四川省達(dá)州市第一中學(xué)校學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題總分：分考試時(shí)間：分鐘命題人：羅立審題人：黃焱琳一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共分）1.直線傾斜角為135°，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】由已知得直線的斜率，∴，故選：B.2.圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求的答案.【詳解】解：該圓圓心為，半徑為5所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B3.在四面體滿足的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第1頁/共21頁【分析】根據(jù)空間向量基本定理列出方程，解之即得.【詳解】因四點(diǎn)共面，且，由空間向量基本定理的推論可得，解得.故選：D.4.若橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.24B.9C.1D.9或1【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義可得范圍，再利用焦距定義分類討論即可得.【詳解】由題意可得，即或；當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，解得，不符，故舍去，綜上可得.故選：B.5.已知平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】算公式和投影向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)向量，因?yàn)椋?，可得，?頁/共21頁解得，即，則，又因?yàn)?，所以在方向上的投影向量為．故選：A．6.在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可知，，兩兩垂直，故分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，第3頁/共21頁則，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：A.7.若點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】的幾何意義是點(diǎn)與【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑為1，因?yàn)榈膸缀我饬x是點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則滿足圓心到切線的距離等于半徑，即，解得，又由點(diǎn)在圓上，所以.故選：B.8.已知橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，為橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.第4頁/共21頁【答案】D【解析】左焦點(diǎn)為，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋?，可知為矩形，則，又因?yàn)?，即，可得，則，在中，，即，解得，所以，則，所以，解得，故橢圓的離心率為．故選：D二、多選題（本題共3小題，共分）第5頁/共21頁則下列說法正確的是（）A.的周長為16B.面積的最大值為12C.存在點(diǎn)P，使得∠D.取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】求出給定橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A：的周長為，A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，，則，B正確；對于C：由，得以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓相交，當(dāng)P為此交點(diǎn)時(shí)，，因此存在點(diǎn)P，使得∠，C正確；對于D：，，D正確.故選：BCD10.如圖，在三棱錐中，，，，分別是中點(diǎn)，則（）第6頁/共21頁C.三棱錐外接球的半徑為D.異面直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】AB形可確定三棱錐的外接球的半徑即可判斷C；利用線線夾角與空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得關(guān)系即可判斷D．【詳解】三棱錐中，，，將三棱錐補(bǔ)形為長方體，如圖所示：則有，解得，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，則有，，對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；第7頁/共21頁對于C，因?yàn)槿忮F的外接球的直徑即為長方體的體對角線長，所以，則三棱錐的外接球的半徑為，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，故異面直線，所成的角的余弦值是，故D正確.故選：ABD．?dāng)?shù)學(xué)之美，古來共談．如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中有⊙O：與x軸分別交于、兩點(diǎn)，為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的⊙E的位置隨點(diǎn)位置的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，⊙E掃過的區(qū)域是圖乙所示美麗的“心形”（記作A.若，則⊙E與軸公共點(diǎn)坐標(biāo)為和B.圖乙中內(nèi)的點(diǎn)到軸距離的最大值為1.25C.若以為圓心的圓可以完全覆蓋區(qū)域，則該圓的半徑最小為D.圖乙中與軸的公共部分上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為【答案】ABD【解析】AB選項(xiàng)設(shè)用第8頁/共21頁出最大值；C選項(xiàng)用表示，再利用三角函數(shù)求最值即可；D選項(xiàng)利用點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)⊙E與軸交于、，連接，，為⊙E的直徑，軸，由題意可知，，，，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和，故A正確；對于B選項(xiàng)，設(shè)，，如圖：過作軸于，另交⊙E于，過作軸于，，，，，，，，令，，，第9頁/共21頁即內(nèi)的點(diǎn)到軸距離的最大值為1.25，故B正確；對于C選項(xiàng)，如圖：連接并延長交⊙E與，由垂徑定理：，就是⊙E上到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，下面我們求的最大值：，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即該圓的半徑最小為，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，如圖：設(shè)⊙E與軸交于，反面想，對于軸正半軸上一點(diǎn)作，若與⊙O有公共點(diǎn)即為點(diǎn)，當(dāng)離軸最遠(yuǎn)時(shí)，與⊙O有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)，則，，第10頁/共21頁原點(diǎn)到的距離：，解得，即M與y軸的公共部分上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.