一、知識(shí)回顧與問題引入：從“解的定義”到“存在性之問”演講人知識(shí)回顧與問題引入：從“解的定義”到“存在性之問”01典型例題與應(yīng)用：從理論到實(shí)踐02核心探究：二元一次方程組解的存在性條件03總結(jié)與升華：從“存在性”到“數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性”04目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊二元一次方程組解的存在性課件各位同學(xué)、老師們：今天我們共同探討的主題是“二元一次方程組解的存在性”。作為七年級(jí)下冊“二元一次方程組”單元的核心內(nèi)容之一，解的存在性問題既是對(duì)之前“解的定義”的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)與二元一次方程組關(guān)系的重要基礎(chǔ)。這節(jié)課，我們將從“是什么”“為什么”“怎么用”三個(gè)維度展開，逐步揭開二元一次方程組解的存在性的奧秘。01知識(shí)回顧與問題引入：從“解的定義”到“存在性之問”1溫故知新：二元一次方程組的基本概念在學(xué)習(xí)“解的存在性”之前，我們需要先明確幾個(gè)基礎(chǔ)概念：二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)（通常記為(x)和(y)），且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程，形式一般為(ax+by=c)（(a,b)不同時(shí)為0）。二元一次方程組：由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組，形式一般為：[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}]1溫故知新：二元一次方程組的基本概念方程組的解：同時(shí)滿足兩個(gè)方程的一對(duì)未知數(shù)的值((x,y))。例如，方程組(\begin{cases}x+y=3\2x-y=0\end{cases})的解是(\begin{cases}x=1\y=2\end{cases})，因?yàn)樗瑫r(shí)滿足兩個(gè)方程。2從“有解”到“是否一定有解”：問題的自然生成在之前的學(xué)習(xí)中，我們通過代入消元法或加減消元法求解了許多二元一次方程組，默認(rèn)“方程組有解”。但現(xiàn)實(shí)中，是否所有二元一次方程組都有解？如果有，解是否唯一？這就是“解的存在性”要解決的問題。舉個(gè)生活中的例子：小明用20元買了3支鉛筆和2本筆記本，小紅用15元買了2支鉛筆和1本筆記本，能否求出鉛筆和筆記本的單價(jià)？我們可以列出方程組：[\begin{cases}3x+2y=20\2x+y=15\end{cases}2從“有解”到“是否一定有解”：問題的自然生成]通過消元法可解得(x=10)，(y=-5)，但單價(jià)不可能為負(fù)數(shù)，這說明雖然代數(shù)上有解，但實(shí)際問題中可能因約束條件無解。不過，這里的“無解”是實(shí)際意義上的，我們今天討論的是代數(shù)意義上的“解是否存在”。再比如，考慮方程組(\begin{cases}x+y=1\x+y=2\end{cases})，顯然沒有((x,y))能同時(shí)滿足兩個(gè)方程，這就是代數(shù)意義上的“無解”。思考：為什么有的方程組有解，有的沒有？解的個(gè)數(shù)與方程組的系數(shù)有何關(guān)系？這需要我們從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度深入分析。02核心探究：二元一次方程組解的存在性條件1代數(shù)視角：從消元法看解的存在性我們以一般形式的二元一次方程組為例：[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\quad(1)\a_2x+b_2y=c_2\quad(2)\end{cases}]1代數(shù)視角：從消元法看解的存在性消元求解用加減消元法消去(y)：方程(1)乘以(b_2)，得(a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2)；方程(2)乘以(b_1)，得(a_2b_1x+b_1b_2y=c_2b_1)；兩式相減，消去(y)，得：((a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1)。