下面問題．

①求橢圓的方程；

②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P3,mm0，過右焦點(diǎn)F作PF的垂線交橢圓于A,B兩點(diǎn)．求△OAB面積的最大

值．

1．C

根據(jù)方程分析可知焦點(diǎn)在x軸上，c3，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).

x2y2

【詳解】橢圓方程為16x225y2400，即1，

2516

可知a225,b216，且焦點(diǎn)在x軸上，

則ca2b23，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0).

故選：C.

2．D

根據(jù)面面平行則法向量共線計(jì)算可判斷A；根據(jù)直線與平面垂直則直線的方向向量與平面法向量共線計(jì)算

可判斷B；根據(jù)直線的方向向量與平面法向量垂直則直線與平面平行或直線在平面內(nèi)可判斷C；根據(jù)法向量

垂直則面面垂直可判斷D.

m121

【詳解】對于A，由//，得u//，則，解得m，故A錯(cuò)誤；

1242

n24

對于B，由l，得t//u，則，解得n1，故B錯(cuò)誤；

124

對于C，由n20，得t20,2,4,tu204160,tu，則l//或l，故C錯(cuò)誤；

對于D，由m10，得v10,1,2,uv10280,uv，則，故D正確.

故選：D.

3．A

由直線和圓相交時(shí)的弦長公式求解即可.

【詳解】由題意可得圓的圓心為C(1,1)，半徑R2，

mm

則圓心到直線xym0的距離d，

22

又因?yàn)榻氐玫南议L為22，

所以2R2d222，

2

m

化簡得42，解得m2.

2

故選：A.

4．C

連接ON，根據(jù)向量的線性運(yùn)算與共線定理運(yùn)算即可.

【詳解】連接ON，

因?yàn)辄c(diǎn)G為MN的中點(diǎn)，

1111111111

所以O(shè)GOMONOAOBOCOAOBOC

2223222644

111

即OGabc，.

644

故選：C.

5．D

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成的角的三角函數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，可以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

不妨設(shè)AB6，則D0,0,0，B16,6,6，M6,3,0，N0,6,2.

所以DB16,6,6，MN6,3,2.

設(shè)直線DB1與MN所成的角為，

DB1MN3618123

則coscosDB1,MN.

DB1MN63721

故選：D

6．B

根據(jù)給定條件，可得E為線段DM中點(diǎn)，再利用坐標(biāo)代換法求出軌跡方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由DEEM，得E為線段DM中點(diǎn)，則點(diǎn)D(4x,8y)，

而點(diǎn)D在圓C上，因此(4x3)2(8y)29，即(x1)2(y8)29，

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x1)2(y8)29.

故選：B

7．D

π

取橢圓的上頂點(diǎn)D，可根據(jù)FDF求離心率的取值范圍.

122

【詳解】如圖：

取橢圓的上頂點(diǎn)D，因?yàn)榇嬖贏，B分別是C上第二、四象限上的點(diǎn)，使得四邊形AF1BF2為矩形，所以必

π

有FDF.

122

π

即FDOcb.

14

c21

所以c2b2c2a2c22c2a2.

a22

c2

所以e，又橢圓的離心率e1，

a2

2

所以e1.

2

故選：D

8．D

待定系數(shù)法求出外接圓方程，從而得到外接圓在A,C處的切線方程，進(jìn)而求出P,R的坐標(biāo)，得到答案.

【詳解】ABC的外接圓方程設(shè)為x2y2DxEyF0，

1EF0D0

42DF0，解得E3，

164EF0F4

2

222325

外接圓方程為xy3y40，即xy，

24

3

故外接圓的圓心坐標(biāo)為0,，故外接圓在A處切線方程為y1，

2

xy55

又BC:1，令y1得，x，P,1，

2422

在C0,4處切線方程為y4，

x

又AB:y1，令y4得x10，R10,4，

2

y4x10

則三角形的Lemoine線的方程為5，即2x3y80.

1410

2

故選：D.

9．BD

對于A：根據(jù)直線的斜截式方程直接判斷即可；對于B：由平行關(guān)系可求得a，結(jié)合平行直線間距離公式運(yùn)

算求解；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，無法用方程ykx2表示，知C錯(cuò)誤；采用待定系數(shù)法，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線

對稱點(diǎn)的求法可構(gòu)造方程組求得D正確.

【詳解】對于選項(xiàng)A：直線yx1在y軸上的截距為1，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：由兩直線平行可得：aa12，解得：a1或a2，

若a1，直線l1:x2y10與l2:x2y10重合，不合題意

若a2，直線l1:2x2y10與l2:2x2y20平行，符合題意，

2132

綜上所述：a2，它們之間的距離為，故B正確；

22224

對于選項(xiàng)C：當(dāng)經(jīng)過A0,2的直線斜率不存在時(shí)，即方程為x0時(shí)，無法用方程ykx2來表示，故C

錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：設(shè)C2,3關(guān)于直線xy1的對稱點(diǎn)為Cm,n，

n3

1

m2m4

則，解得：，

m2n3n1

1

22

即C2,3關(guān)于直線xy1的對稱點(diǎn)為4,1，故D正確.

