人工智能數(shù)學基礎概率論和數(shù)理統(tǒng)計

2024排列數(shù)從m個不同元素中取出n(n

≤

m)個元素(被取出的元素各不相同)，并按照一定的順序排成一列(一般順序是抽取出來的順序)，叫做從m個不同元素中取出n個元素的一個排列。記作:A(m,n)m!nmm

n

!A

m,n

A

概率論的基本概念在一個盒子中有十個完全相同的球，其中每個球上編有一個編號，球的編號從0到9，求隨機抽取3個球，可能出現(xiàn)的數(shù)字序列共有多少種?（備注：考慮數(shù)字的順序，認為1、2、3和3、2、1是不一樣的）。案例0341258967???總共10個球，抽取3個球的排列數(shù)：第一步：從10個球中，獲取一個球，有10種選擇方式第二步：從剩下的9個球中，獲取一個球，有9種選擇方式第三步：從剩下的8個球中，獲取一個球，有8種選擇方式合并這3步，就共有10

*

9

*

8種選擇方式，即解：

720

10

3

！10！310

A

720

10

3

！10！

10*9

*8

10A3組合數(shù)從m個不同元素中取出n(n

≤

m)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數(shù)。記作:C(m,n)m!nmm

n

!

n!C

m,

n

C

在一個盒子中有十個完全相同的球，其中每個球上編有一個編號，球的編號從0到9，求隨機抽取3個球，可能出現(xiàn)的數(shù)字組合共有多少?（備注：不考慮數(shù)字的順序，認為1、2、3和3、2、1是一樣的）。案例0341258967???總共10個球，抽取3個球的組合數(shù)：抽取3個球的排列數(shù)為A(10,3)對于任意排列(a1,a2,a3)都有3*2*1種相同元素的排列存在其實組合就是在排列的基礎上去掉相同元素后剩下的數(shù)量即：解：

120

10

3

！3！10！10C3

120

10

3

！3！10！3!3

10A3A3310

(3

3)!

10

3

！10！

C古典概率概率是以假設為基礎的，即假定隨機現(xiàn)象所發(fā)生的事件是有限的、互不相容的，而且每個基本事件發(fā)生的可能性相等。一般來講，如果在全部可能出現(xiàn)的基本事件范圍內構成事件A的基本事件有a個，不構成事件A的有b個，那么事件A出現(xiàn)的概率為：概率體現(xiàn)的是隨機事件A發(fā)生可能的大小度量(數(shù)值)P

A

a

ba在一個盒子中有十個完全相同的球，其中五個黑球，五個白球，求事件A={從盒子中獲取一個球，顏色是黑色}的概率。案例?10 2基本的事件總數(shù)：10抽取一個球是黑球的事件數(shù)：5解

P

A

5

1例 袋中有

a只白球，b

只黑球．從中將球取出依次排成一列，問第

k次取出的球是黑球的

概率．解： 設

A=“第

k次取出的球是黑球”從a

b

個球中將球取出依次排成一列共有(a

b)!種排法（樣本點總數(shù)）．第k

次取出黑球，有取法b(a

b

1)!種，因此事件A所含樣本點數(shù)為b(a

b

1)!．P

A

b

(a

b

1)!

b．所以，a

b(a

b)!假設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住(n≤N)，求事件A={恰好有n個房間，其中各住一個人}的概率案例???每個人有N個房間可供選擇，所以n個人住的方式共有Nn種。恰好n個房間表示這n個房間其實是從N個房間中任意抽取出來的，也就是從N個房間中抽取n個方法的組合總共有C(N,n)種。對于n個房間來講，n個人平均分配，那么總共有A(n,n)種入住方式。解P

A

N!nN

N

n

!P

A

n!N!n

NC

AnN N N

n

!

N

n

!n!

