高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市五校共同體2025-2026學年高二上學期10月質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.若，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，，在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限.故選：D.2.已知直線l上的一點向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】設點是直線上的一點，將點右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到點仍在該直線上，則直線的斜率．故選：B．3.已知，且夾角為，則（）A.8 B.12 C. D.2【答案】C【解析】.故選：C.4.拋物線的焦點到準線的距離是（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】試題分析：因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).5.已知的斜邊，，現(xiàn)將繞邊旋轉(zhuǎn)至的位置，使，則所得四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，為等邊三角形，為直角三角形，斜邊為，，，，平面，平面；取中心，設四面體的外接球球心為，則平面，取中點，連接，平面，平面，，，，又，四點共面，，四邊形為平行四邊形，；，，，，，，，，四面體外接球的表面積.故選：A.6.已知橢圓上有一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設橢圓左焦點為，連接、，由、關(guān)于原點對稱，可知四邊形為平行四邊形，又，故，即平行四邊形為矩形，因此，，在中，，設，則，，由橢圓的定義，，又，故，即，將代入，得，故離心率.故選：B.7.若既是的中點，又是直線與直線的交點，則線段的垂直平分線的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由條件可知，，，且，兩式相加得，即，得，點是直線和的交點，所以，所以點滿足直線，即直線方程為，，與直線垂直的直線方程的斜率為，所以中垂線方程為，整理為.故選：A.8.如圖所示，雙曲線型冷卻塔的外形，是離心率為2的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，已知該冷卻塔的上口半徑為，下口半徑為，高為（數(shù)據(jù)以外壁即冷卻塔外側(cè)表面計算），則冷卻塔的最小直徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設雙曲線方程，由離心率為可知：，則，即，再由題意知，，代入雙曲線方程得：，，由高為可得：，平方得：，即，由圖可得冷卻塔的最小直徑為，故選：C.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.下列式子化簡正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD.10.已知圓和直線，則下列說法正確的是（）A.當時，直線被圓截得的弦長為B.當時，圓上到直線的距離為的點有個C.當時，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積最小值為D.當時，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線恒過定點【答案】ACD【解析】由圓知：圓心，半徑；對于A，當時，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，A正確；對于B，當時，圓心到直線的距離，，圓上到直線的距離為的點有個，B錯誤；對于C，為圓的兩條切線，，，，，，當時，取得最小值，四邊形面積的最小值為，C正確；對于D，設是圓上一點，圓方程可整理為：；當或時，在處切線的斜率為，在處切線方程為：，又，整理可得該切線方程為：；當或，在處切線滿足方程；綜上所述：在圓上一點處的切線方程為；設，則直線，直線，設，則，坐標滿足方程，即直線方程為：；為直線上的動點，，直線，整理可得：，令，解得：，直線恒過定點，D正確.故選：ACD.11.已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于兩點，其中在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為B.C.D.【答案】AD【解析】對于A，作，垂足為，設，，，又，，，，，，即直線斜率為，A正確；對于B，由A可設直線，即，由得：，，，，又，，即，，即，，解得：或，又，，即，，B錯誤；對于C，，，由B知：，，，，，，，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.直線，若，則實數(shù)的值為__________.【答案】或【解析】由于，所以，解得或.故答案為：或.13.在中，已知，.若最長邊的長為，則最短邊的長為__________.【答案】〖祥解〗根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和差正切公式可求得和，由此可確定最長邊和最短邊，利用正弦定理可求得結(jié)果.【解析】，，，，；，又，，為最大角，則，又，，即最短邊為，由正弦定理得：，即最短邊的長為.故答案為：.14.有同學在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學習后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點的距離之和?距離之差的絕對值?距離之商為常數(shù)分別對應的軌跡為橢圓?雙曲線?圓，那么距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么？又具備哪些性質(zhì)呢？老師告訴他這正是歷史上法國天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的“卡西尼卵形線”.假設是平面直角坐標系內(nèi)的兩個定點，滿足的動點的軌跡為曲線，動點的橫坐標的取值范圍是__________，的面積的最大值為__________.【答案】①.②.【解析】令，則，，則，令，則，，令，則的對稱軸為，在上單調(diào)遞增，要使得在有解，只需，，解得：，動點的橫坐標的取值范圍為；（當且僅當時取等號），，，，，即面積的最大值為.故答案為：；1.四?解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.江蘇農(nóng)科所在同一塊試驗田種植了兩個品種的小麥，成熟后，分別從這兩個品種的小麥中均隨機選取100份，每份含1千粒小麥，測量其重量，按分為6組（每份重量均在內(nèi)），兩個品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個品種的小麥千粒重相互獨立.（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數(shù)；（2）用頻率估計概率，從兩個品種的小麥中各抽取一份，估計這兩份的重量至少有一個不低于45g的概率.解：（1）根據(jù)題意可得，解得；因為品種小麥的前幾組頻率依次為，所以品種小麥的中位數(shù)在內(nèi)，且為.（2）法一：設事件分別表示從兩個品種中取出的小麥的千粒重不低于，則，事件表示兩個樣本小麥的千粒重至少有一個不低于，則又相互獨立，所以.法二：設事件分別表示從兩個品種中取出的小麥的千粒重不低于則，事件表示兩個樣本小麥的千粒重至少有一個不低于又相互獨立，所以相互獨立，，.16.設，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個點.（1）求圓的方程；（2）若圓上存在兩個不同的點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）若圓經(jīng)過，則圓心必在的垂直平分線上，不符合圓心在軸正半軸，所以圓不可能同時過點，同理，圓不可能同時過點，所以圓不經(jīng)過點，只能過點三點.的中垂線方程為，整理得：，的中垂線方程為，聯(lián)立方程組解得所以圓心為，圓心到點的距離為半徑2，所以圓的方程為.（2）設存在點，因為，所以有，化簡得，所以，且滿足這個方程的點可以理解為一個圓上的點，而點又在圓上且有兩個點，所以這兩個圓應該是相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.17.已知和為橢圓上兩點.（1）求橢圓離心率；（2）若過的直線交于另一點，且的面積是3，求的方程.解：（1）由題意，，將代入橢圓方程，得，即，故橢圓方程為：，所以離心率.（2）直線斜率，其方程為，即，設點到直線的距離為，而，由，解得，則，整理得或，由，解得或，而無解，當時，此時方程為：，即，當時，此時方程為：，即.18.如圖一，四邊形是邊長為的菱形，，，，分別為的中點，將沿邊折起，使，連接，如圖二.注意：1.請在答題紙上留下必要作圖痕跡；2.本題若使用空間向量解題，將不得分.（1）證明：；（2）求直線和所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：連接，分別為的中點，，，，；四邊形為邊長為的菱形，，為等邊三角形，；平面，，平面，平面，.（2）解：連接，交于點，連接，四邊形為菱形，為中點，又為中點，，，和所成角即為（或其補角）；在中，，，又，，，即直線和所成角的余弦值為.（3）解：存在點，當時，平面，證明如下：設與交于點，連接，四邊形為菱形，為中點，，，，，當時，，平面，平面，平面19.如圖，曲線是以原點為中心，為焦點的橢圓的一部分，曲線是以為頂點，為焦點的拋物線的一部分，是曲線和的交點.（1）求曲線和所在的橢圓和拋物線的方程；（2）過點作一條與軸不