山西大學(xué)附中

2025～2026學(xué)年第一學(xué)期高二(12月)考試(總第四次)

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

1.頂點在原點，焦點是F(0,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.B.x2=12yD.y2=12x

2.已知橢圓C的左、右焦點分別為F?,F?,上頂點為A,若AF?⊥AF?,

則C的長軸長為()

A.8√2B.4√2C.8D.4

3.漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是()

A.B.1C.2D.√2

4.一條光線沿直線2x-4y-1=0入射到直線x+y=0后反射，則反射光線所在的直線方

程為()

A.4x-2y-1=0B.4x-2y+1=0C.4x+2y+1=0

D.4x+2y-1=0

5.已知動圓C與圓(x+1)2+y2=1外切，同時與圓(x-1)2+y2=25內(nèi)切，則動圓C的圓

心軌跡方程為()

A.B.C.D.

6.設(shè)拋物線C:x2=8y的焦點為F,A(4,5),點B在C上，則△FAB的周長的最小值為

()

A.8B.10C.12D.16

7.若直線1:mx-y-m=0與曲線C:x=√4+y2有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范

圍是()

A.(-1,1)B.

C.D.(-∞,-1)U(1,+∞)

8.橢圓C的左右焦點為F?,F?,點P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一

點，點M、N滿足FM=MP,2ON=OP+OF?,若四邊形MONP的周長等于4b,則橢

圓C的離心率為()

A.B.

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知點P(4m+3,-3m-4),若點Q在圓C:(x-1)2+y2=1上，則()

A.點P在直線3x+4y+7=0上

B.點P可能在圓C上

C.PQ的最小值為1

D.圓C上至少有2個點與點P的距離為1

10.已知點F?、F?分別為雙曲線C:1的左、右焦點，點P為C上一動點，則下

列說法正確的是()

A.雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線

B.若|PF?|=2|PF?|,則△PF?F?的周長為12+2√6

C.若PF?⊥PF?,則△PF?F?的面積為2√3

D.直線1與雙曲線交于A,B兩點，若AB的中點坐標(biāo)是,則直線1的方程

為2x+8y+7=0

11.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,若拋物線C在

兩點處的切線交于點P(x,y。),與x軸分別交于點M、N.則下列結(jié)論一定正確的是()

A.B.

,則直線AB過點FD.若,則直線AB過點F

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.若經(jīng)過雙曲線的一個焦點，且垂直于實軸的直線1與雙曲線交于A,B

兩點，則線段AB的長為

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點A(0,2),若圓C

上存在點M,滿足M|A2+|MO2=10,則實數(shù)a的取值范圍是_·

14.橢圓C:的左、右焦點分別為F?、F?,點P是橢圓C上除長軸端點外的

任一點，連接PF?、PF?,設(shè)∠F?PF?的平分線PQ交橢圓C的長軸于點Q(m,0),則m

的取值范圍為

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)已知圓C:x2+y2-8x+12=0,直線1:x+ay+2a=0.

(1)當(dāng)a為何值時，直線1與圓C相切；

(2)當(dāng)直線1與圓C相交于A,B兩點，且|AB|=2√2時，求直線1的方程.

16.(15分)已知拋物線C:y2=4x,定點M(0,1).

(1)過點M且過拋物線C的焦點F的直線，交拋物線C于A、B兩點，求A|B;

(2)求過點M且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線方程.

17.(15分)已知橢圓E:1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),過F的直線與E交于

A,B兩點.當(dāng)A為E的上頂點時，A|F|=3.

(1)求E的方程；

(2)過點A作1:x=9的垂線，垂足為M.證明：直線MB過定點.

18.(17分)雙曲線C的中心在原點0,焦點在x軸上，且焦點到其漸近線y=±2x的距

離為2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點P(0,2)的直線1與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點，與其漸近線分別

交于M,N(從左至右)兩點.

①證明：|AM=|BN;

②若求直線1的方程.