N! n nN nn北風某個班級有n個學生(n≤365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大?生日問題n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97P

A

1

N!nN

N

n

!N

365聯(lián)合概率BA1A2A3A4A5A6表示兩個事件共同發(fā)生的概率，事件A和事件B的共同概率記作：P(AB)、P(A,B)或者P(A∩B)，讀作“事件A和事件B同時發(fā)生的概率”P(A1,B)條件概率事件A在另外一個事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下的發(fā)生概率叫做條件概率，表示為P(A|B)，讀作“在B條件下A發(fā)生的概率”一般情況下P(A|B)≠P(A)，而且條件概率具有三個特性：非負性可列性可加性P

B

P

A|B

P

AB

例

1

兩臺車床加工同一種零件共100個，結果如下合格品數(shù)第一臺車床加工數(shù) 30次品數(shù)5總計35第二臺車床加工數(shù) 501565總 計 8020100設A={

從100個零件中任取一個是合格品}B={從100個零件中任取一個是第一臺車床加工的

}35100解：P

A

80,P(B), P(

A

|

B).求：P

A

, P

AB

,P

B

35

, P

AB

30,100 100100P

AB

30

P

A

80

,例2 已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女孩，求該家庭至少有一個男孩的概率．解：設

A={

3個小孩至少有一個女孩

}B={

3個小孩至少有一個男孩

}而8P

AB

6P

BA

所求概率為6868所以

P

B

A

7

78 8P

A

1

P

A

1

1

7P

AB

P

A

條件概率將條件概率公式由兩個事件推廣到任意有窮多個事件時，可以得到如下公式，假設A1，A2，....，An為n個任意事件(n≥2)，而且P(A1A2...An)>0，則：P

A1

A2

...An

P

A1

P

A2

|

A1

...P

An

|

A1

A2

...An

1

例3

袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止．求取了n

次都未取出黑球的概率．解：設

B

取了n次都未取出黑球

Ai

第

i

次取出白球

i

1，

2，

，

n

則B

A1A2

An由乘法公式，我們有

P

B

P

A A

A

1 2 n

P

A1

P

A2

A1

P

A3

A1

A2

P

An

A1

A2

An

1

1

2

3

n 2 3 4 n

1n

11

例

4

設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2

，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為

7/10

,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為

9/10

。求透鏡落下三次而未打破的概率。解：以

Ai

(

i=1,2,3

)

表示事件“透鏡第

i次落下打破”，以

B

表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：P(B)

P(

A

1 A

2 A

3)

P(

A

1)P(

A

2

|

A

1)P(

A

3

|

A

1

A

2)3

(1

1)(1

7

)(1

9

)

.2 10 10 200全概率公式樣本空間?有一組事件A1、A2...An,

如果事件組滿足下列兩個條件，那么事件組稱為樣本空間的一個劃分。設事件{Aj}是樣本空間?的一個劃分，且P(Ai)>0，那么對于任意事件B，全概率公式為:nP

B

P

Ai

P

B

|

Ai

i

1A1BA2A3A4A5A6

i

j

1,2...,n

,AiAj

A1

A2...

An

例5

某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率．解：

設

B

該小組在比賽中射中目標

iA

選i級射手參加比賽

i

1，

2，

3

4

由全概率公式，有P

B

4i

1i i

P

A

P

B

A

20

0.45

3

0.32

2

0.85

6

0.64

920 20 20

0.5275貝葉斯公式設A1、A2...An是樣本空間?的一個劃分，如果對任意事件B而言，有P(B)>0，那么：A1BA2A3A4A5A6P

Ai

P

B

|

Ai

n

j

1P

Aj

P

B

|

Aj

iP

B

iP

A|B

P(B,A

)P

B

P

A|B

P

B|A

P

A

一座房子在過去20年里一共發(fā)生過2次被盜案，房子的主人養(yǎng)了一條狗，狗平均每周晚上叫3次，在盜賊入侵時狗叫的概率估計為0.9，請求：在狗叫的時候發(fā)生入侵的概率是多少?P

A

37 20*365P

B

730022

P

A

|

B

0.9

0.000583650021370.9*

2 P

A

P

B|A

PBPA|

B

7300

B

盜賊入侵

解：設

A

狗叫

貝葉斯公式案例貝葉斯公式P

B

P(A)：在沒有數(shù)據(jù)支持下，A發(fā)生的概率：先驗概率或邊緣概率。P(A|B)：在已知B發(fā)生后A的條件概率，也就是由于得自B的取值而被稱為A的后驗概率。P(B|A)：在已知A發(fā)生的情況下的概率分布：似然函數(shù)。P