圓：關(guān)于直線：對稱后的方程為________.【答案】【解析】【分析】求出圓心和半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則直線與直線和的中點(diǎn)在直線：上，將中點(diǎn)代入此直線方程得到所求圓的圓心，半徑不變，從而得到所求圓的方程.【詳解】圓：，圓心，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則直線與直線垂直，，，，，又和的中點(diǎn)為，且中點(diǎn)在直線：上，，聯(lián)立，解得，為所求圓的圓心，半徑為，所求圓的方程為.故答案為：.13.在棱長為2的正方體分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是側(cè)面第11頁/共21頁內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的軌跡長度為__________.【答案】【解析】的中點(diǎn)平面必在線段上，即可得出答案.【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)，連接，∵分別為所在棱的中點(diǎn)，則∴，又不在平面，平面，∴平面．∵，，四邊形為平行四邊形，∴，又不在平面，平面，∴平面，又，平面，平面平面．∵是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，點(diǎn)必在線段上．所以點(diǎn)的軌跡長度為，第12頁/共21頁故答案為：.14.在平面中，和是互相垂直的單位向量，向量滿足，向量滿足，則的最大值為___________．【答案】4【解析】【分析】先求出兩個(gè)軌跡方程，可設(shè)，，則，由輔助角公式表示出的最大值，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案.【詳解】因?yàn)楹褪腔ハ啻怪钡膯挝幌蛄?，所以設(shè)，，設(shè)，由可得：，表示動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，則點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)，由可得：，表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以可設(shè)，，，所以，，所以，其中，第13頁/共21頁，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共分）15.已知為實(shí)數(shù)，設(shè)直線.（1）若，求的值；（2）若，求與的距離.【答案】（1）（2）【解析】1）由兩直線垂直關(guān)系求解即可.（2）由兩直線平行關(guān)系求出，結(jié)合兩平行線間距離公式即可求解.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】因?yàn)椋?，解得，此時(shí)，即，所以與的距離16.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓的焦距為4.（1）求橢圓的方程；第14頁/共21頁（2過且與橢圓相交于，是線段的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）由題意得，，利用求得即可求解方程；（2）設(shè)，，代入橢圓方程作差求得直線的斜率，代入點(diǎn)斜式直線方程即可求解.【小問1詳解】設(shè)的焦距為，因?yàn)榈拈L軸長是短軸長的倍，所以.因?yàn)榻咕酁?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，所以，則的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)，在上，所以兩方程相減得，所以.因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，即直線的斜率為，所以直線的方程為，即.17.已知圓的方程為，其中.第15頁/共21頁（1）若圓和圓的公共弦長為，求的值；（2）若過點(diǎn)的圓與圓相切，切點(diǎn)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或（2）【解析】1）將兩圓方程作差可得相交弦所在直線的方程，求出圓心到相交弦所在直線的距離，再利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2、為直線和線段的方程，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓的半徑，即可得出圓的方程.【小問1詳解】因?yàn)閳A的方程為，則，解得，將兩圓方程作差可得，即為兩圓相交弦所在直線的方程，圓的圓心為，半徑為，由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.【小問2詳解】由題意可知，點(diǎn)在圓上，則，解得，故圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，記點(diǎn)、，第16頁/共21頁由圓的幾何性質(zhì)可知，圓心在直線上，且，所以直線的方程為，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)、兩點(diǎn)，所以圓心在線段的垂直平分線上，線段的中點(diǎn)為，，故線段的垂直平分線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的半徑為，故圓的方程為.18.如圖（1中，，，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿著翻折至位置，使得，如圖（2）所示．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)位于線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】1）利用勾股定理可分別證得，，根據(jù)線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2程求得的值，進(jìn)而得到結(jié)果.【小問1詳解】第17頁/共21頁證明：，，，，又，，，；，，四邊形為平行四邊形，，即圖（2）中，，又，，，，，平面，平面，平面，，，平面，平面.【小問2詳解】解：由（1）得：平面，又，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，且，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，第18頁/共21頁解得：（舍）或，，當(dāng)點(diǎn)位于線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為.19.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，線段的最小值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．（i）若，在軸上方，且，求證：直線過定點(diǎn)；（ii）點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，為.【解析】1）由離心率及的最小值為列出方程求，即可求；（2i）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求得ii）設(shè)，由，得到直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立求得，結(jié)合點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，列出等式求解即可.【小問1