2026屆內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.4．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線5．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.7．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或8．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.9．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C. D.410．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：311．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，二面角的大小是________14．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.15．寫(xiě)出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________16．直線的傾斜角為_(kāi)______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(5，a)為拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝8（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過(guò)Q(0，﹣3)，求直線l的方程18．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線l的方程20．（12分）如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距離21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，分別過(guò)曲線上的兩點(diǎn)，做曲線的兩條切線，且交于點(diǎn)，與直線交于兩點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.22．（10分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若的前n項(xiàng)和為，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求出拋物線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為故選：B2、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.3、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A4、D【解析】由到直線的距離等于到點(diǎn)的距離可得到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈街本€的距離等于到點(diǎn)的距離，所以到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D5、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說(shuō)明“”是“”的充分條件，再通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.6、D【解析】通過(guò)湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡(jiǎn)為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.8、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A9、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長(zhǎng)為.故選：B10、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.11、A【解析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.12、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為的真子集，由選擇項(xiàng)不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】先計(jì)算得到二面角的大小為60°，設(shè)二面角C-AB-O的大小為，則，計(jì)算得到答案.【詳解】解：由題可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，又，所以平面因?yàn)椋?所以二面角為，設(shè)二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：14、【解析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）16、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根據(jù)拋物線焦半徑公式構(gòu)造方程求得，從而得到結(jié)果(2)設(shè)直線，代入拋物線方程可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程【小問(wèn)1詳解】由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：【小問(wèn)2詳解】由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，，，解得：，直線的方程為：，即18、（1）（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項(xiàng)、公比即可得解；（2）化簡(jiǎn)后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為，由條件可知，，所以；【小問(wèn)2詳解】，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】，,兩式相減可得，，.19、（1）（2）【解析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線斜率不存在時(shí)弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：依題意，解得，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；20、（1）（2）【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法可求得到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系則、、、、、、，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，取，可得，所以，，直線與平面所成角的正弦為小問(wèn)2詳解】解：設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離為即到平面的距離為21、（1）（2）【解析】（1）由題意可得化簡(jiǎn)可得答案；（2）求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立，方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離，可得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到，設(shè)，記，利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，即：化簡(jiǎn)得：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，，，過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，方程為：①，令，，則，同理：方程為：②，，聯(lián)立①②得：，的交點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離，所以③，設(shè)：，則，整理得，所以，由韋達(dá)定