第14講利用“權(quán)方和不等式”快速求最值在教學(xué)不等式法求最值時，老師們一般講解配湊均值不等式及變式系列，也會涉及選修4-5的配湊柯西-施瓦茲不等式.實際上，上述方法結(jié)構(gòu)變形復(fù)雜，學(xué)生不易掌握.本專題提供一種新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“權(quán)方和不等式”.供同仁們教學(xué)參考，學(xué)生備戰(zhàn)2024高考的培優(yōu)專題.在教學(xué)不等式法求最值時，老師們一般講解配湊均值不等式及變式系列，也會涉及選修4-5的配湊柯西-施瓦茲不等式.實際上，上述方法結(jié)構(gòu)變形復(fù)雜，學(xué)生不易掌握.本專題提供一種新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“權(quán)方和不等式”.供同仁們教學(xué)參考，學(xué)生備戰(zhàn)2024高考的培優(yōu)專題.知識與方法簡介一、四元變量的權(quán)方和不等式：已知x，y,a,b∈R+,且m>0,則am+1xm+推論（1）：已知x，y,a,b∈R+,且m=1,則a2x+b推論（2）：已知x，y,a,b∈R+,且m=1則ax+by二、多元變量的權(quán)方和不等式：已知ai,bi∈R+,且m>0,則推論（1）：已知ai∈R,bi>0且m=1,則≥當(dāng)且僅當(dāng)a推論（2）：已知ai、bi同號且均不為0,則≥當(dāng)且僅當(dāng)我們稱m為不等式的權(quán)，權(quán)方和不等式的特征是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)大1，用于“知和求和型”快速求最值，本質(zhì)還是代數(shù)式常數(shù)化.備注：m可以取任意實數(shù)，m與m+1符號不同時，不等號的方向有差異；因為高中常涉及到的是m>0，所以本專題只介紹m>0的權(quán)方和不等式.題型一已知整式和方程求分式和的最值題型一已知整式和方程求分式和的最值【典例1】（直接用權(quán)方和不等式）已知a＞0，b＞0，且則的最小值是．解析：；當(dāng)，即時，等號成立．【典例2】（構(gòu)造二元和用權(quán)方和不等式）已知x>-1,y>0,且滿足x+2y=1，求的最小值.解析：因為x>-1，故x+1>0；=，所以由權(quán)方和不等式，可知．能力達標(biāo)訓(xùn)練1.已知a＞0，b＞0，且，則的最小值是．解析：當(dāng)，即，．2.已知a>2b>0,且滿足a+b=1，求的最小值.解析：因為a>2b>0，故a-2b>0；=所以由權(quán)方和不等式，可知．3.已知a，b，c為正實數(shù),且滿足a+b+c=1，求的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知=所以的最小值為9．題型二已知分式和方程，求整式和的最值題型二已知分式和方程，求整式和的最值【典例4】已知a>b>0,且滿足，求a+b的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知,所以1,所以a+b，a+b的最小值為．能力達標(biāo)訓(xùn)練4.已知a>0，b>0,且滿足，求a+2b的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知,所以1,所以a+b，a+b的最小值為．題型三求分式和的最值題型三求分式和的最值【典例5】已知x＞1，y＞1，則的最小值是．解析：令，當(dāng)，即，兩個等號同時成立能力達標(biāo)訓(xùn)練5.已知則的最小值為.解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.6.已知，則的最小值為.解析：當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.題型四雜合型求最值題型四雜合型求最值【典例6】已知a>b>0,且滿足，求的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知.能力達標(biāo)訓(xùn)練7.已知x＞1，y＞1，xy＝10，則的最小值是．解析：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴，且∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”．8.已知正數(shù)滿足，則的最小值為.解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.9.已知正實數(shù)x，y滿足x+y＝xy，則的最小值是．解析：x+y＝xy可化為，題型五求三角式相關(guān)和的最值題型五求三角式相關(guān)和的最值【典例7】已知,求的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知==,所以的最小值為．能力達標(biāo)訓(xùn)練10.已知,求的最小值.解析：由權(quán)方和不等式，可知,所以