數(shù)學(xué)5分每小題的四個(gè)選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)把你認(rèn)為的正確選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知兩條直線：和：，若，則（）A.B.1C.或1D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行可解得實(shí)數(shù)，驗(yàn)證可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，、的方程均為，故重合，不符題意；當(dāng)時(shí)，：，：，兩者平行，符合題意，故B正確.故選：B.2.已知隨機(jī)事件A，B，C中，與相互獨(dú)立，與對(duì)立，且，，則（）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B【解析】可知只需求出以及獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】，，所以.故選：B.3.已知a，b是空間兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的為（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則第1頁(yè)/共18頁(yè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】選項(xiàng)A：若，，則可能，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因，如圖過作平面，交平面于b，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得，因?yàn)?，所以，又因，所以，故B正確；選項(xiàng)C：若，，則可能或或與相交，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，，，則與可能相交，故D錯(cuò)誤.故選：B4.如圖，線段、在平面內(nèi)，，，且，，.則、兩點(diǎn)間的距離為（）A.1B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由題可得，，，然后由，及，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，平面，?頁(yè)/共18頁(yè)可得，，，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得，則.即，解得（舍）或，故.故選：A5.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖（圖標(biāo)中心點(diǎn)所對(duì)縱坐標(biāo)代表該次數(shù)學(xué)測(cè)試）A.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差B.甲成績(jī)的第25百分位數(shù)大于乙成績(jī)的第75百分位數(shù)C.甲成績(jī)的平均數(shù)大于乙成績(jī)的平均數(shù)D.甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差【答案】B【解析】ABC由圖可判斷甲乙平均數(shù)大小關(guān)系；D由圖結(jié)合方差概念可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A，由圖甲的極差約為30，乙的極差大于30，故A正確；B，對(duì)甲成績(jī)排序，又，則第2個(gè)成績(jī)?yōu)榧壮煽?jī)的第25百分位數(shù)，由圖估計(jì)值為90；對(duì)乙成績(jī)排序，又，則第5個(gè)成績(jī)?yōu)橐页煽?jī)的第75百分位數(shù)，估計(jì)值大于90，則甲成績(jī)的第25百分位數(shù)小于乙成績(jī)的第75百分位數(shù)，故B錯(cuò)誤；C903次低于60均數(shù)，故C正確；第3頁(yè)/共18頁(yè)D，由圖甲的成績(jī)更加穩(wěn)定，乙的成績(jī)波動(dòng)性較強(qiáng)，則甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差，故D正確.故選：B6.若直線與圓無公共點(diǎn)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)在圓內(nèi)D.以上都有可能【答案】C【解析】、與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓無公共點(diǎn)，則，所以，，因此，點(diǎn)在圓內(nèi).故選：C.7.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心為到直線的距離等于1，∴，解得.故選：B.8.中，，DE分別為，沿折第4頁(yè)/共18頁(yè)）A.B.C.D.【答案】B【解析】平面的外接圓的圓心在的中點(diǎn)方程，求出，即可求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得；，，，平面平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點(diǎn)，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B第5頁(yè)/共18頁(yè)6分每小題的四個(gè)選項(xiàng)中都不止一個(gè)滿足條件，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上全部選對(duì)得滿分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分）9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若空間向量，，則在上的投影向量為B.已知，，則點(diǎn)到直線的距離為C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)有，則，，，四點(diǎn)共面D.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則【答案】AC【解析】分析】對(duì)于A，應(yīng)用求解即可；對(duì)于B，應(yīng)用求解即可；對(duì)于C，轉(zhuǎn)化為即可判斷；對(duì)于D，可證得，但線面關(guān)系可有兩種情況.A項(xiàng)：在上的投影向量為A正確；對(duì)于B項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；第6頁(yè)/共18頁(yè)對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以，即，所以，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：因?yàn)椋?，則或，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.關(guān)于直線和圓，下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為B.圓：關(guān)于直線對(duì)稱C.點(diǎn)到直線距離的最大值為D.直線：被圓：截得的最短弦的弦長(zhǎng)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)過一點(diǎn)作圓的切線，分類討論切線斜率存在與否，并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離等于半徑求解即可確定切線方程，從而判斷A項(xiàng)；通過圓心在直線上，可判斷B項(xiàng)；通過含參直線方程，可確定直線所過定點(diǎn)時(shí)，所截弦長(zhǎng)最短，從而判斷項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，當(dāng)軸時(shí)，直線：滿足條件.當(dāng)不垂直于的方程為，∴直線：，故錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，∵圓心在直線上，∴圓關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，直線方程整理得，令，得，∴直線恒過定點(diǎn)到直線的距離的最大值為C正確；第7頁(yè)/共18頁(yè)對(duì)于D項(xiàng)，直線：整理得，令，得，所以直線恒過定點(diǎn).由圓：，得圓心，半徑，則圓心到直線距離的最大值為，所以最短弦的弦長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤.故選：BC.下列說法正確的是（）A.甲乙兩人獨(dú)立的解題，已知各人能解出的概率分別是、，則題被解出的概率是B.若，是互斥事件，則C.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的袋子中任取兩個(gè)球，則事件“恰好有一個(gè)黑球”與事件“恰好有兩個(gè)黑球”是對(duì)立事件D.若樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為8，則數(shù)據(jù)，的方差為16.【答案】AB【解析】【分析】A，由獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件概率公式即可判斷，B，由互斥事件概率加法公式可判斷；C，由對(duì)立事件概念可判斷，D由方差運(yùn)算性質(zhì)可判斷.