廣東省珠海一中、惠州一中、深圳外國語三校2025-2026學年高三上學期聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．4．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．6．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關的問題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則的最小值為（

）A． B． C．71 D．7．已知，若正實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．若，且有，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A．z的虛部為 B．z的共軛復數(shù)為C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值為D．若，函數(shù)在上有2個零點，則11．如圖，點是邊長為2的正方體的表面上一個動點，則下列說法正確的是（

）A．當點在側面上時，四棱錐的體積為定值B．存在這樣的點，使得C．當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D．當時，點的軌跡長度為三、填空題12．平面向量，若，則.13．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是14．雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓O，過圓O上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為．四、解答題15．在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知．(1)求；(2)若，點在邊上，，求面積的最大值．16．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設，證明：.17．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．

（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．已知橢圓的長軸長為，離心率為，直線與軸交于點，與相交于、兩點．(1)求的標準方程；(2)若的斜率為1，且，求的值；(3)是否存在，使恒為定值？若存在，求出與的值；若不存在，請說明理由．19．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當，時，分別為的極大值點和極小值點，且，求實數(shù)k的取值范圍.

參考答案1．B【詳解】解絕對值不等式得，所以，又，因交集取集合的公共部分，故.故選：B2．A【詳解】由可得，所以，故充分性成立；由可得，取，則不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．D【詳解】由標準方程中，，且焦點在軸的負半軸上，所以拋物線的焦點坐標為，即.故選：D4．A【詳解】設圓柱和圓錐的底面半徑均為，側面積分別為，則圓錐的母線所以，，又因為，即，解得，所以圓錐的體積.故選：A.5．A【詳解】由圖可得為奇函數(shù)，而為偶函數(shù)，故D錯誤；由圖可得在處有定義，而的定義域為，故B錯誤；由圖可得，而，故C錯誤，故選：A．6．C【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以當時，取最小值，故選：C.7．D【詳解】顯然該函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，，，即，當且僅當時取等號，即當時取等號，所以有，當時取等號，而，當且僅當時取等號，顯然與不能同時成立，所以，所以該函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，且又是奇函數(shù)，所以，令，因為m，n是正實數(shù)，所以，所以，即，當且僅當時取等號，即當時取等號，所以當時，的最小值為，故選：D8．A【詳解】令，求導得，，，，在上單調(diào)遞增，，，；令，求導得，在上單調(diào)遞增，，；令，求導得，在上單調(diào)遞增，，且，，在上，，，，，則，在上單調(diào)遞增，，，．故選：A．9．AC【詳解】由，故z的虛部為，，，，A、C對，B、D錯.故選：AC10．ABD【詳解】設函數(shù)的周期為，由圖象可知，，，所以，解得，此時；如圖，，因為，所以，因此；對于A，因為函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因為，所以的最小值等于，故C錯誤；對于D，依題意，，由，，得；因為，函數(shù)在上有2個零點，，解得，故D正確.故選：ABD.11．ACD【詳解】對于選項A，點到側面的距離即為2，，故四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為定值，故A選項正確；對于選項B，因為，而，因此點是的中點，所以這樣的點不在正方體的表面上，故B選項錯誤；對于選項C，①當點在側面，側面上時（不包括正方形的邊界），過點作平面的垂線，垂足為，連，在中，由，可得；②當點在上底面上時，過點作平面的垂線，垂足為，若，必有，又由，有，此時點的軌跡是以為圓心，2為半徑的四分之一圓，點的軌跡長度為；③當點在側面上時，點在線段上符合題意，此時點的軌跡長為；由上知點的軌跡長度為，故C選項正確；對于選項D，①當在底面上時，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓與底面的交線，記圓與相交于點，與交于點，有，可得，則點的軌跡與底面的交線長為；②當點在側面上時，，可得點的軌跡與側面的交線為以點為圓心，為半徑的四分之一圓，交線長為．由對稱性可知，點的軌跡長度為，故D選項正確．故選：ACD.12．【詳解】由，得，解得.則，.故答案為：.13．【詳解】因為函數(shù)有三個零點，所以方程有三個實數(shù)根.令，則，當，或時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，，所以.又，所以函數(shù)的簡圖如下：因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．2或【詳解】記與漸近線的交點為，當一條漸近線斜率大于1時，根據(jù)題意，作圖如下：

，，故；則在△中，設，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點共線，點是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點；此時顯然有，故雙曲線離心率為；同理，當一條漸近線斜率大于0小于1時，必為，此時有一條漸近線的傾斜角為，離心率為.故答案為：2或.15．(1)(2)【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，由，則，可得，所以，由，即，則，即，根據(jù)，解得.（2）由（1）有，由，有，由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以面積的最大值為.16．(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，則，，…以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，.17．（1）證明見解析；（2）存在，.【詳解】證明：過作于點，則，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，，，∵為的中點．∴．則，，，設平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面．解：令，，設，∴．∴，∴.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，即，∵，∴，故．18．(1)(2)(3)存在，，．【詳解】（1）由題意知，，解得，，所以的標準方程為．（2）由的斜率為1，則直線的方程為．設，，聯(lián)立，消去得，，其中，解得，所以，，所以，因為，所以，解得．（3）①當直線的斜率不為0時，設其方程為，聯(lián)立，消去得，，其中，所以，，所以．當，即時，，即；②當直線的斜率為0時，不妨取，，若，則，此時，即．綜上，存在，使得恒為定值，即，．19．(1)(2)(3)【詳解】（1）當時，，所以，又，所以切線方程為即.（2）當時，,則，令，，令，則原方程，即，當時，方程有兩個根或，因為既存在極大值，又存在極小值，則方程存在兩個不相等的正根，所以且，解得且，綜上.（3）由（2）知，因為或，，所以的兩個根為：或，因為，所以，即，因為，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞減，當時