A|B

P

B|A

P

A

例

6用某種方法普查肝癌，設：A={

用此方法判斷被檢查者患有肝癌

}，D={

被檢查者確實患有肝癌

}，已知P

AD

0.90P

A

D

0.95,而且已知：P

D

0.0004現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．退

出前一頁 后一頁目

錄解：

由已知，得0.0004

0.95

0.9996

0.100.0004

0.95

0.0038P

AD

0.95,P

AD

0.90P

A

P

D

P

AD

P

D

P

AD

P(D)

0.0004所以，由Bayes公式，得P

DA

P

DA

P

D

P

A

D

概率公式BA1A2A3A4A5A6

P

B

P

A|B

P

ABnP

B

P

Ai

P

B

|

Ai

i

1P

B

|

Ai

P

Ai

P

Aj PB|

Ajn

j

1iP

A|B

事件的獨立性給定A、B兩個事件，如果概率存在P(A,B)=P(A)P(B)（A、B事件的聯(lián)合分布概率等于事件各自分布概率的積），則事件A和B相互獨立。如果事件A、B相互獨立，互不影響，那么存在P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)例1

袋中裝有

4

個外形相同的球，其中三個球分別涂有紅、白、黑色，另一個球涂有紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)從袋中任意取出一球，令：A={

取出的球涂有紅色

}B={

取出的球涂有白色

}C={

取出的球涂有黑色

}則：2P

A

P

B

P

C

P

AB

P

BC

P

AC

1144P

ABC

1由此可見P

AB

P

A

P

B

,P

BC

P

B

P

C

,P

AC

P

A

P

C

.P

ABC

1

1

P

A

P

B

P

C

4 8但是這表明，A、B、C這三個事件是兩兩獨立的，但不是相互獨立的．

3，4，

5

2，

3，

4

2，

3，

5

2，

4，

5

1，

3，

4

1，

3，

5

1，4，

5

S

隨機變量及其分布隨機變量例

1

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為

1，

2，

3

1，

2，

4

1，2，

5

考察取出的3只球中的黑球的個數(shù)。我們記取出的黑球數(shù)為X，則

X

的可能取值為1，2，3．因此，

X

是一個變量．但是，

X

取什么值依賴于試驗結果，即

X

的取值帶有隨機性，所以，我們稱

X為隨機變量．X

的取值情況可由下表給出：樣本點黑球數(shù)

X樣本點黑球數(shù)

X

1，2，

3

3

1，4，

5

1

1，2，

4

2

2，3，

4

2

1，2，

5

2

2，3，

5

2

1，3，

4

2

2，4，

5

1

1，3，

5

2

3，4，

5

1由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量

X

的一個確定的取值，因此變量

X

是樣本空間S上的函數(shù)：X

X

e

e

S

我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

e：X

e

2

X

2

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．表示取出2個黑球這一事件；

X

2

通常隨機變量用大寫的英文字母X、Y、Z、

或希臘字母

、

、

、

等來表示例2

擲一顆骰子，令 X：出現(xiàn)的點數(shù)．則

X

就是一個隨機變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．

X

4

表示擲出的點數(shù)不超過

4

這一隨機事件；

X

取偶數(shù)

表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件．例3上午

8:00～9:00

在某路口觀察，令：Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù)．則

Y

就是一個隨機變量．它的取值為

0，1，…．

Y

100

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；

50

Y

100

表示通過的汽車數(shù)大于

50

輛但不超過

100

輛這一隨機事件．注意

Y

的取值是可列無窮個！例

4 觀察某電子元件的壽命（單位：小時），令Z：該電子元件的壽命．則Z

就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數(shù)．

Z

500

表示該電子元件的壽命不超過500小時這一隨機事件．

Z

1000

表示該電子元件的壽命大于

1000小時這一隨機事件．注意

Z

的取值是不可列無窮個！例

5

擲一枚硬幣，令：

0X

1擲硬幣出現(xiàn)正面;擲硬幣出現(xiàn)反面.則X是一個隨機變量．說

明：在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量．例

6

擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：等等．

0Y

1出現(xiàn)偶數(shù)點;出現(xiàn)奇數(shù)點.點數(shù)為6;

