一、復(fù)習(xí)舊知：坐標(biāo)系中的基本概念與工具演講人CONTENTS復(fù)習(xí)舊知：坐標(biāo)系中的基本概念與工具探究新知：從特殊到一般，推導(dǎo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式例題精講：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用場(chǎng)景鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，提升應(yīng)用能力總結(jié)與升華：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的本質(zhì)與意義目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)坐標(biāo)系中線段中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算課件各位同學(xué)、老師們，大家好。今天我們要共同探索平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)重要的幾何問題——線段中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算。這部分內(nèi)容既是坐標(biāo)系知識(shí)的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖像、幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)。作為一線數(shù)學(xué)教師，我在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生對(duì)“中點(diǎn)”的理解停留在直觀的幾何位置，但如何用代數(shù)方法精確描述這一位置，需要從具體到抽象、從特殊到一般的思維跨越。接下來，我們將沿著“復(fù)習(xí)舊知—探究規(guī)律—?dú)w納公式—應(yīng)用拓展”的路徑，逐步揭開線段中點(diǎn)坐標(biāo)的奧秘。01復(fù)習(xí)舊知：坐標(biāo)系中的基本概念與工具復(fù)習(xí)舊知：坐標(biāo)系中的基本概念與工具要研究線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，首先需要回顧平面直角坐標(biāo)系的基本要素，以及我們已經(jīng)掌握的與“點(diǎn)”相關(guān)的知識(shí)。這部分內(nèi)容是今天學(xué)習(xí)的“地基”，只有地基穩(wěn)固，后續(xù)的“高樓”才能建得扎實(shí)。1平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成，通常水平的數(shù)軸稱為x軸（橫軸），向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸（縱軸），向上為正方向。兩軸交點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,0)。坐標(biāo)系將平面劃分為四個(gè)象限，各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)特征如下：1平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成象限：(+,+)第二象限：(-,+)第三象限：(-,-)第四象限：(+,-)需要特別注意的是，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限，x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0（如(3,0)），y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0（如(0,-2)）。2點(diǎn)的坐標(biāo)表示與距離初步在坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的位置可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示，其中x是點(diǎn)P在x軸上的投影坐標(biāo)（橫坐標(biāo)），y是點(diǎn)P在y軸上的投影坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）。例如，點(diǎn)A(2,3)表示從原點(diǎn)出發(fā)，向右移動(dòng)2個(gè)單位，再向上移動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)的位置。我們已經(jīng)學(xué)過，若已知兩點(diǎn)A(x?,y?)和B(x?,y?)，則兩點(diǎn)在水平方向（x軸）上的距離為|x?-x?|，豎直方向（y軸）上的距離為|y?-y?|。這一結(jié)論將在今天的探究中發(fā)揮關(guān)鍵作用。02探究新知：從特殊到一般，推導(dǎo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式探究新知：從特殊到一般，推導(dǎo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式“中點(diǎn)”在幾何中是指線段上到兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)。那么，如何用坐標(biāo)代數(shù)的方法描述這個(gè)“距離相等”的條件呢？我們不妨從最直觀的特殊情況入手，逐步推導(dǎo)一般規(guī)律。1特殊位置線段的中點(diǎn)坐標(biāo)探究情況1：水平線段的中點(diǎn)取水平線段AB，其中A(1,2)，B(5,2)（兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，線段平行于x軸）。觀察圖形可知，AB的中點(diǎn)M應(yīng)位于A、B的正中間。水平方向：A的橫坐標(biāo)為1，B的橫坐標(biāo)為5，中間位置的橫坐標(biāo)應(yīng)為(1+5)/2=3；豎直方向：A、B的縱坐標(biāo)均為2，中間位置的縱坐標(biāo)仍為2；因此，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2)。