故選：BD.

10．AC

22

A.兩圓內(nèi)切，根據(jù)圓心間距離等于半徑相減列方程找軌跡；B.根據(jù)圓心間的距離d41515，

可知43d43，所以兩圓相交，可知有兩條公切線；C.先判斷兩圓相交，再將兩圓方程相減即可得公共

弦所在直線方程；D.根據(jù)PAPB2PC2，根據(jù)圓上一點(diǎn)和定點(diǎn)的距離最大值為圓心與定點(diǎn)的距離加半徑

即可求得；

22

【詳解】A.C1:(x4)(y5)16，圓心4,5，r4

222

C2:(xm)(yn)r，圓心m,n，r1，兩圓內(nèi)切，所以圓心間距離等于半徑相減，所以

222

m4n5419，A選項(xiàng)正確.

22

B.圓心間距離為d41515，因?yàn)?3d43，兩圓相交，故有2條公切線，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2222

C.C1:(x4)(y5)16C2:(x1)(y1)9

22

圓心間距離為d41515，因?yàn)?3d43，兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線

方程3x4y160，故C選項(xiàng)正確.

PAPB2PCPC的最大值為22，所以最大值為，故

D.2,2C1C24405044142418

D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

11．ABC

根據(jù)錐體體積公式、正方體截面、線段和的最值、軌跡等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

C0,1,0,D10,0,1，DPDCDD10,,([0,1],[0,1]).

A選項(xiàng)，當(dāng)1,0時(shí)，P0,1,01，

則在線段上，VV,VV

PCC1D1A1BPBD1A1PD1A1CPCD1A1P

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，BC//A1D1，

所以B到平面D1A1P的距離等于C到平面D1A1P的距離，

所以VV，則VV，所以選項(xiàng)正確

BD1A1PCD1A1PD1A1BPD1A1CPA.

1

B選項(xiàng)，當(dāng)1,時(shí)，P是CC的中點(diǎn)，設(shè)F是C1D1的中點(diǎn)，

21

連接A1F,PF，則PF//CD1//A1B，

所以平面A1BP截正方體所得的截面為等腰梯形A1BPF，

PF2,A1B22,A1FBP5，

2

2

到AB的距離為22232，

PF15

22

222329

所以截面面積為，所以B選項(xiàng)正確.

222

11

C選項(xiàng)，時(shí)，P0,,([0,1])，

22

設(shè)M,N分別是CD,C1D1的中點(diǎn)，連接MN，則P在線段MN上，

1

由于BEBB1，所以E是BB1的中點(diǎn)，則E2,2,1，

2

連接A1N,B1N,AM,BM,AP,PE，

將四邊形AMNA1與四邊形BMNB1展開成平面圖形如下圖所示，

連接AE，交MN于P，由圖可知PAPE的最小值是AE，

PM111

此時(shí),PM，對應(yīng)，所以C選項(xiàng)正確.

BE224

D選項(xiàng)，依題意，DPDCDD1([0,1],[0,1])，

則P在正方形CDD1C1上，

AB1A1BO，設(shè)C1DCD1O1，連接OO1，則OO12，

若點(diǎn)P在以A1B的中點(diǎn)O為球心，5為半徑的球面上，

2

則，2，

OP5O1P521

所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)1為圓心，半徑為1的圓，長度2π，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC

12．26

利用余弦定理求出AD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得ACAD，最后根據(jù)勾股定理即可得到答案.

【詳解】連接AD，如圖，在△ABD中，根據(jù)余弦定理有：

1

ADAB2BD22ABBDcosABD162524521，

2

因?yàn)锳C,AD，所以ACAD，所以CDAC2AD232126.

故答案為：26

13．25

x2y28x2y17x2y210x4y29表示：直線xy0上的點(diǎn)Px,y到點(diǎn)A4,1和B(5,2)的距

離之和的最小值，即可求解．

22

【詳解】x2y28x2y17x4y1，

22

x2y210x4y29x5y2，

則x2y28x2y17x2y210x4y29表示：直線xy0上的點(diǎn)Px,y到點(diǎn)A4,1和B(5,2)的

距離之和的最小值，

如圖所示：

設(shè)點(diǎn)A4,1關(guān)于直線xy0的對稱點(diǎn)為Am,n，

4m1n

0

22m1

得，解得，

n1n4

11

m4

得A1,4，

則x2y28x2y17x2y210x4y29

22

PAPBPAPBAB154225，

等號成立時(shí)，A,P,B三點(diǎn)共線，

故答案為：25

172

14．

4

由對稱性轉(zhuǎn)化為求圖案在yx上方的點(diǎn)到直線yx的距離的最大值的2倍，利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)求最值.