19.(17分)已知A(-2,0),B(2,0),點M(x?,y。)(x?≥0)滿足

(1)求動點M的軌跡方程Ω;

(2)在二次曲線中，我們常把存在相同對稱軸和焦點的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱

為“組合曲線”.已知曲線Ω與拋物線y2=2px(p>0)構(gòu)成“組合曲線”T.設(shè)過點F(1,0)的

直線交“組合曲線”T于G,H兩點，記r?=|FG|,r?=|FH|.

①若直線的斜率為2√6,求ri+r?的值；

②求的最值.

山西大學(xué)附中

2025～2026學(xué)年第一學(xué)期高二(12月)考試(總第四次)

數(shù)學(xué)試題(參考答案)

題號12345678910

答案BCDAACBCACABD

題號11

答案ABD

三、填空題

12.【答案】4

13.【答案】[0,3]

14.【答案】

四、解答題

15.【答案】(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=4,圓心C(4,0),半徑為2,

若直線1與圓C相切，則有,解得……5

分

(2)設(shè)圓心C(4,0)到直線l的距離為d,則

即(√2)2+d2=4,即d=√2,由,解得a=-1或a=-7

所以直線l的方程為x-y-2=0或

x-7y-14=0......................................................................13分

15.【答案】(1)由題意可得F(1,0),直線AB的方程為,即y=-x+1,........2

分

聯(lián)立解方程組·,可得x2-6x+1=0,

設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),則x?+x?=6,................................................................................................4

分

,............................................................................................6

分

(2)當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=0,與拋物線只有一個交點(0,0),

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+1,

聯(lián)立,得ky2-4y+4=0,

當(dāng)k=0時，方程的解為y=1,此時直線與拋物線只有一個交點，

當(dāng)k≠0時，則△=16-16k=0,解得k=1,直線方程為y=x+1

所以：x=0或y=x+1或y=1…………………15

分

17.【答案】(1)記E的半焦距為c,由右焦點為F(1,0)可得：c=1,而|AF|=√b2+c2=a=3,

故b=√a2-c2=2√2,于是E的方程為……4

分

(2)不妨設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),

設(shè)lAB:x=my+1,聯(lián)立

有(8m2+9)y2+16my-64=0,可得

即my?y?=4(y?+y?),………8

分

易知M(9,y),直線MB的斜率為

故直線MB的方程可表示為

分

當(dāng)y=0時，顯然y≠y?,

所以直線MB過定點

(5,0)....................................................................................................................13分

而當(dāng)AB斜率為0時，直線MB就是x軸，也過點(5,0)...............................................................14

分

綜上，直線MB過定點(5,0)..................................................................................................................................................................15

分

18.【答案】(1)因為雙曲線C的漸近線為v=±2x,

由雙曲線的焦點在x軸上時，則雙曲：

漸近線的方程為焦點F(±c,0),

所以解得a=1,b=2,

所以雙曲線的方程為……………4

分

(2)①由(1)知雙曲線的方程為

其漸近線的方程為y=±2x,設(shè)直線1:y=kx+2,

因為直線1交C雙曲線的左右兩支分別于A,B,所以-2<k<2,

得(4-k2)x2-4kx-8=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

所以

分

聯(lián)立,解得,則,…………8

分

聯(lián)立,解得,則,………….9

分

,………………11

分

=(1+k2)[

=(1+k2)

]

=(1+k2)[

所以|AM|=

|BN|.………13分

②由A,M,N,B共線，可,·…14

分

由①可

解得k2=3,所以k=±√3符合題意，所以直線1的方程為y=±√3x+2…………17

分

19.【答案】(1)

所以Ω的方程為…4

分

(2)①根據(jù)(1)可知Ω的焦點為(1,0),則拋物線方程.

解得x=-6(舍去)或

因此“組合曲線”廠為曲線組合而成，

如圖，實線部分記為“組合曲線”T,其中

由于kw=2√