0Z

1點數(shù)不為6.一、離散型隨機變量的分布律與性質1)離散型隨機變量的定義如果隨機變量

X

的取值是有限個或可列無窮個，則稱

X

為離散型隨機變量．離散型隨機變量及其分布律2)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量

X

的所有可能取值為x1

，

x2

，

，

xn

，

則稱上式或X

，并設P

X

xn

pn

n

1, 2

,

xn

Px1 x2p1 p2

，pn

為離散型隨機變量

X

的分布律．3)離散型隨機變量分布律的性質:⑴

對任意的自然數(shù)n，有

pn

0;

1.

pnn⑵例

1

從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．8910具體寫出，即可得

X

的分布律：X 5 6 7P15153570126252252252252252252k

5，

6，

，

10.10C

5k

1C

4P

X

k

=——解：

X

的可能取值為

5，6，7，8，求9分，布10律．一定并要且說明

k

的取值范圍！kP-3 -1 1 313318888例

2 將

1

枚硬幣擲

3

次，令X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求：（1）X

的分布律；

(2)

P

0.5

X

3

.解：X

的可能取值為

-3，

-

1，1，3．并且分布率為X8P

0.5

X

3

P

X

1

3

.例

3設隨機變量

X

的分布律為

n

1，

2，

試求常數(shù)c

P

X

n

c

4

1

n解：由分布率的性質，得

1

P

X

n

n

1該級數(shù)為等比級數(shù)，故有4nc

1

n

11

n

1

1

4

1

nc31

144c

c

所以 c

3例

4

設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以概率p禁止汽車通過.

以

X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求

X的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p解：

以

p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則X

的分布律為：Xpk0 1 2 3 4p或寫成

P{X=

k}

=(1-

p)kp，k

=

0,1,2,3P{X=4}=

(1-p)4以

p=

1/2代入得：Xpk(1-p)p

(1-p)2p(1-p)3p (1-p)4012340.50.250.1250.06250.0625二、一些常用的離散型隨機變量1)

Bernoulli分布如果隨機變量

X

的分布律為P

X

k

pk(1

p)1

k,k

0,1X 0 1P 1-p

p或則稱隨機變量

X

服從參數(shù)為

p

的

Bernoulli分布．

其中0

p

1

為參數(shù)

記作X~B

1，

p

Bernoulli分布也稱作

0-1

分布或二點分布．Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，

A是隨機事件。設：P

A

p

，P

A

1

p

q設X

表示這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者設X

0

1 若事件A發(fā)生若事件A不發(fā)生

則 X~B

1,

p

2）二項分

布如果隨機變量

X

的分布律為k kn

k

0，

1，

，

n

P

X

k

C p

1

p

n

k則稱隨機變量X

服從參數(shù)為

n，

p

的二項分布記作X

~

B

n，

p

其中n為自然數(shù)，0

p

1

為參數(shù)

說 明顯然，當

n=1

時此時，X

服從Bernoulli

分布這說明，Bernoulli

分布是二項分布的一個特例X~B

1，

p

二項分布的概率背景進行n重

Bernoulli

試驗，A是隨機事件。設在每次試驗中P

A

p

，P

A

1

p

q令

X

表示這

n

次

Bernoulli

試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．X~B

n，

p

則kn失敗，這種指定的方法共有C

種．現(xiàn)

