綜合題

1圖示結(jié)構(gòu)均用Q235鋼制成，材料的彈性模量E=200GPa,在梁端截面8

處有一重量為。的物體自8正上方高度力處自由下落，已知：尸=10kN,

/=1000mm,h=\mm,梁的橫截面慣性矩I=Al2/3,桿8c的橫截面積為A,

桿8c為大柔度桿，其直徑d=30mm,試求點(diǎn)6的鉛垂位移。

解：變形協(xié)調(diào)

3

(P-FN)//(3EZ)=FN//(￡4)

FN=P/2

人=FN//(E4)=0.0354mm

,/2

=P[1+(1+2/?/Jsl)]=85.8kN

=6/2=42.9kN＜《1=/￡//F=78.48kN

wdB=FNd//(E4)=0.303mm

2圖a所示桿47與彈簧相連，受到重量為P的重物自高〃處自由下落的沖

擊。桿4C長(zhǎng)為/,橫截面面積為4材料彈性模量為￡彈簧剛度為ZN/mm,在

未受沖擊時(shí)彈簧不受力。試導(dǎo)出C處的最大動(dòng)位移bdmax的計(jì)算公式。

解：圖b,平衡

FA”B=P

FAI/(EA)=FH/k

FA=P/[\+kl/(EA)]

2t=FJ/(EA)=P/(EA/l+k)

2=久[1+(1+2/?應(yīng)嚴(yán)]

3圖示截面為=75x25mn?的矩形鋁合金簡(jiǎn)支梁，跨中點(diǎn)C增力口1彈簧

剛度為攵=18kN/m的彈簧。重量夕=250N的重物自C正上方高力=50mm處自

由落下，如圖a所示。若鋁合金梁的彈性模量E=70GPa。試求：

(1)沖擊時(shí)，梁內(nèi)的最大正應(yīng)力。

(2)若彈簧如圖b所示放置，梁內(nèi)最大正應(yīng)力又為多大？

(b)

解：/a=Pp/(48EI)+P/k=0.0345m

o-sta=刊/(4W)=24MPa

K「1+J1+占=2.97

V%

er.=2.97x24=71.4MPa

彈簧受壓力F★(靜荷時(shí))

3

(P-Fk)l/(4SEI)=Fk/k,居=149N,P-Fk=101N

b立b=(尸一左)〃(4W)=9.70MPa

Qib=Fkik=8.28mm,ATdb=4.616

。曲=跖q=44.8MPa

4圖a所示重量為P=2kN的重物，自高度/7=10mm處自由下落沖擊直徑

為d的圓橫截面桿組成的水平框架上的點(diǎn)C處。已知彎曲剛度EI=133.6kNin2,

〃=lm,切變模量G=0.4E（E為材料的彈性模量）。試求截面C的最大鉛垂位

移。

P2

a"n

解:線=等2/A/Pa、a八

--+(M----)---=0

2EIcr2G/p

/=看&(，P=2/),“%-條一料(順)

P3P3

aa

22TBA。

suC

3EI2EI3EIGIp

Pa3IPo'PdPa3

----------+----+------

6EI36E/6E77.2E7

5Pa...

----=4.158omm

18E/

,/2

Kd=l+(l+2/?/JstC)=3.41

Jlir=4.158x3.41=14.2mm

5圖a所示兩端固定的超靜定梁橫截面為矩形，高為力，寬為〃，材料的彈

性模量為￡重量為。的重物自梁中點(diǎn)C處正上方高4處自由落下。試求沖擊時(shí)

的最大動(dòng)應(yīng)力bdmax。

(a)(b)

解：忽略軸力影響，有靜定基如圖b,用迭加法

Mc-

g-22-上=0

c2E1EI

Mc=、P1,

M=-Pl

八A8

Mei])?p.

