高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2026屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，則的虛部為.故選：A.2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，，又因?yàn)?，?dāng)即時(shí)，，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，，符合題意；則.故選：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】假設(shè)，，有，即充分性不成立；若，則有且，即必要性成立；綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，此時(shí)解集不為空集，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若解集為空集，則，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式的解集一定不為空集，故不符合題意，綜上可得,故選：C.5.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由題意可知：圖象的對稱軸，就是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以對稱軸方程為，解得，故選：B.6.已知，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，將其代入，得，展開得，整理得，又，，，所以，兩邊除以，得，解得．故選：D．7.已知函數(shù)，，的定義域都為，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函數(shù)，所以，又由，得①，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又由，得②，聯(lián)立①②可解得，所以，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，且，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞減；因此，在處取得極大值，也是最大值，．故選：D．8.已知一個(gè)紅球和三個(gè)半徑為3的白球，這四個(gè)球兩兩外切，且它們都內(nèi)切于一個(gè)半徑為7的黑球，則紅球的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出符合題意的圖形，設(shè)三個(gè)半徑為3的白球的球心分別為，設(shè)紅球半徑為，球心為，連接，則在平面上的射影為底面正三角形的外心，可得，三棱錐為正三棱錐，側(cè)棱，再設(shè)大球的球心為，由對稱性可得，在線段上，要使大球與四個(gè)小球都內(nèi)切，則，，又，，解得，則紅球的表面積．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，為兩條異面直線，，為兩個(gè)平面，，，，則直線（）A.可以與，都垂直 B.至少與，中一條相交C.至多與，中一條相交 D.至少與，中一條平行【答案】AB【解析】因?yàn)閍，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則，與a、b異面矛盾，所以至少與，中一條相交故B對，C、D錯(cuò)；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時(shí)，可知l與a、b都相交，直線可以與，都垂直，故A對.

故選：AB.10.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，且的面積為，則（）A. B.C. D.的最小值為【答案】AC【解析】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，又因?yàn)榈拿娣e為，則，所以，C選項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取的最小值為.故選：AC.11.已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，則（）A. B.是極大值點(diǎn)C. D.【答案】BCD【解析】的極值點(diǎn)為在上的變號零點(diǎn).即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).又注意到時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，.據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標(biāo)系中，如下圖所示.對于A，由圖像可知，則，故A錯(cuò)誤；對于B，注意到時(shí)，，，.結(jié)合圖像可知當(dāng)當(dāng)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故B正確，對于C,表示兩點(diǎn)與間距離，由圖像可知，隨著n的增大，兩點(diǎn)間距離越來越近，即為遞減.故，化簡可得，故C正確；對于D，由于，故因此，且，故，由于為單調(diào)遞減函數(shù)，為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為單調(diào)遞增函數(shù)，由于，可得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校報(bào)告廳第一排有22個(gè)座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，則這個(gè)報(bào)告廳共有________個(gè)座位.【答案】820【解析】根據(jù)題意可知：報(bào)告廳的座位個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且，故，故，所以座位的個(gè)數(shù)為，故答案為：820.13.設(shè)，且，則________.【答案】【解析】，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或不合題意，所以，所以.故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即在上有解，又在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又時(shí)，，且，所以．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：由得，，兩式相減得.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以.當(dāng)時(shí)，，則，所以.綜上.（2）證明：由，得.所以.由于，，所以.16.在中，，，.（1）求；（2）求的角平分線的長.解：（1）由得，由正弦定理得，即.因?yàn)椋?，又，?（2）在中，由余弦定理，，得，解得（舍去負(fù)值），所以.在中，，則有，即，解得.17.已知多面體的底面是正方形，底面，，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè).（i）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（ii）若二面角的大小為，求的值.（1）證明：底面為正方形，得.因?yàn)榈酌?，面，?又，平面，平面，得平面，由平面，所以平面平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由得，，，，，（i）當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)平面的法向量為，由得不妨取，則，從而平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.（ii）由，得，，由（1）知，.設(shè)平面的法向量為，由得，不妨取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.則，又因?yàn)槎娼堑拇笮?35°，所以，化簡得，得或.18.已知橢圓：的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，且，證明：為定值；（3）將橢圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到曲線.若點(diǎn)，點(diǎn)，在曲線上，且，求的最大值.（1）解：由題意得解得所以橢圓的方程為.（2）證明：當(dāng)直線或其中一條斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線，斜率存在且均不為0時(shí)，設(shè)直線：，，由得，所以.同理可得，所以.綜上，.（3）解：法一：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，對應(yīng)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，則代入中得：.設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋运?，?所以.法二：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，對應(yīng)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，則代入中得：.設(shè)原點(diǎn)到直線，的距離分別為，，則..所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.即的最大值為.19.已知函數(shù)，直線：.（1）若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：對于，，使得當(dāng)時(shí)，直線恒在曲線上方；（3）若直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，證明：.（1）解：設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，令，得或2.故切點(diǎn)為或，切線方程為或，即或.（2）證明：由得，當(dāng)，遞減，有，當(dāng)，遞增，有，當(dāng)，遞減，有.若，取，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，若，取，下面證明不等式，先證明如下不等式：當(dāng)，有，令，，當(dāng)，遞減，