九年級(jí)圓的切線練習(xí)題詳解圓的切線是初中幾何的核心考點(diǎn)之一，在中考中常以證明題、計(jì)算題的形式出現(xiàn)，既考查對(duì)切線定義、判定定理的理解，也要求結(jié)合三角形、四邊形等知識(shí)綜合運(yùn)用。掌握切線相關(guān)題型的解題思路，能有效提升幾何推理與計(jì)算能力。一、核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.切線的定義若一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，或圓心到直線的距離等于圓的半徑，則這條直線是圓的切線。2.切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（簡言之：“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”，需根據(jù)切點(diǎn)是否已知選擇方法）3.切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。（切線與半徑的垂直關(guān)系是計(jì)算與證明的核心突破口）二、典型題型與解題詳解題型一：已知切點(diǎn)，證明直線是切線（“連半徑，證垂直”）例題：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD⊥CD，AC平分∠DAB。求證：CD是⊙O的切線。分析：已知CD與⊙O的切點(diǎn)為C，因此連接OC（半徑），只需證明OC⊥CD。證明過程：1.連接OC。∵OA=OC（⊙O的半徑），∴∠OAC=∠OCA（等邊對(duì)等角）。2.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC（角平分線定義）。3.由1、2得∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。4.∵AD⊥CD（已知），∴OC⊥CD（兩直線平行，同位角相等）。5.∵OC是⊙O的半徑，且OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線（切線判定定理）。解題反思：已知切點(diǎn)時(shí)，“連接半徑”是關(guān)鍵步驟，將問題轉(zhuǎn)化為證明半徑與直線垂直。可通過角相等（如等腰三角形、角平分線）、平行關(guān)系等推導(dǎo)垂直。題型二：未知切點(diǎn)，證明直線是切線（“作垂直，證半徑”）例題：在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)D。求證：AC與⊙O相切。分析：AC與⊙O的切點(diǎn)未知，因此過O作AC的垂線OE（E為垂足），只需證明OE等于⊙O的半徑（即OD的長度）。證明過程：1.連接OD、OA，過O作OE⊥AC于E?！逜B與⊙O相切于D，∴OD⊥AB（切線性質(zhì)）。2.∵AB=AC，O是BC中點(diǎn)，∴AO平分∠BAC（等腰三角形三線合一）。3.∵OD⊥AB，OE⊥AC，且AO平分∠BAC，∴OE=OD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）。4.∵OD是⊙O的半徑，∴OE也是⊙O的半徑（等量代換）。5.∵OE⊥AC，且OE是⊙O的半徑，∴AC與⊙O相切（切線判定定理）。解題反思：未知切點(diǎn)時(shí)，“作垂線”是核心思路，通過角平分線性質(zhì)、全等三角形或等腰三角形性質(zhì)證明垂線段長度等于半徑。題型三：切線性質(zhì)的綜合應(yīng)用（“利用垂直，構(gòu)造直角三角形”）例題：PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠APB=60°，OA=3，求PA的長。分析：由切線性質(zhì)知OA⊥PA，OB⊥PB，且PA=PB（切線長定理），因此四邊形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，結(jié)合∠APB=60°，可推導(dǎo)△OAP的形狀。解答過程：1.連接OP。∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB（切線性質(zhì)與切線長定理）。2.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠APO=∠BPO=?∠APB=30°（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。3.在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，OA=3?！咴诤?0°角的直角三角形中，斜邊是30°角對(duì)邊的2倍，∴OP=2OA=6。4.由勾股定理，PA=√(OP2-OA2)=√(62-32)=√27=3√3。解題反思：切線性質(zhì)提供“垂直”關(guān)系，常結(jié)合直角三角形性質(zhì)（勾股定理、含30°角的直角三角形）、全等/相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)。解題時(shí)需挖掘隱含條件（如切線長相等、圓心角與圓周角的關(guān)系），構(gòu)造可計(jì)算的直角三角形。三、方法總結(jié)與拓展1.切線證明的兩種核心思路：已知切點(diǎn)：連半徑，證垂直（利用角相等、平行、全等推導(dǎo)垂直）。未知切點(diǎn)：作垂直，證半徑（利用角平分線、等腰三角形、全等證明垂線段等于半徑）。2.切線性質(zhì)的應(yīng)用技巧：切線與半徑垂直的性質(zhì)是“橋梁”，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形等工具求解。3.拓展訓(xùn)練建議：練習(xí)時(shí)可關(guān)注“切線+等腰三角形”“切線+圓內(nèi)接四邊形”“切線+三角函數(shù)”等綜合題型，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用。通過對(duì)切線定義、判定