1代數(shù)視角：從消元法看解的存在性消元求解步驟2：討論解的情況消元后得到關(guān)于(x)的一元一次方程：(Dx=E)，其中(D=a_1b_2-a_2b_1)，(E=c_1b_2-c_2b_1)。情況1：(D\neq0)此時(shí)方程有唯一解(x=\frac{E}{D})，代入任一原方程可求得(y)，因此方程組有唯一解。情況2：(D=0)此時(shí)需進(jìn)一步討論(E)的值：若(E\neq0)，則方程(0\cdotx=E)無解，原方程組無解；1代數(shù)視角：從消元法看解的存在性消元求解若(E=0)，則方程(0\cdotx=0)對(duì)任意(x)成立，此時(shí)需回到原方程組分析(y)的取值。由于(D=0)，即(a_1b_2=a_2b_1)，不妨設(shè)(a_2=ka_1)，(b_2=kb_1)（(k\neq0)），則方程(2)變?yōu)?ka_1x+kb_1y=c_2)，即(a_1x+b_1y=\frac{c_2}{k})。若此時(shí)(\frac{c_2}{k}=c_1)（即(c_2=kc_1)），則兩個(gè)方程實(shí)際上是同一個(gè)方程，此時(shí)(y)可表示為(y=\frac{c_1-a_1x}{b_1})（(b_1\neq0)），(x)可取任意值，因此方程組有無限多解。2幾何視角：從直線的位置關(guān)系看解的存在性二元一次方程(ax+by=c)的圖像是一條直線（當(dāng)(b\neq0)時(shí)，可化為(y=-\frac{a}x+\frac{c})，斜率為(-\frac{a})，截距為(\frac{c})）。因此，二元一次方程組的解對(duì)應(yīng)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。唯一解：兩條直線相交于一點(diǎn)，此時(shí)它們的斜率不同（即(-\frac{a_1}{b_1}\neq-\frac{a_2}{b_2})，等價(jià)于(a_1b_2\neqa_2b_1)，即(D\neq0)）。無解：兩條直線平行但不重合，此時(shí)它們的斜率相同（(-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2})，即(D=0)），但截距不同（(\frac{c_1}{b_1}\neq\frac{c_2}{b_2})，即(E\neq0)）。2幾何視角：從直線的位置關(guān)系看解的存在性無限多解：兩條直線重合，此時(shí)斜率和截距都相同（(-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2})且(\frac{c_1}{b_1}=\frac{c_2}{b_2})，即(D=0)且(E=0)）。總結(jié)：二元一次方程組解的存在性由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的比例關(guān)系決定，具體可歸納為：|條件（(D=a_1b_2-a_2b_1)，(E=c_1b_2-c_2b_1)）|解的情況|幾何意義||-------------------------------------------------------|----------------|------------------------||(D\neq0)|唯一解|兩直線相交|2幾何視角：從直線的位置關(guān)系看解的存在性|(D=0)且(E\neq0)|無解|兩直線平行且不重合||(D=0)且(E=0)|無限多解|兩直線重合|3特例辨析：系數(shù)為0的情況當(dāng)方程組中某個(gè)方程的系數(shù)為0時(shí)（例如(b_1=0)），方程變?yōu)?a_1x=c_1)，即垂直于(x)軸的直線。此時(shí)需單獨(dú)分析：若方程(1)為(a_1x=c_1)（(b_1=0)），方程(2)為(a_2x+b_2y=c_2)（(b_2\neq0)）：若(a_1\neq0)，則(x=\frac{c_1}{a_1})，代入方程(2)可求得唯一的(y)，因此方程組有唯一解；若(a_1=0)且(c_1\neq0)，則方程(1)無解，原方程組無解；若(a_1=0)且(c_1=0)，則方程(1)為(0=0)，此時(shí)方程(2)的解即為原方程組的解，因此有無限多解。這說明即使系數(shù)為0，上述“比例關(guān)系”的結(jié)論依然成立，只是需要特別注意分母為0的情況（此時(shí)不能直接用斜率比較，需用系數(shù)比）。