A

說明：設

Ai

{第

i

次試驗

A

出現(xiàn)},則{X

k}

A1

AkAk

1

An

A1A2

Ak

1Ak

2

An

A1A2

An

kAn

k

1

An在n次試驗中，指定k

次出現(xiàn)A

成功

，其余n

k

次出

q

1

p

nP{X

k}

Ck

pk

qn

k

k

0，

1，

2，

，

n

所以A

取出一件產品為次品

,例5

一大批產品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件．試求下列事件的概率：B={

取出的15件產品中恰有2件次品

}C={

取出的15件產品中至少有2件次品

}解：由于從一大批產品中取15件產品，故可近似看作是一15重Bernoulli試驗．則P

A

0.1.所以，215C

0.12

0.913P

B

P

C

1

P

C

0.1

0.914

1

C0

0.10

0.915

C115 15例

6

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．設X表示該學生靠猜測能答對的題數(shù),A

答對一道題

4

1

則

X~B

5，4則 P

A

1所以P

至少能答對4道題

P

X

4

P

X

4

P

X

5

5

4

1

4

C

4

34

4

1

5

164二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布率P

X

k

先是隨著

k

的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得P

X

k

達到其最大值的k0 稱為該二項分布的最可能次數(shù)若

X

~

B

n，

p

，

則

P

X

k

1

n

1

p

kP

X

k

1

q

1

p

kq如果

n

1

p不是整數(shù)，則k0

n

1

p

如果

n

1

p是整數(shù)，則k0

n

1

p或

n

1

p

1

；

P

X

k

1

n

1

p

kP

X

k

1

可以證明：

q

1

p

kq例

7

對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli試驗．令：X

表示300射擊中命中目標的次數(shù)．則由題意X~B

300，

0.44

由于

300

1

0.44

132.44，它不是整數(shù)因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為k0

132.44

132168132132300P

X

132

C

0.56

0.44

0.046363）Poisson

分布如果隨機變量X

的分布律為

k

0，

1，

2，

k

P

X

k

ek!

其中

0為常數(shù)

則稱隨機變量

X

服從參數(shù)為λ的Poisson

分布．Poisson

分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內產生的細菌數(shù)，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．如果隨機變量X

的分布律為P

X

k

ck!

k

1,2,

.k

其中

0為常數(shù)

試確定未知常數(shù)c

.例11

1,k!

k

1k!c

c

k

1

k

k解：由分布率的性質有

k

1k!而

e

1.

11所以

c

e

1k!

k

0

k

k例

12 設隨機變量

X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知P

X

1

P

X

2

試求

P

X

4

．解：隨機變量

X

的分布律為

k

0，

1，

2，

k

P

X

k

ek!由已知P

X

1

P

X

2

得e

2

1

e

1!

2!由此得方程

2

2

0得解

2

另一個解

0不合題意，舍去

所以，4!2

4P

X

4

e

23

2

2e

0.09022Poisson

定理設在Bernoulli

試驗中，以pn

代表事件A在試驗中發(fā)生的概率，它與試驗總數(shù)n有關．如果limnpn

0

k

n

kek！k kn

n

1

pn則 limCn

pn證明：令：npn

nk kn n nn

k則 C p

1

p

n

kn

n

k！

n

1

n

n

n

1

n

2

n

k

1

k

n

k

k

n

1

nn

n

k!

n

2

1

1

1

1

n

k

1

對于固定的

k，有n

n

kn

lim

1

n

e

所以，kkn n nn

kn

p

1

p

limC

n

kknn

n

nn

n

2

1

n

1

1

lim

1

lim

1

n

k

1

lim

k!

n

1

kek！Poisson定理的應用由

Poisson

定理，可知若隨機變量X

~

B

n，

p

則當n比較大，p比較小時

np令：k knn

k1

p

則有P

X

k

C p

kek!例13

設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設X為600次射擊命中目標的次數(shù),則

X~B

600，0.012

取

600

0.012

7.2．P

X

3

1

P

X

3

1

P

X

0

P

X

1

P

X

2

27.22

7.2

7.2

7.2

1

e

7.2e

e

0.9745例

14

保險公司售出某種壽險（一年）保單2500份.每單交保費100元，當被保人一年內死亡時，家屬可從保險公司獲得2萬元的賠償.若此類被保人一年內死亡的概率為0.001，求保險公司虧本的概率；保險公司獲利不少于10萬元的概率.解：設此類被保人一年內死亡的人數(shù)為

X

，則X~b

(2500，0.001）.（1）P(保險公司虧本)

P(25

2

X

0)（2）P(保險公司獲利不少于10萬元)

P(25

2

X

10)

1

P(

X

12)

1

k

k

2500

k12k

0

.(0.001)

.(0.999)250012

1

k

0k!2.5k

2.5e

0.000002.

