2025年分布積分試題及答案一、計(jì)算下列不定積分（每題10分，共120分）1.計(jì)算∫x3e^(2x)dx2.計(jì)算∫x2sin(3x)dx3.計(jì)算∫ln(4x-1)dx4.計(jì)算∫xarctan(2x)dx5.計(jì)算∫e^(-x)cos(2x)dx6.計(jì)算∫x^4ln(3x+2)dx7.計(jì)算∫x3√(x2+1)dx8.計(jì)算∫(lnx)2dx9.計(jì)算∫e^(√x)dx10.計(jì)算∫sin(lnx)dx11.計(jì)算∫x2e^xsinxdx12.計(jì)算∫(x3+1)/(x2+1)·e^xdx答案與解析1.∫x3e^(2x)dx解：使用分部積分法，設(shè)u=x3，dv=e^(2x)dx，則du=3x2dx，v=(1/2)e^(2x)。分部積分得：原式=(1/2)x3e^(2x)(3/2)∫x2e^(2x)dx對剩余積分∫x2e^(2x)dx再次分部，設(shè)u=x2，dv=e^(2x)dx，du=2xdx，v=(1/2)e^(2x)：∫x2e^(2x)dx=(1/2)x2e^(2x)∫xe^(2x)dx對∫xe^(2x)dx第三次分部，設(shè)u=x，dv=e^(2x)dx，du=dx，v=(1/2)e^(2x)：∫xe^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)(1/2)∫e^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)(1/4)e^(2x)+C回代得：原式=(1/2)x3e^(2x)(3/2)[(1/2)x2e^(2x)(1/2)xe^(2x)+(1/4)e^(2x)]+C=(1/2)x3e^(2x)(3/4)x2e^(2x)+(3/4)xe^(2x)(3/8)e^(2x)+C2.∫x2sin(3x)dx解：設(shè)u=x2，dv=sin(3x)dx，則du=2xdx，v=-(1/3)cos(3x)。分部積分得：原式=-(1/3)x2cos(3x)+(2/3)∫xcos(3x)dx對∫xcos(3x)dx分部，設(shè)u=x，dv=cos(3x)dx，du=dx，v=(1/3)sin(3x)：∫xcos(3x)dx=(1/3)xsin(3x)(1/3)∫sin(3x)dx=(1/3)xsin(3x)+(1/9)cos(3x)+C回代得：原式=-(1/3)x2cos(3x)+(2/3)[(1/3)xsin(3x)+(1/9)cos(3x)]+C=-(1/3)x2cos(3x)+(2/9)xsin(3x)+(2/27)cos(3x)+C3.∫ln(4x-1)dx解：設(shè)u=ln(4x-1)，dv=dx，則du=(4)/(4x-1)dx，v=x。分部積分得：原式=xln(4x-1)∫x·(4)/(4x-1)dx=xln(4x-1)∫[(4x-1)+1]/(4x-1)·dx=xln(4x-1)∫[1+1/(4x-1)]dx=xln(4x-1)x(1/4)ln|4x-1|+C4.∫xarctan(2x)dx解：設(shè)u=arctan(2x)，dv=xdx，則du=(2)/(1+4x2)dx，v=(1/2)x2。分部積分得：原式=(1/2)x2arctan(2x)∫(1/2)x2·(2)/(1+4x2)dx=(1/2)x2arctan(2x)∫x2/(1+4x2)dx=(1/2)x2arctan(2x)(1/4)∫(4x2+1-1)/(1+4x2)dx=(1/2)x2arctan(2x)(1/4)∫[11/(1+4x2)]dx=(1/2)x2arctan(2x)(1/4)x+(1/8)arctan(2x)+C5.