4c_饗

3EI2EI192E/

3

Kd=1+(1+也?=1+[1+3MEIho/(P/)]

人

%=科如=半口+。+』)]

dd卬4bh2Pl3

6圖a所示梁48用梁⑦加強(qiáng)，E、。間通過(guò)一剛體接觸，兩梁的彎曲剛度均

為E/。重為戶的重物自8處正上方高。處以初速度之下落，沖擊梁力民P、之、

/為已知，試求：

(1)若已知重物自由下落時(shí)的動(dòng)荷因數(shù)《=1+(1+2力/4,)"2,用此式如何導(dǎo)

出有初速度1時(shí)的

⑵求梁48的最大動(dòng)彎矩。

p

AE%'

M、B

QJ/2__I_JfeD

：a)(b)

解：儲(chǔ)=1+(1+2%/名產(chǎn)=1+{1+2[…；/(2g)]/與}“2

FE=F。

WE(P)-WE(FED)=WD(FED)

33

5P//(6EZ)-FEJ/(3E/)=FEDl/(3E/)

“5P/4

=皿_“+工4

3EI3EI2EISEI

《=l+[l+8E/（2的+寸）/（13尸％）產(chǎn)

K|=夕陽(yáng)，=3PIKd/4,\ME\=Mmax

Mmax=刊｛1+[1+8E/（2g〃+%2）/（i3刊3g）『｝

7圖a所示半徑為用彎曲剛度為國(guó)的等截面薄圓環(huán)在直徑48兩端作用一

對(duì)突加載荷尸，試求彳8間相對(duì)動(dòng)位移。

解：由結(jié)構(gòu)、載荷對(duì)稱性，Ci。橫截面剪力為零,靜定基如圖b：

cM?

M（夕）=-X+-/?（!-cos。），-----=—1

ax

-1dM

^=^L2W）~W=ox=FR（---）

2n

dM兀2一8尸R3

ACy——Rd（p=----------

始）版El

4

*質(zhì)川49等

/加=4,

突加載荷觴=2

FR5

/A加o.U=降UJn即o.SI=0.298——

El

8圖a所示梁四和桿CD均由Q235鋼制成，材料的彈性模量石=200GPa,

/=1000mm,h=40mm,b=20mm,d=3（）mm,重物重P=2kN,自高度/?（）

處自由落下，試求：

（1）使桿緲中軸力達(dá)臨界力時(shí)的高度%;

（2）桿GZ?中軸力達(dá)臨界力時(shí)梁內(nèi)的最大動(dòng)應(yīng)力（*）.皿。

：a)(b)

解：桿CD

2=133>%

22

Fcr=7tE///=78.5kN

(P-F)/3F/

%=△,CD，NN

48EIEA

FN=4/20/(43/+A/2)=1.9856kN

若(人=入,則

A=電/入=39.5

治=1+(1+2%包產(chǎn),h°=//(Kd—-1]/2

2

Jst=—^--1.405xl0-mm,h.}=10.4mm

“EA

P-FI、

"max=儲(chǔ)?(一^?R/W=6(P-穌W/(加/6)=26.7MPa

9圖示結(jié)構(gòu)中，G。處均為球錢。剛架彳班的橫截面慣性矩乙=7114.14cm4,

彎曲截面系數(shù)W=508cn?,圓截面桿⑦直徑d=40mm,二者材料相同，彈性

模量E=2()()GPa,許用應(yīng)力㈤=160MPa,若/=lm,穩(wěn)定安全因數(shù)%=3,

桿必可視為大柔度桿。試確定許用載荷［M］值。

FI

~EA

_3MAI

F=Q7\9M/l

~4Al2+3/

6

O-Inax=M8/W=Fi/W=0.719M/W<160xl0

[M]=113kNm（按強(qiáng)度）

[Fcr]=Fcr/nst=/￡//（〃/）=82.7kN=0.719M//

[A1]=115kNm（按穩(wěn)定）

許可載荷

[M]=113kNm

11圖示平面結(jié)構(gòu)，剛性橫梁力夕與圓橫截面直徑相同的桿1和2均由Q235鋼

制成，彈性模量E=200GPa,直徑均為d=26mm,桿長(zhǎng)/=1300mm。試求此

結(jié)構(gòu)的臨界載荷乃「。

解：桿1

4=173,（7^=71'E/A,2

“「=46.6kN

桿2

M22

4=140,o-cr=7cE/2?