P(X

7)k!7 k

2.5

e

2.5

0.995753.k

04）幾何分

布若隨機變量

X

的分布律為P

X

k

qk

1

p

k

1，

2，

其中

p

0，q

0，p

q

1

則稱隨機變量X

服從參數(shù)為p的幾何分布幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，P

A

p,P

A

q

1

p試驗進行到A

首次出現(xiàn)為止．令：X表示所需試驗次數(shù)則X

服從參數(shù)為p的幾何分布即P

X

k

qk

1

p

k

1，

2，

5）超幾何分

布如果隨機變量

X

的分布律為P

X

k

k

0，

1，

，

min

M，

n

C CCnNk n

k

M N

M

其中N，

M，

n均為自然數(shù)則稱隨機變量X

服從參數(shù)為

N，

M，

n

的超幾何分布超幾何分布的概率背景一批產品有

N件，其中有

M

件次品，其余

N-M件為正品．現(xiàn)從中取出

n

件．令

X：取出

n

件產品中的次品數(shù)． 則

X

的分布律為P

X

k

k

0，

1，

，

min

M，

n

C CCnNk n

k

M N

M

此時，隨機變量X

服從參數(shù)為

N，

M，

n

的超幾何分布則稱

X

為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)

f

(x)

稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.

F

(

x)

xf(t

)dt,連續(xù)型隨機變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機變量的概念與性質1)

定義 如果對于隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在非負函數(shù)

f

(x)，使得對于任意實數(shù)

x，有

f

(

x)dx

,

其中—

被積函數(shù);—

被積表達式.則上的不定積分,

記作積分號;積分變量;若C(

C

為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,

ex

dx

e

x

Cx

2

dx

31

x

3

C

sin

xdx

cos

x

C六、不定積分(以下為補充內容)定義

1.在區(qū)間

I

上的原函數(shù)全體稱為不定積分的性質性質

1設函數(shù)f

(

x)及g(

x)的原函數(shù)存在，則

[

f

(

x)

g(

x)]dx

f

(

x)dx

g(

x)d

x設函數(shù)f

(

x)原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則性質

2(k

0)推論:

若

k

f

(

x)

dx

k

f

(

x)dx則ni

1

f

(

x)dx

ki

fi

(

x)dx

d

f(x)dx

f(x)

或d

x

F

(

x)

dx

F

(

x)

C

或(1)基本積分表d

f

(

x)dx

f

(

x)dx(2)

dF

(

x)

F

(

x)

C利用逆向思維(1)

kdx

kx

C(

k

為常數(shù))x dx

(2)

Cx

11

1x(3)

dx

lnxC(

1)x(lnx)

1從不定積分定義可知:

arctan

x

C

或

1

x

2dx(4)

d

x (8)xdx

tan

x

Csec2arccot

x

C(5)

dx

arcsin

x

C

或arccos

x

C(7)1

x

2(6)

cos

xdx

sin

x

C

sin

xdx

cos

x

C

cos

2 x

sin2 x

d

x(9)xdx

cot

x

Ccsc2

sec

x

tan

xdx

sec

x

C

csc

x

cot

xdx

csc

x

C(10)(11)

e

x

dx

e

x(12)C

xa dx

(13)Cln

aaxx

1

Cx(15)x

C

1

dx

2x

1dx

(14)2例1.

求解:

原式

=x dx

(2)

Cx

11

1(

1)x dx3

4

3

1

4

13

3

x

C

143

xC例2.

求解:

原式

=

[(2e)x

5

2x

]

dx

(2e)xdx

5

2

x dx

xa dx

(13)Cln

aax

(2e)

xln(2e)

5ln

22

xC

ln

2

1

ln

2

C

e

xx

5

2

banf

(

x)dx

lim

f

(

i

)

xii

1

0積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和[a

,

b]

稱為積分區(qū)間注意：積分變量的變化區(qū)間是積分區(qū)間.引例1.

曲邊梯形面積引例2.

變速直線運動的路程baf

(

x)dx

F

(b)

F

(a).(

牛頓

-

萊布尼茨公式)牛頓

–

萊布尼茨公式定理則

函數(shù)

,例1

求解x當x

0時，

1

的一個原函數(shù)是ln

|

x

|,dx12

例2

求

12

ln|

x

ln1

ln

2

ln

2.(2cos

x

sin

x

1)dx.20

1x

2

2

0

3

.解 原式

2sin

x

cos

x

x

1dx.x12

1020

f

(

x)

0.

f(

x)dx

1.由定義知道，概率密度

f(x)

具有以下性質：f(x)x10P{

x1

X

x2

}

F

(

x2

)

F

(

x1

)30f

(x)x0x1x2f

(

x)dx.