情況2：垂直線段的中點(diǎn)取垂直線段CD，其中C(3,1)，D(3,7)（兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，線段平行于y軸）。同理，中點(diǎn)N的位置應(yīng)滿足：1特殊位置線段的中點(diǎn)坐標(biāo)探究情況1：水平線段的中點(diǎn)豎直方向：C的縱坐標(biāo)為1，D的縱坐標(biāo)為7，中間位置的縱坐標(biāo)應(yīng)為(1+7)/2=4；水平方向：C、D的橫坐標(biāo)均為3，中間位置的橫坐標(biāo)仍為3；因此，中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,4)。情況3：斜線段的中點(diǎn)（非水平、非垂直）取斜線段EF，其中E(2,3)，F(xiàn)(6,7)（兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均不同）。此時(shí)，中點(diǎn)P的位置既不在水平方向也不在豎直方向的“正中間”，但我們可以通過分解到x軸和y軸的投影來分析：從E到F，x軸方向移動(dòng)了6-2=4個(gè)單位，因此中點(diǎn)在x軸方向的位置應(yīng)為E的橫坐標(biāo)加上移動(dòng)距離的一半，即2+(4)/2=4；1特殊位置線段的中點(diǎn)坐標(biāo)探究情況1：水平線段的中點(diǎn)同理，y軸方向移動(dòng)了7-3=4個(gè)單位，中點(diǎn)在y軸方向的位置應(yīng)為3+(4)/2=5；因此，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5)。觀察上述三種情況的計(jì)算結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同規(guī)律：中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù)，縱坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)的平均數(shù)。例如：水平線段AB：((1+5)/2,(2+2)/2)=(3,2)；垂直線段CD：((3+3)/2,(1+7)/2)=(3,4)；斜線段EF：((2+6)/2,(3+7)/2)=(4,5)。2一般情況的公式推導(dǎo)假設(shè)平面直角坐標(biāo)系中有任意兩點(diǎn)A(x?,y?)和B(x?,y?)，線段AB的中點(diǎn)為M(x,y)。我們需要用代數(shù)方法證明：x=(x?+x?)/2，y=(y?+y?)/2。證明思路：中點(diǎn)M到A和B的水平距離相等，即|x-x?|=|x?-x|；同理，豎直距離相等，即|y-y?|=|y?-y|。由于中點(diǎn)位于A、B之間（不考慮線段延長(zhǎng)線的情況），絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，得到：x-x?=x?-x?2x=x?+x??x=(x?+x?)/2；y-y?=y?-y?2y=y?+y??y=(y?+y2一般情況的公式推導(dǎo)?)/2。這一推導(dǎo)過程不僅驗(yàn)證了我們從特殊情況中歸納的規(guī)律，還揭示了中點(diǎn)坐標(biāo)公式的本質(zhì)：中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是兩個(gè)端點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)。這一結(jié)論適用于平面直角坐標(biāo)系中任意位置的線段，無論線段是水平、垂直還是傾斜的。03例題精講：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用場(chǎng)景例題精講：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用場(chǎng)景掌握公式后，我們需要通過具體例題來熟悉其應(yīng)用。這部分例題將覆蓋“已知兩端點(diǎn)求中點(diǎn)”“已知中點(diǎn)和一個(gè)端點(diǎn)求另一個(gè)端點(diǎn)”“結(jié)合幾何圖形的綜合應(yīng)用”三種常見場(chǎng)景，幫助大家深化理解。1場(chǎng)景一：已知兩端點(diǎn)，直接求中點(diǎn)坐標(biāo)例1：已知點(diǎn)A(-2,5)和點(diǎn)B(4,-3)，求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)。分析：直接應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分別計(jì)算橫、縱坐標(biāo)的平均數(shù)即可。解答：x=(x?+x?)/2=(-2+4)/2=2/2=1；y=(y?+y?)/2=(5+(-3))/2=2/2=1；因此，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)。關(guān)鍵點(diǎn)：注意坐標(biāo)的符號(hào)，尤其是負(fù)數(shù)的運(yùn)算。例如，-2+4=2，5+(-3)=2，計(jì)算時(shí)需仔細(xì)。1場(chǎng)景一：已知兩端點(diǎn)，直接求中點(diǎn)坐標(biāo)3.2場(chǎng)景二：已知中點(diǎn)和一個(gè)端點(diǎn)，求另一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)例2：已知線段CD的中點(diǎn)為N(3,2)，端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-1)，求端點(diǎn)D的坐標(biāo)。分析：設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是C和D橫坐標(biāo)的平均數(shù)，縱坐標(biāo)同理，建立方程求解。解答：由中點(diǎn)公式得：1場(chǎng)景一：已知兩端點(diǎn)，直接求中點(diǎn)坐標(biāo)(1+x)/2=3?1+x=6?x=5；(-1+y)/2=2?-1+y=4?y=5；因此，端點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,5)。