【詳解】對(duì)于A，由獨(dú)立事件概率乘法公式可得此題沒被解出的概率為，再由對(duì)立事件概率公式可知：題被解出的概率是，正確；對(duì)于B，由互斥事件概率加法公式可知正確；對(duì)于C，從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的袋子中任取兩個(gè)球，有如下結(jié)果：一個(gè)紅球，一個(gè)黑球；兩個(gè)都是紅球；兩個(gè)都是黑球；顯然“恰好有一個(gè)黑球”與事件“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥事件，不是對(duì)立事件；對(duì)于D,由方差的運(yùn)算性質(zhì)可知：數(shù)據(jù)，的方差為，錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題（共分，每小題5分請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.若方程表示圓，則m的取值范圍為__________.第8頁(yè)/共18頁(yè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，即表示圓，所以，解得或.所以當(dāng)表示圓心為的一個(gè)圓.故答案為：.13.已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先求得直線過定點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合圖象求出斜率范圍即可.【詳解】直線，即，所以直線過定點(diǎn)，如圖，．因直線l與線段相交，則由圖可知或，即k的取值范圍是．故答案為：14.動(dòng)直線：與動(dòng)直線：相交于點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】1第9頁(yè)/共18頁(yè)【解析】【分析】由題知直線，始終垂直，且分別過定點(diǎn)，，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡方程，最后轉(zhuǎn)化為斜率問題求解即可.【詳解】由題意可知，動(dòng)直線：經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線：經(jīng)過定點(diǎn)，因?yàn)閮芍本€，始終垂直，點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，所以有，所以點(diǎn)的軌跡方程是，所以點(diǎn)的軌跡為：以為圓心，半徑為的圓去掉點(diǎn).如圖，因?yàn)?，故只需求的最小值，所以，所求可以看成點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，求出過點(diǎn)與圓相切的切線斜率即可，設(shè)切線為，即.根據(jù)相切的條件構(gòu)造方程，即，解得.所以的最小值為，所以最小值為.故答案為：1四、解答題（滿分分，解答須寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟）第10頁(yè)/共18頁(yè)15.2024年阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽公布決賽名單，80117歲中專生排名12泛關(guān)注，進(jìn)而點(diǎn)燃了全社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情．某高校數(shù)學(xué)競(jìng)賽愛好者小組中的甲、乙、丙3人，各自獨(dú)立去做2024該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為．（1）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題概率．【答案】（1）（2）【解析】1）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)已知條件列出等式，求出結(jié)果即可.（2）先求出對(duì)立事件的概率，進(jìn)而得到甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.【小問1詳解】設(shè)乙能解出該題的概率為，丙能解出該題的概率為，因?yàn)榧?、丙都能解出該題的概率為，所以，解得.因?yàn)橐夷芙獬龆荒芙獬鲈擃}的概率為，所以，解得.所以乙、丙各自解出該題的概率是.小問2詳解】甲、乙、丙3人都沒有解出該題的概率是，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率是.16.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽(yáng)馬拉松在湖北省襄陽(yáng)市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽(yáng)市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的第11頁(yè)/共18頁(yè)頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的下四分位數(shù)和平均數(shù)；（2100名候選者用分層隨機(jī)抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取1010名面試者中隨機(jī)抽取兩名，求兩名面試者成績(jī)都在第五組的概率．（3）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．【答案】（1）63，（2）；（3）【解析】1）由題意先求出，進(jìn)一步結(jié)合平均數(shù)公式、百分位數(shù)的定義即可列式求解；（2）由列舉法求解古典概型概率即可；（3）由分層抽樣方差公式計(jì)算即可.1）由題意可知：，解得，可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，因?yàn)?，設(shè)下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)為，則，則，解得，故下四分位數(shù)為63．平均數(shù)為，（2）因?yàn)榈谒慕M和第五組頻率為0.2和0.05，所以10人中，第四組為8人.第五組為2人，記第四組的人的編號(hào)為1到8，第五組的人的編號(hào)為9和10，第12頁(yè)/共18頁(yè)共45個(gè)樣本點(diǎn)，記兩名面試者成績(jī)都在第五組為事件A，則事件，故；（3）設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)，第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．所以估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差是．17.已知直線：，：的交點(diǎn)（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程；（2）求過點(diǎn)且橫截距與縱截距相等的直線的方程；（3）求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程.【答案】（1）（2）或（3）【解析】1）聯(lián)立兩直線方程求解可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線的斜率，結(jié)合垂直性質(zhì)即可得；（2）結(jié)合截距定義，分該直線過原點(diǎn)與該直線不過原點(diǎn)進(jìn)行討論即可得；（3）找出直線上任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)后，結(jié)合點(diǎn)計(jì)算即可得解.【小問1詳解】聯(lián)立，解得，故，因?yàn)橹本€斜率，則所求直線斜率為，第13頁(yè)/共18頁(yè)所以所求直線方程為，即；【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)所求直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，即；當(dāng)所求直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)為，則有，解得，即所求直線方程為，即；綜上可得所求直線方程為或；【小問3詳解】對(duì)：，令，得，故是上的點(diǎn)，設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解得，故在所求直線上，則所求直線方程為，即.18.已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求四邊形面積的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）四邊形面積的最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】1）設(shè)圓心，根據(jù)題意列關(guān)于方程，解方程，可求出圓的半徑，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2面積第14頁(yè)/共18頁(yè)時(shí)，取最小值，求出方程，聯(lián)立、的方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的值，由此可得出四邊形面積的最小值.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)題意可得，即，解得，故圓心為，該圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)?、都與圓相切，由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)椋?，則，且，