18.4整數(shù)指數(shù)冪（第1課時）數(shù)學(xué)人教版八年級上冊

下圖是冪的符號演變史，從3世紀(jì)的丟番圖到1637年笛卡兒的表示方法，你們有什么感受？思考思考1676年，牛頓提出了一個設(shè)想：“因為數(shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa，…寫成，，，…，所以我將，，，…寫成，，，…．”

請你思考牛頓的設(shè)想是否合理？如果的m可以是負(fù)整數(shù)，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)冪表示什么？問題1解：方法一（約分）請你分別從“約分”和“同底數(shù)冪的除法”這兩個角度思考，嘗試計算．．①當(dāng)a≠0時，有問題1請你分別從“約分”和“同底數(shù)冪的除法”這兩個角度思考，嘗試計算．

解：方法二（同底數(shù)冪的除法）

對于（a≠0，m，n為正整數(shù)，并且m＞n）,忽略m＞n的條件，假設(shè)性質(zhì)仍然適用，則有②．．①你們能想到什么？新知數(shù)學(xué)中規(guī)定：一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時，

（a≠0）．注意：1．

（n為正整數(shù)，a≠0）這是合理規(guī)定，不是證明出來的；3．引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就擴(kuò)充到全體整數(shù)．2．

（a≠0）是

的倒數(shù)；問題2（1）

，

即

；舉例說明：引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和

0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

（m，n是正整數(shù)）能否推廣到

m，n是任意整數(shù)的情形？

選取

m，n分別是一正一負(fù)、兩負(fù)、一零一負(fù)三種情況分別進(jìn)行驗證．問題2引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和

0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

（m，n是正整數(shù)）能否推廣到

m，n是任意整數(shù)的情形？

舉例說明：（2）

，

即

；問題2引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和

0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

（m，n是正整數(shù)）能否推廣到

m，n是任意整數(shù)的情形？

舉例說明：（3）

，即．新知一般地，這條性質(zhì)對于m，n是任意整數(shù)的情形仍然適用．（3）

（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）（4）

（n是正整數(shù)）（1）

（m，n是正整數(shù)）

（2）

（n是正整數(shù)）類似地，請你繼續(xù)探索其他正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，思考這些性質(zhì)在整數(shù)指數(shù)冪范圍內(nèi)是否還適用．

問題2（1）

（m，n是正整數(shù)）

歸納隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，這些運算性質(zhì)也推廣到整數(shù)指數(shù)冪．（4）

（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）（5）

（n是正整數(shù)）（2）

（m，n是正整數(shù)）

（3）

（n是正整數(shù)）是否能轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪乘法？請你觀察以下兩個式子：和

，想一想，同底數(shù)冪的除法是否可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法？

因此，，

分析：根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，當(dāng)m，n為整數(shù)時，

，

，

即同底數(shù)冪的除法可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法．問題2（1）

（m，n是正整數(shù)）

歸納隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，這些運算性質(zhì)也推廣到整數(shù)指數(shù)冪．（4）

（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）（5）

（n是正整數(shù)）（2）

（m，n是正整數(shù)）

（3）

（n是正整數(shù)）是否能轉(zhuǎn)化為積的乘方？同樣的道理，請你觀察以下兩個式子：和，想一想，商的乘方能否轉(zhuǎn)化為積的乘方呢？問題2

分析：，所以

，即商的乘方

可以轉(zhuǎn)化為積的乘方

．（2）

（m，n是整數(shù)）；

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以歸結(jié)為：（1）

（m，n是整數(shù)）；

（3）

（n是整數(shù)）．新知

（3）

；

（4）．

例

計算：

（1）

；

（2）

；

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）．

例

計算：

（1）

；

（2）

；

解：（3）

；

（4）

．注意整數(shù)指數(shù)冪的運算結(jié)果可以是只含正整數(shù)指數(shù)冪的式子，也可以是含負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的式子，但不要寫成既有負(fù)整數(shù)指數(shù)冪又有分母的式子．

1．填空：（1）

，

；（2）

，

；（3）

，

．111

2．計算：（1）；（2）．