關(guān)鍵點(diǎn)：此類問題需將未知端點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為變量，利用中點(diǎn)公式建立方程求解，體現(xiàn)了“代數(shù)方程”的數(shù)學(xué)思想。3場(chǎng)景三：結(jié)合幾何圖形的綜合應(yīng)用例3：在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0,0)、B(4,0)、C(5,3)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)重合。因此，AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)，利用這一性質(zhì)可求D點(diǎn)坐標(biāo)。解答：首先求AC的中點(diǎn)M：x=(0+5)/2=2.5，y=(0+3)/2=1.5，即M(2.5,1.5)；設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則BD的中點(diǎn)也應(yīng)為M，即：3場(chǎng)景三：結(jié)合幾何圖形的綜合應(yīng)用(4+x)/2=2.5?4+x=5?x=1；(0+y)/2=1.5?0+y=3?y=3；因此，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3)。關(guān)鍵點(diǎn)：本題結(jié)合了平行四邊形的幾何性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想。這是中考中常見的綜合題型，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)與代數(shù)計(jì)算。04鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，提升應(yīng)用能力鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，提升應(yīng)用能力為了確保大家真正掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們?cè)O(shè)計(jì)了分層練習(xí)，從基礎(chǔ)到拓展，逐步提升難度。請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成后，我們?cè)俟餐藢?duì)答案。1基礎(chǔ)題（直接應(yīng)用公式）已知點(diǎn)P(2,7)和Q(-4,1)，求PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)。線段MN的中點(diǎn)為K(1,-3)，端點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,-5)，求端點(diǎn)N的坐標(biāo)。2提高題（結(jié)合幾何圖形）矩形ABCD中，A(1,2)、B(5,2)、C(5,5)，求D點(diǎn)坐標(biāo)。三角形ABC的頂點(diǎn)A(2,4)、B(-1,1)、C(3,-2)，求BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷AD是否為中線（提示：中線是頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的線段）。3拓展題（跨學(xué)科應(yīng)用）地圖上，兩個(gè)城市的位置用坐標(biāo)系表示為A(30,50)和B(70,90)（單位：千米），計(jì)劃在兩城市之間建一個(gè)物流中心，要求到兩城市的距離相等，求物流中心的坐標(biāo)。（答案：1.(-1,4)；2.(-3,-1)；3.(1,5)；4.D(1,-0.5)，AD是中線；5.(50,70)）05總結(jié)與升華：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的本質(zhì)與意義總結(jié)與升華：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的本質(zhì)與意義回顧今天的學(xué)習(xí)，我們從特殊線段的中點(diǎn)坐標(biāo)出發(fā)，通過歸納、推導(dǎo)得到了一般情況下的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若A(x?,y?)、B(x?,y?)，則中點(diǎn)M的坐標(biāo)為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)。這一公式的本質(zhì)是將幾何中點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的算術(shù)平均，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的核心思想。從知識(shí)體系來看，中點(diǎn)坐標(biāo)公式是連接幾何位置與代數(shù)計(jì)算的橋梁，后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的對(duì)稱性（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)）、幾何圖形的重心（如三角形重心坐標(biāo)）等內(nèi)容時(shí)，都將用到這一公式。從實(shí)際應(yīng)用來看，它可以解決地圖定位、工程測(cè)量、資源分配等問題，例如確定兩個(gè)地點(diǎn)的中間點(diǎn)，或計(jì)算多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的“中心位置”?？偨Y(jié)與升華：中點(diǎn)坐標(biāo)公式的本質(zhì)與意義作為教師，我希望同學(xué)們不僅記住公式的形式，更要理解其背后的邏輯——為什么是坐標(biāo)的平均？這是因?yàn)橹悬c(diǎn)在x軸和y軸上的投影分別是兩個(gè)端點(diǎn)投影的中點(diǎn)，而“中點(diǎn)”在數(shù)軸上的坐標(biāo)恰好是兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。這種