(

x1

x2

)x21x

前兩個條件是概率密度的充分必要條件若f

(

x)在點x處連續(xù)，則有F

(

x)

f

(

x).40

xf

(

x)

lim

F

(

x

x)

F

(

x)

x

0

即

x

limP{x

X

x

x)

x

0

若不計高階無窮小，有P{x

X

x

x}

f(

x)

x.

xf

(t)dt,F

(x)

注 意連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質與離散型隨機變量分布律的性質非常相似，但是，密度函數(shù)不是概率！我們不能認為P

X

a

f

a

！連續(xù)型隨機變量的一個重要特點：設X

是連續(xù)型隨機變量，則對任意的實數(shù)a，P

X

a

0有說 明⑴

由上述性質可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．若已知連續(xù)型隨機變量X

的密度函數(shù)為f

x

則X

在任意區(qū)間G（G可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間，或半開半閉區(qū)間；可以是有限區(qū)間也可以是無窮區(qū)間）上取值的概率為，此公式非常重要！P

X

G

f

x

dxG例

1設

X

是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為0

c

4x

2x2

0

x

2其它f

x

求：⑴常數(shù)c⑵

P

X

1

解：

⑴ 由密度函數(shù)的性質

f

x

dx

1

x

dx

f得1

2

0

2c

4x

2x

dx2232

0

x

3

c

2

x

8

c3所以，c

38⑵PX

1

dx223

232233

1

8

2

x

x1

12

f xdx

84x

2x1P

X

G

f

x

dxG二、一些常用的連續(xù)型隨機變量1)均勻分

布若隨機變量

X

的密度函數(shù)為

a

x

b其它0

1 f

x

b

a則稱隨機變量X

服從區(qū)間

a，

b

上的均勻分布記作X~U[a,

b]密度函數(shù)的驗證設X

~

U

a，

b

，f

x

是其密度函數(shù)，則有⑴

對任意的x，有

f

x

0

a b

⑵

f

x

dx

f

x

dx

f

x

dx

f

x

dx

a bb1

b

adx

1

a確是密度函數(shù)a

x

b其它

b

a0f

x

1由此可知XXabxll0c

lP{c

X

c

l}

cf(

x)dx.1 ldx

b

a b

a

cc

l

均勻分布的概率背景如果隨機變量X

服從區(qū)間

a，

b

上的均勻分布，則隨機變量X

在區(qū)間

a，

b

上的任意一個子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與該子區(qū)間的位置無關這時，可以認為隨機變量X

在區(qū)間

a，

b

上取值是等可能的均勻分布的分布函數(shù)若隨機變量X

服從區(qū)間

a，

b

上的均勻分布

b

ax

aF

x

x

a a

x

bb

x1

0abxF

(x)01則X的分布函數(shù)為例2

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是

7:00

到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率．解：設該乘客于7時

X

分到達此站．則

X

服從區(qū)間

0，

30

上的均勻分布．其密度函數(shù)為

1

f x

30

00

x

30其它令：B={

候車時間不超過5分鐘

}則 P

B

P

10

X

15

P

25

X

30

30

2515

10dx

301301dx13

2)指數(shù)分

布如果隨機變量

X

的密度函數(shù)為

x

00 x

0fx

e

x其中

0為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為

的指數(shù)分布．指數(shù)分布的分布函數(shù)若隨機變量X

服從參數(shù)

指數(shù)分布，則X

的分布函數(shù)為

1

eF

x

x

0x

0

x0例

3設打一次電話所用的時間X（單位：分鐘）是10好在你前面走進公用電話間，求你需等待10分鐘到20分鐘之間的概率．以

1

為參數(shù)的指數(shù)隨機變量．如果某人剛X

的密度函數(shù)為

10

1x

0x

0e0f

x

x10解則 P

B

P

10

X

20

令：B={

等待時間為10~20分鐘

}10

1020

1

e

x10

dx2010

x10

e

e

2

0.2325

e

13)正態(tài)分

布如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f

x

x

e

x

μ

2

1

2πσ2σ2xf

(x)

其中

μ

，σ

0為參數(shù)

，則稱隨機變量X

服從參數(shù)為

μ，

σ2

的正態(tài)分布．記作X

~

N

μ，

σ2

0標準正態(tài)分布若

0，

1，我們稱N

0，

1

為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為

x

x

x

2e2

1 2

正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質對于正態(tài)分布的密度函數(shù)f

x

x

2e2

22

由高等數(shù)學中的知識，我們有：⑴曲線關于直線x

對稱，1這表明：對于任意的h

0，有P

h

X

P

X

h

x

x

f(x)