理「'=&?！?53.5kN

XMA=0,Fcr'a+Fcr^2a=Fcrx3a

七=（￡「+2RJ）/3=5lkN

12圖示剛性橫梁AD,a=1.2m,桿1,2均由Q235鋼制成，屈服極限

q=235MPa,彈性模量E=200GPa,橫截面均為圓形，直徑4=30mm,

d2=36inm。試求結(jié)構(gòu)的極限載荷Fu。

解：結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，桿1屈服，桿2失穩(wěn)

桿1：=o-sy4,=166.1kN

桿2：A=4a/d2=133.3

22

O-Cr=71E/A=111MPa

Fcr=crcrA2=113kN

Fsa+2Fcx.a=Fux3a

死=優(yōu)+2幾）/3=131kN

13對(duì)于均質(zhì)梁、不同材料組合梁、材料拉壓彈性模量不等梁、平面曲梁，

在純彎曲時(shí)橫截面上中性軸的位置均由靜力學(xué)關(guān)系式確定。試畫出下列各情況下

中性軸（水平方向）的位置，圖中C為形心。圖a為均質(zhì)直梁彈性彎曲；圖b為

均質(zhì)直梁全塑性彎曲；圖C為異料組合梁彈性彎曲；圖d為后工￡一時(shí)的彈性彎

曲；圖e為曲梁的彈性彎曲。

TTt.T+T

E->E初始曲率

且中心在下方

(a)(b)(c)(d)(e)

解：中性軸位置均由靜力學(xué)關(guān)系式五N=［八=。來(lái)確定，下圖中〃-〃表示

中性軸。

14圖示結(jié)構(gòu)為彈性模量￡許用應(yīng)力［可，高〃、寬〃的矩形橫截面外伸梁，

受均布載荷(載荷集度夕未知)作用。試求當(dāng)梁上最大止應(yīng)力等于匕］時(shí)，梁力8

段中點(diǎn)。的撓度值。

解：。2=(網(wǎng)2/2)/(勵(lì)2/6)=團(tuán)

q=(2/r72)x(Z?/?2/6)x[crj=[<y\/(^cr)

422

wD=5qx(2a)/(384E/)-(qa/2)x(2a)/(16E7)

=qa4/(12EI)=bh2a2[a]/(36EI)(J)

15圖示兩根完全相同的懸臂梁，彎曲剛度為打，在自由端兩者有一間隙

今有一重量為戶的重物從高度力處落下，試求重物對(duì)梁的最大沖擊力？假設(shè)：兩

梁變形均在彈形范圍內(nèi)，沖擊物為剛體，被沖擊梁質(zhì)量不計(jì)，在沖擊過(guò)程中，兩

梁共同運(yùn)動(dòng)。

解：當(dāng)梁受到最大沖擊力E作用時(shí)，上梁的最大

撓度為4,下梁的最大撓度為4-/,根據(jù)能量守恒

原理，有

；3：+白(4-/)2=尸5+4)，其中％=當(dāng)

/k42

即kA；-(3+P)4+=0

所以(1)

設(shè)兩梁中間的相互作用力為尸，則

吊=尸=%(4一/)

消去尸得最大沖擊力

3F/

用=%(24—/)二丁(24-4)(2)

/

16圖示截面尺寸和材料均相同的懸臂梁彳8和GZ?長(zhǎng)為/,彎曲剛度為E4,

強(qiáng)度足夠，垂直間距為〃2。若在兩梁的自由端裝配細(xì)長(zhǎng)桿BD,其拉壓剛度為

￡4,彎曲剛度為￡4,試求加工桿劭時(shí)的最大許可過(guò)盈量。

解：設(shè)桿劭受壓力為加工過(guò)盈量為/。變形協(xié)調(diào)條件為

3EJ2^4

壓桿失穩(wěn)條件FN<”泮

17圖示邊長(zhǎng)a=10mm的正方形截面鋼桿兩端被固定，在中段三分之一長(zhǎng)

度上，四周側(cè)面作用均布?jí)毫?二100MPa。設(shè)泊松比-二0.3,試求桿兩端的約

束反力。

解：設(shè)桿兩端的約束反力為E。變形協(xié)調(diào)條件為3段總伸長(zhǎng)量為零:

A/1+△/、+A/,=0

物理?xiàng)l件：上段和下段的壓縮量相等

△

k=M=3EA

中段伸長(zhǎng)量=￡-

,3

1F/、

￡=---不R―)