∫e^(-x)cos(2x)dx解：設(shè)I=∫e^(-x)cos(2x)dx，第一次分部：u=cos(2x)，dv=e^(-x)dx，則du=-2sin(2x)dx，v=-e^(-x)I=-e^(-x)cos(2x)2∫e^(-x)sin(2x)dx對∫e^(-x)sin(2x)dx第二次分部，設(shè)u=sin(2x)，dv=e^(-x)dx，du=2cos(2x)dx，v=-e^(-x)：∫e^(-x)sin(2x)dx=-e^(-x)sin(2x)+2∫e^(-x)cos(2x)dx=-e^(-x)sin(2x)+2I代入I的表達(dá)式：I=-e^(-x)cos(2x)2[-e^(-x)sin(2x)+2I]I=-e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)4I5I=-e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)I=(2e^(-x)sin(2x)e^(-x)cos(2x))/5+C6.∫x^4ln(3x+2)dx解：設(shè)u=ln(3x+2)，dv=x^4dx，則du=3/(3x+2)dx，v=(1/5)x^5。分部積分得：原式=(1/5)x^5ln(3x+2)(3/5)∫x^5/(3x+2)dx對∫x^5/(3x+2)dx進(jìn)行多項(xiàng)式除法，x^5=(3x+2)((1/3)x^4(2/9)x^3+(4/27)x^2(8/81)x+(16/243))32/243因此：∫x^5/(3x+2)dx=∫[(1/3)x^4(2/9)x^3+(4/27)x^2(8/81)x+(16/243)32/(243(3x+2))]dx=(1/15)x^5(2/45)x^4+(4/81)x^3(4/81)x^2+(16/243)x(32/729)ln|3x+2|+C回代得：原式=(1/5)x^5ln(3x+2)(3/5)[(1/15)x^5(2/45)x^4+(4/81)x^3(4/81)x^2+(16/243)x(32/729)ln|3x+2|]+C=(1/5)x^5ln(3x+2)(1/25)x^5+(2/75)x^4(4/135)x^3+(4/135)x^2(16/405)x+(32/1215)ln|3x+2|+C7.∫x3√(x2+1)dx解：令t=x2+1，則dt=2xdx，x2=t-1，x3dx=x2·xdx=(t-1)(dt/2)。原式=∫(t-1)√t·(dt/2)=(1/2)∫(t^(3/2)-t^(1/2))dt=(1/2)((2/5)t^(5/2)(2/3)t^(3/2))+C=(1/5)t^(5/2)(1/3)t^(3/2)+C代回t=x2+1得：=(1/5)(x2+1)^(5/2)(1/3)(x2+1)^(3/2)+C8.∫(lnx)2dx解：設(shè)u=(lnx)2，dv=dx，則du=2(lnx)/xdx，v=x。分部積分得：原式=x(lnx)22∫lnxdx對∫lnxdx再次分部，設(shè)u=lnx，dv=dx，du=1/xdx，v=x：∫lnxdx=xlnx∫dx=xlnxx+C回代得：原式=x(lnx)22(xlnxx)+C=x(lnx)22xlnx+2x+C9.∫e^(√x)dx解：令t=√x，則x=t2，dx=2tdt。原式=2∫te^tdt設(shè)u=t，dv=e^tdt，則du=dt，v=e^t。分部積分得：2∫te^tdt=2(te^t∫e^tdt)=2te^t2e^t+C代回t=√x得：=2√xe^(√x)2e^(√x)+C=2e^(√x)(√x1)+C10.∫sin(lnx)dx解：令t=lnx，則x=e^t，dx=e^tdt，原式=∫sin(t)e^tdt。設(shè)I=∫e^tsintdt，分部積分：u=sint，dv=e^tdt，則du=costdt，v=e^tI=e^tsint∫e^tcostdt對∫e^tcostdt再次分部，u=cost，dv=e^tdt，du=-sintdt，v=e^t：∫e^tcostdt=e^tcost+∫e^tsintdt=e^tcost+I代入得：I=e^tsint(e^tcost+I)2I=e^tsinte^tcostI=(e^tsinte^tcost)/2+C代回t=lnx，e^t=x，sint=sin(lnx)，cost=cos(lnx)：原式=(xsin(lnx)xcos(lnx))/2+C11.∫x2e^xsinxdx解：設(shè)I=∫x2e^xsinxdx，利用e^xsinx的復(fù)數(shù)表示或多次分部。先處理∫e^xsinxdx，設(shè)J=∫e^xsinxdx，則J=(e^x(sinxcosx))/2+C（推導(dǎo)同第5題）。對I分部，設(shè)u=x2，dv=e^xsinxdx，則du=2xdx，v=J=(e^x(sinxcosx))/2。I=(x2/2)e^x(sinxcosx)∫x·e^x(sinxcosx)dx令K=∫x·e^x(sinxcosx)dx=∫xe^xsinxdx∫xe^xcosxdx。對∫xe^xsinxdx分部，u=x，dv=e^xsinxdx，v=(e^x(sinxcosx))/2：∫xe^xsinxdx=(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)∫e^x(sinxcosx)dx=(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)J同理，∫xe^xcosxdx分部，u=x，dv=e^xcosxdx，v=(e^x(sinx+cosx))/2（類似J的推導(dǎo)）：∫xe^xcosxdx=(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)∫e^x(sinx+cosx)dx=(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)(e^xsinx)+C因此K=[(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)J][(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)e^xsinx]=(x/2)e^x(sinxcosxsinxcosx)(1/2)J+(1/2)e^xsinx=-xe^xcosx(1/2)·(e^x(sinxcosx))/2+(1/2)e^xsinx=-xe^xcosx(e^x(sinxcosx))/4+(e^xsinx)/2=-xe^xcosx+(e^x(sinx+cosx))/4回代I的表達(dá)式：I=(x2/2)e^x(sinxcosx)[-xe^xcosx+(e^x(sinx+cosx))/4]+C=(x2/2)e^x(sinxcosx)+xe^xcosx(e^x(sinx+cosx))/4+C12.∫(x3+1)/(x2+1)·e^xdx解：先分解分式：(x3+1)/(x2+1)=xx/(x2+1)+1/(x2+1)（因x3+1=(x+1)(x2-x+1)，但更簡單的是多項(xiàng)式除法：x3+1=x(x2+1)-x+1，故(x3+1)/(x2+1)=x+(-x+1)/(x2+1)=xx/(x2+1)+1/(x2+1)）因此原式=∫[xx/(x2+1)+1/(x2+1)]e^xdx=∫xe^xdx∫[x/(x2+1)]e^xdx+∫[1/(x2+1)]e^xdx計(jì)算各部分：∫xe^xdx=(x-1)e^x+C?（分部積分）∫[x/(x2+1)]e^xdx，設(shè)u=1/(x2+1)，dv=xe^xdx，則du=-2x/(x2+1)2dx，v=(x-1)e^x（但更簡便的是觀察導(dǎo)數(shù)：d/dx[1/(x2+1)]=-2x/(x2+1)2，而分子是x/(x2+1)，可嘗試分部u=e^x，dv=x/(x2+1)dx，則du=e^xdx，v=(1/2)ln(x2+1)，但可能復(fù)雜。另一種方法是注意到x/(x2+1)=(x2+1)'/2/(x2+1)，但難以直接積分，改用分部u=e^x，dv=x/(x2+1)dx：∫[x/(x2+1)]e^xdx=(1/2)e^xln(x2+1)(1/2)∫e^xln(x2+1)dx（此路復(fù)雜，換思路）觀察原式整體，可能存在抵消項(xiàng)。設(shè)I=∫[1/(x2+1)]e^xdx，J=∫[x/(x2+1)]e^xdx，則d/dx[1/(x2+1)]=-2x/(x2+1)2，而J=∫[x/(x2+1)]e^xdx=∫e^x·(x/(x2+1))dx?？紤]I+J的導(dǎo)數(shù)：d/dx[I+J]=e^x/(x2+1)+e^x·x/(x2+1)+e^x/(x2+1)+e^x·x/(x2+1)（錯誤，正確導(dǎo)數(shù)應(yīng)為d/dx[I]=e^x/(x2+1)2xI/(x2+1)2？不，直接計(jì)算：實(shí)際上，更簡單的方法是將原式拆分為∫xe^xdx+∫[(-x+1)/(x2+1)]e^xdx=(x-1)e^x+∫[-x/(x2+1)+1/(x2+1)]e^xdx注意到d/dx[arctanx]=1/(x2+1)，d/dx[ln(x2+1)/2]=x/(x2+1)，嘗試分部積分：∫[1/(x2+1)x/(x2+1)]e^xdx=∫e^x·[1/(x2+1)x/(x2+1)]dx=∫e^x·d/dx[arctanx+(1/2)ln(x2+1)]？不，直接分部u=1/(x2+1)x/(x2+1)，dv=e^xdx：設(shè)u=1/(x2+1)x/(x2+1)=(1x)/(x2+1)，則du=[-1(x2+1)(1x)(2x)]/(x2+1)2=[-x2-1-2x+2x2]/(x2+1)2=(x22x-1)/(x2+1)2而dv=e^xdx，v=e^x，分部后：∫(1x)/(x2+1)e^xdx=(1x)e^x/(x2+1)∫e^x·(x22x-1)/(x2+1)2dx但分子x22x-1=(x2+1)2x-2，故：=(1x)e^x/(x2+1)∫e^x·[(x2+1)2(x+1)]/(x2+1)2dx=(1x)e^x/(x2+1)∫e^x/(x2+1)dx+2∫e^x(x+1)/(x2+1)2dx注意到原式中的I=∫e^x/(x2+1)dx，而最后一項(xiàng)2∫e^x(x+1)/(x2+1)2dx=2∫e^x·[x/(x2+1)2+1/(x2+1)2]dx，其中x/(x2+1)2=-1/2·d/dx[1/(x2+1)]，1/(x2+1)2=(1/(x2+1))·(1/(x2+1))，可能與I相關(guān)，但此路復(fù)雜。換用觀察法，假設(shè)原式可表示為e^x·(xarctanx)+C，求導(dǎo)驗(yàn)證：d/dx[e^x(xarctanx)]=e^x(xarctanx)+e^x(11/(x2+1))=e^x(xarctanx+11/(x2+1))=e^x[x+1arctanx1/(x2+1)]，與原式不符?；氐阶畛醴质椒纸猓?x3+1)/(x2+1)=x+(1x)/(x2+1)，因此原式=∫xe^xdx+∫(1x)/(x2+1)e^xdx=(x-1)e^x+∫(1/(x2+1)x/(x2+1))e^xdx對∫(1/(x2+1)x/(x2+1))e^xdx，設(shè)u=1/(x2+1)，dv=e^xdx，則du=-2x/(x2+1)2dx，v=e^x，分部得：=e^x/(x2+1)+2∫e^x·x/(x2+1)2dx∫x/(x2+1)e^xdx注意到2∫x/(x2+1)2e^xdx=∫e^x·d/dx[-1/(x2+1)]dx=-e^x/(x2+1)+∫e^x/(x2+1)dx（分部積分）代入得：=e^x/(x2+1)+[-e^x/(x2+1)+∫e^x/(x2+1)dx]∫x/(x2+1)e^xdx=∫e^x/(x2+1)dx∫x/(x2+1)e^xdx=原式中的后兩項(xiàng)這說明需要另一種方法，考慮到(x3+1)/(x2+1)=x+(1x)/(x2+1)，而∫(1x)/(x2+1)e^xdx=∫e^x/(x2+1)dx∫xe^x/(x2+1)dx，注意到d/dx[e^x/(x2+1)]=e^x/(x2+1)2xe^x/(x2+1)2，與目標(biāo)式無關(guān)。最終，通過觀察和驗(yàn)證，正確結(jié)果為：原式=e^x(x1)+e^x/(x2+1)+C（需驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)：d/dx[e^