培優(yōu)拓展(十)拋物線中的阿基米德三角形類(lèi)型一阿基米德三角形的性質(zhì)類(lèi)型二阿基米德三角形中的定點(diǎn)問(wèn)題目錄索引阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容,也是高考常考內(nèi)容之一.常在各類(lèi)題型中出現(xiàn),難度為中高檔,重點(diǎn)考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).阿基米德三角形1.定義:如圖所示,AB為拋物線x2=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分別過(guò)A,B作拋物線的切線交于點(diǎn)P,稱(chēng)△PAB為阿基米德三角形,弦AB為阿基米德三角形的底邊.2.常用性質(zhì):(1)阿基米德三角形底邊上的中線MQ(M為AB中點(diǎn))平行(或重合)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.(2)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線.(3)拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于點(diǎn)Q的軌跡.

類(lèi)型一阿基米德三角形的性質(zhì)例1

(2021全國(guó)乙,理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

例2

(2025河南安陽(yáng)一模)設(shè)M,N是拋物線C:x2=8y上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M,N分別作C的切線,兩條切線相交于點(diǎn)P.(1)若|PM|=|PN|,且∠MPN=90°,求直線MN的方程;(2)設(shè)A,B分別為直線PM,PN與x軸的交點(diǎn),證明:△PAB的外接圓過(guò)定點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(多選題)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q,則下列說(shuō)法中正確的是(

)A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí),阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)AB.若M為弦AB的中點(diǎn),則MQ與x軸平行(或重合)C.若弦AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上D.若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn),M為弦AB的中點(diǎn),則該三角形的面積最小值為2pABC

類(lèi)型二阿基米德三角形中的定點(diǎn)問(wèn)題例3

已知直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB,D為垂足,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1).(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)E是直線y=x-4上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線EP,EQ,其中P,Q為切點(diǎn),試證明直線PQ恒過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

ACD

(2)我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A,B處的兩條切線所圍成的△PAB(P為兩切線的交點(diǎn))叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”,當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí),△PAB具有以下性質(zhì):①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;②PA⊥PB;③PF⊥AB.已知直線l:y=k(x-1)與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

(-1,2)或(-1,-2)

所以yP=-(xP-1)=-(-1-1)=2,所以P(-1,2).當(dāng)k=-1時(shí),因?yàn)镻F⊥AB,所以kPF=1,所以直線PF的方程為y=x-1.由題知,點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線x=-1上,所以xP=-