河北省唐縣第一中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，是函數(shù)的部分圖象，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A. B.C. D.2．如圖，在正方體中，異面直線(xiàn)與所成的角為（）A. B.C. D.3．一條光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或4．已知雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線(xiàn)PA對(duì)稱(chēng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.3 B.2C. D.5．已知F是拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.6．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.7．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，當(dāng)最小時(shí)，的值為（）A.3 B.4C.5 D.68．內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.9．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（）A.1 B.2C. D.410．若等比數(shù)列中，，，那么（）A.20 B.18C.16 D.1411．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（）A. B.C. D.12．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)，與圓在第一象限的交點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.14．已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，P是該雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_________15．萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.16．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和的最大值.19．（12分）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)（1）求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？20．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過(guò)MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線(xiàn)PB與平面PAC所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先根據(jù)條件確定為函數(shù)的極大值點(diǎn)，得到的值，再根據(jù)圖像的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)幾何意義得到和的正負(fù)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得，為函數(shù)部分函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線(xiàn)斜率為銳角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線(xiàn)斜率為鈍角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以.即.故選：C.2、C【解析】作出輔助線(xiàn)，找到異面直線(xiàn)所成的角，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】連接與，因?yàn)椋瑒t為所求，又是正三角形，.故選：C.3、D【解析】由光的反射原理知，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€(xiàn)與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)的方程；3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.4、C【解析】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C5、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的方程求出準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用拋物線(xiàn)的定義拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)，，，解得，線(xiàn)段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線(xiàn)的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A7、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)計(jì)算得到，，進(jìn)而求出與，代入后得到，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，取得最小值.【詳解】顯然，由題意得：，，兩式相除得：，將代入，解得：，所以，所以，，所以，其中單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B8、C【解析】利用正弦定理可求得邊的長(zhǎng).【詳解】由正弦定理得.故選：C.9、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，，過(guò)P作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于，連接，由拋物線(xiàn)定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線(xiàn)斜率最大，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.設(shè)所在的直線(xiàn)方程為：，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.10、B【解析】利用等比數(shù)列的基本量進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以故選：B11、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.12、C【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到是直角三角形，然后由雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理可求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，又因?yàn)樵谥校?，所以是直角三角形，?由雙曲線(xiàn)定義知，又因?yàn)椋?在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因?yàn)榈淖畲笾禐?，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14、【解析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，再由雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線(xiàn)參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線(xiàn)C的離心率為故答案為：.15、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查16、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本小題先設(shè)過(guò)的直線(xiàn)的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為，，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡(jiǎn)整理得，其中，所以，，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，設(shè)平面四邊形的面積為，則，設(shè)，則（），所以，因?yàn)?，所以，，所以四邊形面積的最大值為6.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，相交弦等問(wèn)題，是偏難題.18、（1）；（2）30.【解析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求得公差，進(jìn)一步求出首項(xiàng)，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列求和公式求和,再利用二次函數(shù)求得最值即可.【詳解】解：（1）由題意得，數(shù)列公差為，則解得：,∴（2）由（1）可得，∴∵，∴當(dāng)或時(shí)，取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查利用基本量求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和及最值，屬基礎(chǔ)題19、（1），定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是.【解析】（1）設(shè)出包裝盒的高和底面邊長(zhǎng)，利用長(zhǎng)方體的表面積得到等量關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體的體積公式求出表達(dá)式，再利用實(shí)際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的極值，即最值.小問(wèn)1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，則，，所以=其定義域?yàn)椋弧拘?wèn)2詳解】解：由（1）得：，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量d，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用累加法、錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問(wèn)2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿(mǎn)足上式，故.21、（1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）見(jiàn)解析.【解析】(1)求f(x)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)性；(2)由于，則，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，證明其最小值大于0即可.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由于，∴，∴只需證明，令，則，∴在上為增函數(shù)，而，∴在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增，∴的最小值為，由，得，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，∴，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題過(guò)程中設(shè)計(jì)到隱零點(diǎn)的問(wèn)題，需要掌握隱零點(diǎn)處理問(wèn)題的常見(jiàn)思路和方法.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點(diǎn)O，則平面ABC，可得，