0

h

h正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）f

2

1⑵

當x

時，f

x

取到最大值xx離

越遠，f

x

的值就越?。@表明，對于同樣長度的區(qū)間，當區(qū)間離

越遠時，隨機變量X

落在該區(qū)間中的概率就越?。甪(x)

0

h

h正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）⑶曲線y

f

x

在

x

處有拐點確定．曲線y

f

x

以Ox軸為漸近線．⑷

若

固定，而改變

的值，則f

x

的圖形沿x

軸平行移動，但不改變其形狀．x因此

y

f

x

圖形的位置完全由參數(shù)

所f(x)

0

h

h正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）⑸

若

固定，而改變

的值，由于f

x

的最大值為f

2

1x可知，當

越小時，y

f

x

圖形越陡，因而X

落在

附近的概率越大；反之，當

越大時，y

f

x

的圖形越平坦，這表明X的取值越分散．f(x)0

正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：⑴

正態(tài)分布是自然界及工程技術中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態(tài)分布．⑵

正態(tài)分布有許多良好的性質，這些性質是其它許多分布所不具備的．⑶

正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．標準正態(tài)分布的計算如果隨機變量X

~

N

0，

1

，則其密度函數(shù)為

,

x

其分布函數(shù)為x

2

1 2

2e

x

x

e

2dtt

2x

x

tdt

1 2

教科書上都附有標準正態(tài)分布表,由此可得

(

x)值.標準正態(tài)分布的計算（續(xù)）

x

x

e 2

dtt

2

1

x2

tdt

如果x

0，我們可由公式對于x

0我們可直接查表求出

x

P

X

x

x

(x)x-x 0作變換t

u，dt

du，得

x

x

e 2

du

u2

1

2

e 2

duxu2

2

1

1

xe du2u2

1

2

1

x

一般正態(tài)分布的計算Y

y}F

y

P

Y

y

P{X

y

e

t

2

P{X

y}

dt2

22

1作變換u

t

，則du

dt

，代入上式，得

y

u2

YF

y

2

e 2du

y

1

XF(x)

P{

X

x}

P{

設X

~

N

，

2

，則Y

X

~

N

(

0,

1

)}

(

X

x

)x

一般正態(tài)分布的計算（續(xù)）該公式給出了一般正態(tài)分布分布其中，

x

是標準正態(tài)分布函的數(shù)值分的布求函法數(shù)X

F

(

x)

(

x

)故對任意的a

b,有P{a

X

b}

(b

-

)

(a

).

例

4設隨機變量X

~

N

0，

1

，試求：⑴

P

1

X

2

；⑵

P

1

X

2

0.97725

0.84134

0.13591解⑴P

1

X

2

2

1

P

1

X

2

2

1

2

1

1

0.97725

1

0.84134

0.81859⑵設

X~N(0,1),若

z

滿足條件0x

(x)z0.05則稱點z

為標準正態(tài)分布的上

分位點。查表可知z

z1

=1.645z0.005=2.

575=

-1.645注： z

z

,1-

z0.95z0.995=-2.

575P

X

z

,0

1,0x

0x

0x e

r

f

x

r

1

x如果連續(xù)型隨機變量X

的密度函數(shù)為

r

其中r

0

，

0為參數(shù)

X~

r，

則稱隨機變量X

服從參數(shù)為

r，

的

分布記作：4)

-分布.Γ-

函數(shù)

函數(shù)的定義

r

xr

1e

xdx0

函數(shù)的定義域：

0，

函數(shù)的性質：

r

1

r

r

1

1，

1

2

如果n為自然數(shù)，則

n

n

1

！如果

r

1，則由

1

1，得

x

00 x

0f

x

e

x這正是參數(shù)為

的指數(shù)分布這說明指數(shù)分布是

分布的一個特例如果r

n，由

n

n

1

！得說明：

0 x

0

n

1

!f

x

xn

1e

x x

0

n我們稱此分布為Erlang分布，它是排隊論中重要的分布之一．2 2如果r

n

，