E

解出/^=yM=2kN

FF二(P-F*Fa

3EJ~3E}IEM

式中/=2m,a-0.5m,解得

F=0.482P

FPFl2cF]3

』E-----------1-----------?/=-------=6.69x105m=6.69mm

3E,/2EJ6卬

3

(P-F)l().518x50xl()-x2-=288x10.3m

4/)二

3EJ3x24xl()6

(=1+11+或=3.82

故E處動(dòng)撓度

后

Jd=K/=3.82x6.69=25.6mm(J)

18圖a所示圓形等截面折桿彳仇?，直徑為《彳端固定，材料的彈性模量為

E,切變模量R0.4&C端用彈簧剛度為"的水平彈簧沿垂直于48。平面方向支

承，折桿各段長(zhǎng)度相等，即&,=/叱=/,未受沖擊前，彈簧為原長(zhǎng)。今有重量

為戶的物體以水平速度以沿垂直于力宓平面方向沖擊點(diǎn)8處，試求彈簧所受的動(dòng)

拉力。

(a)

解：由圖b,靜力夕作用時(shí)

,FPFFl3Fl3FLI/

c==

~kjE/~3EI3EIGL

\P/

F_Pl323F/3F_4kFp

T-3E7-\2EI'-12a+2322

,(P-F)l312E/+19A:/3Pl3

"3EI12EI+23kp3EI

_](12石/+23-尸)3七1聲

d-X西-Xg(12E/+19Z/3)p尸

3EIPI

Fd=KdF=4klv

g(l2EI+l9kp)(12EI+23")

式中I=nd4/64

19圖a所示半徑為/?的圓環(huán)，以等角速度/繞在圓環(huán)平面內(nèi)的直徑軸Oy

旋轉(zhuǎn)，圓環(huán)的材料密度為0,橫截面積為4試求圓環(huán)截面4和8的彎矩值。

解：圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性力集度軸對(duì)稱。取靜基圖b

%（。）=pARo?cos。

Rd。微段慣性力在0角截面引起的彎矩（圖c）

2

6Mq（（p）=-AcoR'cosg（sin0-sin0）d，

AITT

22

M（/（（p）=jdMt/（（p）=~—pAcosin（p（0<（p<—）

。角截面彎矩

23

M（（p）=X+Mtl（（p）=X-^pAa>sin（py=1

%=J_pM—Rd<9=0

"EIex

MB=X=-pAR3（o2（外側(cè)受拉）

4

加八=3G2（內(nèi)側(cè)受拉）

20圖示等圓截面鋼制水平放置直角折桿，其W處為自由端，C處為固定端，

該桿直徑為d,彈性模量為E,切變模量為凡試求當(dāng)重為。的鋼球突然滾到點(diǎn)A

上時(shí)，截面彳下沉位移4=?（只列出文字結(jié)果即可）

解：用逐段剛化法迭加得

PI3PFpij64P/3（2］、

--------1----------1---------4+

3EI3EIGlpKJl3E2G>

突加載荷，動(dòng)荷因數(shù)4二2,故

64P/3'41）

-----T~-----1----

4=4nd4、3EG）

21圖a所示兩端均為固定較支座的半圓弧桿，位于鉛垂平面內(nèi)，桿的彎曲

剛度為￡/,重量為"的重物自C正上方高〃處自由下落于桿C處，忽略軸力和

剪力的影響。試求夕處水平動(dòng)約束力。

解：圖b

PGM

M(0)=XRsmO——R(1—cos。)，—=/?sin<9

2dX

=7利整R"=0,X=W

4H

1xAA1PR，

=0.01894

~EIoEl

JCsl=0.01894^-,KL1+，1+_2hEI_

0.01894P/?3

L2hEIP

FB.\,d=K?X=1t+J]---------------T

V0.0189P/?371

22圖a所示等截面小曲率桿位于鉛垂面內(nèi)，在線彈性范圍工作，橫截面的

彎曲剛度為EI,軸線曲率半徑為R。重量為P的重物自C正上方高力處自由下落

于C處。試求C處鉛垂動(dòng)位移。

解：圖b

p