【詳解】由對稱性可知，求MN的最大值，轉(zhuǎn)化為該圖案上的點(diǎn)到直線xy0距離的最大值的2倍，

由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)為圖案上yx上方的點(diǎn)，聯(lián)立yx24與yx，

117117117117

得x2-x-4=0，解得：x，所以圖案在yx上方的點(diǎn)的正坐標(biāo)為x，

2222

2117117

設(shè)圖案在yx上方的點(diǎn)Mx,x4，x，

22

2

117

x117172

則點(diǎn)M到直線xy0的距離為xx2424，當(dāng)x時(shí)，取得最大值，

2428

22

172

所以MN的最大值為.

4

故答案為：172

4

15．(1)證明見解析

4

(2)

3

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示推理得證.

（2）利用（1）中坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求出四棱錐的高，進(jìn)而求出體積.

【詳解】（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,1),F(1,1,2)，BC1(2,0,2),EF(1,0,1)，

因此BC12EF，即BC1//EF，即BC1//EF，

所以B,C1,F,E四點(diǎn)共面.

（）正方體ABCDABCD的對角面ABCD為矩形，且S22242，

2111111A1BCD1

由（1）知，A1(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),F(1,1,2)，

BA1(0,2,2),BC(2,0,0),BF(1,1,2)，

nBA2y2z0

設(shè)平面ABCD的法向量，則1，

11n(x,y,z)

nBC2x0

令y1，得n(0,1,1)，

|BFn|12

因此點(diǎn)F到平面A1BCD1的距離d

|n|22

所以的體積是124

FA1BCD1V42.

FA1BCD1323

16．(1)證明見解析

1

(2)m

2

3

(3)62

2

（1）將方程變換為m(2xy7)(xy4)0，即可求解直線l的定點(diǎn)；

（2）當(dāng)QCl時(shí)，此時(shí)圓心到直線l的距離最大，利用斜率公式，即可求解；

（3）由幾何關(guān)系，將面積的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到直線l距離的最小值.

【詳解】（1）證明：由(2m1)x(m1)y7m40得m(2xy7)(xy4)0

2xy70

由

xy40

x3

得

y1

所以直線l恒過定點(diǎn)Q(3,1)；

（2）由（1）知，當(dāng)lQC時(shí)，圓心C到直線l的距離取得最大值

易知圓心為C(1,2)

213

因?yàn)閗

QC134

42m14

所以k即

l3m13

1

解得m

2

（3）當(dāng)m0時(shí)，直線l的方程為xy40，故可設(shè)P(a,4a)

圓的半徑r3

12

S2S2PAAC3PA3PC9

PACBPAC2

1247

圓心到直線的距離d

22

249

所以PCd2

2

493

所以S3962

PACB22

3

即四邊形PACB面積的最小值為62

2

x2

17．(1)y21

3

(2)23

1

(3)

3k

（1）根據(jù)雙曲線的定義求得a,b，進(jìn)而求得雙曲線C的方程.

（2）求得直線l的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)弦長公式求得AB.

（3）利用點(diǎn)差法求得直線OQ的斜率.

【詳解】（1）根據(jù)題意可得c2，

2aPF1PF227323，

所以a3,b2c2a21，

x2

故雙曲線C的方程為y21；

3

（2）直線l的方程為yx2，

yx2,

2

設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由得2x12x150，

x2

y21,

3

15

(12)24215240,xx6,xx，

12122

15

所以|AB|11262423．

2

y3y4

（3）設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4)，則k，

x3x4

2

x32

y31,

3

則兩式相減得x3x4x3x43y3y4y3y40．

x2

4y21,

34

x3x42x0,

設(shè)Px0,y0，則所以2x0x3x432y0y3y40，

y3y42y0,

y3y4

即x03y00，

x3x4

y1

0

所以x03ky00，所以直線OP的斜率kop.

x03k

18．(1)85

22

(2)

3

(3)存在；10

【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD//BC，BCDC，

又PD底面ABCD，BC底面ABCD，

所以PDBC，又PDDCD，PD,DC平面PDC，

所以BC平面PDC，

又PC平面PDC，所以BCPC，

因?yàn)锳D//BC，所以PBC為直線AD與PB所成角，即AD,BPPBC，

在直角PBC中，AB2,PC25,PB6

PC5

所以sinPBC，

PB3

5

ADBPADBPsinAD,BP4685.

3

（2）因?yàn)镻D平面ABCD且ABCD為矩形，

所以可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0)，B(4,2,0）,E(2,0,0),P(0,0,4)，

PE(2,0,4),PB(4,2,4)，

設(shè)平面PBE的法向量m(x,y,z)，

mPE2x4z0

則，

mPB4x2y4z0

令z1，得x2,y2x2,y2所以m(2,2,1)，

因?yàn)镻D平面ABE所以平面ABE的法向量可取n(0,0,1)，

mn11

設(shè)二面角PBEA的平面角為，則cos，

mn93

22822

所以sin1cos，所以sin，

93

22

所以二面角PBEA的正弦值為．

3

（3