03典型例題與應(yīng)用：從理論到實(shí)踐1基礎(chǔ)例題：判斷解的存在性例1：判斷下列方程組的解的情況：(1)(\begin{cases}2x+3y=5\4x+6y=10\end{cases})(2)(\begin{cases}x-2y=3\2x-4y=7\end{cases})(3)(\begin{cases}3x+y=4\x-2y=1\end{cases})分析：1基礎(chǔ)例題：判斷解的存在性對(duì)于(1)，計(jì)算(D=2\times6-4\times3=12-12=0)，(E=5\times6-7\times3)（注意原方程組常數(shù)項(xiàng)為5和10，正確計(jì)算應(yīng)為(E=c_1b_2-c_2b_1=5\times6-10\times3=30-30=0)），因此(D=0)且(E=0)，方程組有無限多解；對(duì)于(2)，(D=1\times(-4)-2\times(-2)=-4+4=0)，(E=3\times(-4)-7\times(-2)=-12+14=2\neq0)，因此無解；對(duì)于(3)，(D=3\times(-2)-1\times1=-6-1=-7\neq0)，因此有唯一解。答案：(1)無限多解；(2)無解；(3)唯一解。2綜合應(yīng)用：根據(jù)解的情況求參數(shù)值例2：已知方程組(\begin{cases}(k-1)x+2y=3\3x+(k+1)y=2\end{cases})，當(dāng)(k)取何值時(shí)，方程組：(1)有唯一解；(2)無解；(3)無限多解？分析：首先計(jì)算(D=(k-1)(k+1)-3\times2=k^2-1-6=k^2-7)。(1)有唯一解的條件是(D\neq0)，即(k^2-7\neq0)，解得(k\neq\pm\sqrt{7})；(2)無解的條件是(D=0)且(E\neq0)。由(D=0)得(k2綜合應(yīng)用：根據(jù)解的情況求參數(shù)值=\sqrt{7})或(k=-\sqrt{7})。當(dāng)(k=\sqrt{7})時(shí)，計(jì)算(E=3(k+1)-2\times2=3\sqrt{7}+3-4=3\sqrt{7}-1\neq0)（具體計(jì)算需代入原公式：(E=c_1b_2-c_2b_1=3(k+1)-2\times2=3k+3-4=3k-1)，當(dāng)(k=\sqrt{7})時(shí)，(E=3\sqrt{7}-1\neq0)）；當(dāng)(k=-\sqrt{7})時(shí)，(E=3(-\sqrt{7})-1=-3\sqrt{7}-1\neq0)；因此當(dāng)(k=\pm\sqrt{7})時(shí)，方程組無解；2綜合應(yīng)用：根據(jù)解的情況求參數(shù)值(3)無限多解的條件是(D=0)且(E=0)。但由(2)可知，當(dāng)(D=0)時(shí)，(E=3k-1)，若(E=0)則(k=\frac{1}{3})，但此時(shí)(D=(\frac{1}{3})^2-7=\frac{1}{9}-7\neq0)，矛盾，因此該方程組不存在無限多解的情況。答案：(1)(k\neq\pm\sqrt{7})；(2)(k=\pm\sqrt{7})；(3)無解。3實(shí)際問題中的應(yīng)用：避免“虛假解”回到課前的例子：小明用20元買3支鉛筆和2本筆記本，小紅用15元買2支鉛筆和1本筆記本，求單價(jià)。列出方程組：[\begin{cases}3x+2y=20\2x+y=15\end{cases}]3實(shí)際問題中的應(yīng)用：避免“虛假解”計(jì)算(D=3\times1-2\times2=3-4=-1\neq0)，因此方程組有唯一解(x=10)，(y=-5)。但單價(jià)不能為負(fù)，這說明雖然代數(shù)上有解，但實(shí)際問題中需結(jié)合變量的實(shí)際意義（如單價(jià)為正）判斷解的合理性。這提醒我們：解的存在性是代數(shù)概念，實(shí)際問題中還需檢驗(yàn)解是否符合題意。04總結(jié)與升華：從“存在性”到“數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性”1核心知識(shí)總結(jié)二元一次方程組解的存在性由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的比例關(guān)系決定，具體可歸納為：唯一解：系數(shù)比(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2})（(a_2,b_2\neq0)），對(duì)應(yīng)兩直線相交；無解：系數(shù)比(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq