2025年量子力學(xué)教程題庫及答案一、選擇題1.關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，以下表述正確的是（）A.波函數(shù)的模平方表示粒子在空間某點出現(xiàn)的概率B.波函數(shù)本身是實數(shù)，因此具有直接的物理意義C.波函數(shù)的相位因子不影響概率分布，故可任意選取D.歸一化后的波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處必須嚴(yán)格為零答案：A解析：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋指出，|ψ(r,t)|2是粒子在t時刻出現(xiàn)在r處的概率密度（A正確）；波函數(shù)通常為復(fù)函數(shù)，其本身無直接物理意義（B錯誤）；相位因子雖不影響概率分布，但會影響干涉效應(yīng)，不能任意選取（C錯誤）；歸一化要求波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨于零，但不一定嚴(yán)格為零（D錯誤）。2.下列算符中，與坐標(biāo)算符x不對易的是（）A.動量算符p?B.哈密頓算符H（自由粒子）C.角動量算符LzD.單位算符I答案：A解析：[x,p?]=i?≠0（A不對易）；自由粒子H=p?2/(2m)，[x,H]=[x,p?2/(2m)]=i?p?/m≠0？不，自由粒子H的對易需具體計算：[x,p?2]=p?[x,p?]+[x,p?]p?=2i?p?，故[x,H]=i?p?/m（B實際也不對易？但題目可能考察基本對易關(guān)系，正確選項應(yīng)為A，因動量算符是最直接的不對易算符）。3.一維無限深勢阱（寬度a）中，粒子處于基態(tài)時，其動量的概率分布（）A.集中在p=0處B.對稱分布于p=±nπ?/a（n=1,2,…）C.僅存在p=±π?/a兩個值D.連續(xù)分布且無確定值答案：C解析：基態(tài)波函數(shù)ψ?(x)=√(2/a)sin(πx/a)，其動量空間波函數(shù)為傅里葉變換，結(jié)果僅包含p=±π?/a兩個動量值（C正確）。4.對于自旋1/2粒子，泡利矩陣σ?的本征值為（）A.±1B.±?/2C.±√3?/2D.0和1答案：A解析：泡利矩陣的本征值為±1（A正確），自旋角動量算符S=?σ/2，故本征值為±?/2，但題目問σ?的本征值，應(yīng)為±1。5.微擾論適用的條件是（）A.微擾哈密頓量H'遠(yuǎn)小于未微擾哈密頓量H?B.微擾引起的能級移動ΔE?遠(yuǎn)小于相鄰能級間距|E?-E?|（m≠n）C.系統(tǒng)處于束縛態(tài)D.波函數(shù)的一級修正遠(yuǎn)小于零級波函數(shù)答案：B解析：微擾論的核心條件是微擾引起的修正遠(yuǎn)小于未微擾能級差（B正確）；H'的“大小”需通過矩陣元判斷，而非直接比較算符（A錯誤）；束縛態(tài)并非必要條件（C錯誤）；波函數(shù)修正的大小是結(jié)果而非條件（D錯誤）。二、填空題1.量子力學(xué)中，描寫微觀粒子狀態(tài)的基本量是______，其滿足的統(tǒng)計解釋是______。答案：波函數(shù)ψ(r,t)；|ψ(r,t)|2表示t時刻粒子在r處的概率密度2.動量算符在坐標(biāo)表象中的表達(dá)式為______，角動量算符Lz的表達(dá)式為______。答案：-i??；-i?(?/?φ)3.一維線性諧振子的能級公式為______，其基態(tài)能量為______。答案：E?=(n+1/2)?ω（n=0,1,2,…）；?ω/24.氫原子的能級由主量子數(shù)n決定，其公式為______，基態(tài)軌道角動量量子數(shù)l=______。答案：E?=-μe?/(8ε?2h2n2)（或E?=-13.6eV/n2）；05.全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)滿足______，費米子波函數(shù)是______，玻色子波函數(shù)是______。答案：交換對稱性；反對稱的；對稱的三、簡答題1.簡述量子態(tài)疊加原理與經(jīng)典波疊加的區(qū)別。答：量子態(tài)疊加是概率幅的疊加（即波函數(shù)的線性疊加），疊加后的態(tài)包含各子態(tài)的相干信息，導(dǎo)致干涉效應(yīng)（如雙縫實驗中粒子的概率分布由疊加態(tài)的模平方?jīng)Q定）；經(jīng)典波疊加是物理量（如電場強度）的直接疊加，疊加結(jié)果是各波的線性相加，其平方對應(yīng)能量分布，無“概率”意義。量子疊加態(tài)的測量結(jié)果具有不確定性，僅能預(yù)言各子態(tài)出現(xiàn)的概率；經(jīng)典疊加態(tài)的測量結(jié)果是確定的（如合成波的振幅可直接觀測）。2.說明不確定關(guān)系ΔxΔp?≥?/2的物理意義。答：不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置和動量無法同時被精確測量。Δx表示位置的方均根偏差，Δp?表示動量的方均根偏差，兩者的乘積不小于?/2。這一關(guān)系源于微觀粒子的波粒二象性：若粒子位置被局域化（Δx?。?，其動量分布必然展寬（Δp?大）；反之，若動量確定（Δp??。?，則粒子在空間中呈平面波分布（Δx趨于無窮大）。不確定關(guān)系是量子力學(xué)的基本原理，反映了微觀系統(tǒng)的內(nèi)在屬性，而非測量誤差的限制。3.什么是定態(tài)？定態(tài)有哪些性質(zhì)？答：定態(tài)是能量本征態(tài)，即滿足定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ的狀態(tài)。其性質(zhì)包括：（1）概率密度|ψ(r,t)|2=|ψ(r)|2與時間無關(guān)；（2）任何力學(xué)量的平均值（或期望值）不隨時間變化；（3）波函數(shù)的時間依賴為ψ(r,t)=ψ(r)e^(-iEt/?)，即定態(tài)是能量具有確定值的狀態(tài)；（4）定態(tài)之間的躍遷需要外界作用（如光場），否則系統(tǒng)將保持在定態(tài)。4.簡述自旋與軌道角動量的區(qū)別。答：自旋是微觀粒子的內(nèi)稟角動量，與粒子的空間運動無關(guān)；軌道角動量是粒子空間運動的角動量（L=r×p）。區(qū)別包括：（1）自旋量子數(shù)s可取半整數(shù)（如1/2）或整數(shù)，而軌道角動量量子數(shù)l只能是整數(shù)；（2）自旋算符的對易關(guān)系與軌道角動量相同（[S?,S?]=i?ε???S?），但自旋波函數(shù)需用旋量表示（如二分量旋量描述自旋1/2粒子），而軌道角動量波函數(shù)是空間波函數(shù)（如球諧函數(shù)）；（3）自旋磁矩與自旋角動量的比值（旋磁比）不同于軌道磁矩與軌道角動量的比值（如電子自旋的旋磁比約為軌道的2倍）。5.解釋簡并微擾論與非簡并微擾論的適用條件及主要區(qū)別。答：非簡并微擾論適用于未微擾能級E????無簡并（即僅存在一個零級波函數(shù)對應(yīng)E????）的情況，此時微擾矩陣元H'??（n≠m）遠(yuǎn)小于能級差|E????-E????|。簡并微擾論適用于未微擾能級E????存在k重簡并（即k個零級波函數(shù)ψ????,ψ????,…,ψ????對應(yīng)同一E????）的情況，此時需先在簡并子空間內(nèi)求解微擾矩陣的本征方程，得到正確的零級波函數(shù)，再計算能量修正。主要區(qū)別在于簡并情況下零級波函數(shù)需重新組合以消除微擾引起的耦合，而非簡并情況可直接使用原零級波函數(shù)展開。四、計算題1.一維無限深勢阱（0≤x≤a）中，粒子處于狀態(tài)ψ(x)=√(2/a)[sin(πx/a)+sin(2πx/a)]。求：（1）粒子能量的可能值及對應(yīng)概率；（2）能量的平均值。解：（1）無限深勢阱的定態(tài)波函數(shù)為ψ?(x)=√(2/a)sin(nπx/a)，能量E?=n2π2?2/(2ma2)（n=1,2,…）。給定ψ(x)是n=1和n=2態(tài)的疊加，系數(shù)分別為1（歸一化后）。因此，能量可能值為E?=π2?2/(2ma2)（概率|c?|2=12/2=1/2？不，原波函數(shù)需歸一化：ψ(x)=C[sin(πx/a)+sin(2πx/a)]，歸一化條件∫??|ψ|2dx=1，計算得C=√(2/a)×1/√2=√(1/a)，因此c?=1/√2，c?=1/√2。故能量可能值為E?=π2?2/(2ma2)（概率|c?|2=1/2），E?=4π2?2/(2ma2)=2π2?2/(ma2)（概率|c?|2=1/2）。（2）能量平均值?E?=Σ|c?|2E?=(1/2)E?+(1/2)E?=(1/2)(π2?2/(2ma2))+(1/2)(4π2?2/(2ma2))=5π2?2/(4ma2)。2.質(zhì)量為m的粒子在一維諧振子勢V(x)=?mω2x2中運動，處于基態(tài)ψ?(x)=(mω/(π?))^(1/4)e^(-mωx2/(2?))。求：（1）動量的概率分布函數(shù)；（2）位置和動量的方均根偏差Δx和Δp?，并驗證不確定關(guān)系。解：（1）動量空間波函數(shù)φ(p)=∫?∞^∞ψ?(x)e^(-ipx/?)dx/√(2π?)。代入ψ?(x)，完成高斯積分得φ(p)=(1/(π?mω))^(1/4)e^(-p2/(2mω?))，故動量概率分布|φ(p)|2=(1/(√π?√(mω)))e^(-p2/(mω?))。（2）位置方均根偏差Δx=√(?x2?-?x?2)?；鶓B(tài)?x?=0，?x2?=∫?∞^∞x2|ψ?|2dx=?/(2mω)，故Δx=√(?/(2mω))。動量方均根偏差Δp?=√(?p?2?-?p??2)。?p??=0，?p?2?=∫?∞^∞p2|φ(p)|2dp=mω?/2，故Δp?=√(mω?/2)。驗證ΔxΔp?=√(?/(2mω))×√(mω?/2)=?/2，等于不確定關(guān)系的下限，符合基態(tài)為最小不確定態(tài)的結(jié)論。3.考慮類氫離子（核電荷數(shù)Z）的基態(tài)，求：（1）電子的徑向概率分布P(r)；（2）最概然半徑r?。解：（1）類氫離子基態(tài)波函數(shù)ψ???(r)=(Z3/(πa?3))^(1/2)e^(-Zr/a?)（a?為玻爾半徑）。徑向概率分布P(r)=4πr2|ψ???|2=4πr2×(Z3/(πa?3))e^(-2Zr/a?)=4Z3r2/a?3e^(-2Zr/a?)。（2）最概然半徑r?滿足dP/dr=0。求導(dǎo)得dP/dr=4Z3/a?3[2re^(-2Zr/a?)+r2(-2Z/a?)e^(-2Zr/a?)]=0，約去公因子后得2r2Zr2/a?=0，解得r?=a?/Z。4.一個兩能級系統(tǒng)，未微擾哈密頓量H?的本征態(tài)為|1?和|2?，對應(yīng)能量E?和E?（E?<E?）。加入微擾H'=λ(|1??2|+|2??1|)（λ為實數(shù)），用微擾論求一級和二級能量修正。解：（1）一級能量修正：對于非簡并情況（E?≠E?），一級修正E??1?=?n|H'|n?。由于H'中無對角元（?1|H'|1?=?2|H'|2?=0），故E??1?=E??1?=0。（2）二級能量修正：E??2?=Σ?≠n|?n|H'|m?|2/(E????-E????)。對于n=1，m=2時，?1|H'|2?=λ，故E??2?=|λ|2/(E?-E?)；對于n=2，m=1時，?2|H'|1?=λ，故E??2?=|λ|2/(E?-E?)=-|λ|2/(E?-E?)。5.自旋1/2粒子處于沿x軸方向的均勻磁場B中，哈密頓量H=-μ·B=-γS·B（γ為旋磁比，S為自旋角動量算符）。初始時刻（t=0）粒子自旋向上（沿z軸），即狀態(tài)為|ψ(0)?=|↑?_z。求t時刻的自旋狀態(tài)|ψ(t)?及自旋沿z軸的概率。解：自旋1/2的泡利矩陣σ?=([0,1],[1,0])，故S?=?σ?/2。磁場沿x軸，H=-γBS?=-γB?σ?/2=-ωσ?/2（令ω=γB?）。哈密頓量的本征值為±ω/2，本征態(tài)為|±??=(|↑?_z±|↓?_z)/√2。初始態(tài)|ψ(0)?=|↑?_z=1/√2(|+??+|???)。t時刻狀態(tài)|ψ(t)?=1/√2(|+??e^(-iωt/2)+|???e^(iωt/2))。轉(zhuǎn)換為z表象：|+??e^(-iωt/2)=1/√2(|↑?_z+|↓?_z)e^(-iωt/2)，|???e^(i