第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學(xué)模擬試卷試題匯編——圖形的旋轉(zhuǎn)一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BCA．3 B．23 C．22 D．42．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，則B、D兩點(diǎn)間的距離為（）A．10 B．22 C．3 D．253．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長度是（）A．7 B．22 C．3 D．234．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為（）A．2 B．23 C．3 D．5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2+3） B．（-3，3C．（-3，2+3） D．（﹣3，6．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（2，0） D．（0，-27．在正方形網(wǎng)格中有△ABC，△ABC繞O點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖案應(yīng)該是（）A． B． C． D．8．在俄羅斯方塊游戲中，已拼好的圖案如圖所示，現(xiàn)出現(xiàn)一小方格體正向下運(yùn)動(dòng)，你必須進(jìn)行以下（）操作，才能拼成一個(gè)完整圖案，使所有圖案消失．A．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 B．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 C．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向下平移 D．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向下平移9．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為（）A．33 B．27 C．43 D．2+2310．等邊三角形ABC的邊長為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論正確個(gè)數(shù)是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE=2783；④△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共5小題）11．平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），K（2，0），A為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，BK取最小值時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．12．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為．13．如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC=2，則圖中陰影部分的面積等于14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝46，AD＝10．連接BD，∠DBC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，現(xiàn)把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△BCE為△BC′E′．當(dāng)射線BE′和射線BC′都與線段AD相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為F，G．若△BFD為等腰三角形，則線段DG長為．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC=22，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長是三．解答題（共5小題）16．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4，0），寫出頂點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；（2）若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱圖形，寫出△A2B2C2的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3，寫出△A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．18．如圖1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB并延長交直線AD于點(diǎn)E．（1）如圖1，猜想∠QEP＝°；（2）如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的長．19．已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E．點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接AF、（1）求AE和BE的長；（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值．（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長；若不存在，請說明理由．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．（1）求證：CF=22（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，分別延長CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使PA+PB+PC的值最?。?dāng)PA+PB+PC的值取得最小值時(shí)，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．

2026年中考數(shù)學(xué)模擬試卷試題匯編——答案一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案AAADBBAABB一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BCA．3 B．23 C．22 D．4【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1=3，求出∠BAC1＝90【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB=6，AC=∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1=3∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC1=AB故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，能求出AC1的長度和求出∠BAC1的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，則B、D兩點(diǎn)間的距離為（）A．10 B．22 C．3 D．25【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】通過勾股定理計(jì)算出AB長度，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出各對應(yīng)線段長度，利用勾股定理求出B、D兩點(diǎn)間的距離．【解答】解：連接BD．∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD=B故選：A．【點(diǎn)評】題目考查勾股定理和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，特別是線段之間的關(guān)系．題目整體較為簡單，適合隨堂訓(xùn)練．3．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長度是（）A．7 B．22 C．3 D．23【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【答案】A【分析】首先證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝23，∵CA＝CA1，∴△ACA1是等邊三角形，AA1＝AC＝BA1＝2，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，∵CB＝CB1，∴△BCB1是等邊三角形，∴BB1＝23，BA1＝2，∠A1BB1＝90°，∴BD＝DB1=3∴A1D=A故選：A．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度角的直角三角形性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，屬于中考?？碱}型．4．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為（）A．2 B．23 C．3 D．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，則CM=33x，可計(jì)算出EM=-33x+2，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ED＝EF，∠DEF＝90°，證明△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF=-33x+2，接著利用勾股定理得到AF2＝（-33x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2=43（x+3-32）2+4+23，此時(shí)AF2沒有最小值，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF=33x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（33x+2）2【解答】解：作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，在Rt△CDM中，CM=33DM=而EM+33x＝∴EM=-33∵線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=-33在Rt△AFN中，AF2＝（-33x+2）2+（2+x）2=43（x+3-此時(shí)x＝0時(shí)，AF2有最小值，最小值為8，AF的最小值為22，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=33x在Rt△AFN中，AF2＝（33x+2）2+（2﹣x）2=43（x-3-3當(dāng)x=3-32時(shí)，AF2有最小值∴AF的最小值為4+23=綜上所述，AF的最小值為4+23=解法二：過點(diǎn)A作AJ⊥BC于J，過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長線于G，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，過點(diǎn)A作AH⊥FG于H．證明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM=3，推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線FG當(dāng)AF⊥FG時(shí)，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1+3故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2+3） B．（-3，3C．（-3，2+3） D．（﹣3，【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平面直角坐標(biāo)系．【答案】B【分析】如圖，作B′H⊥y軸于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．【解答】解：如圖，作B′H⊥y軸于H．由題意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴A′H=12A′B′＝1，B′H∴OH＝3，∴B′（-3，3故選：B．【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．6．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（2，0） D．（0，-2【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；菱形的性質(zhì)．【專題】規(guī)律型．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），得D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，OD旋轉(zhuǎn)了7周半，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．在正方形網(wǎng)格中有△ABC，△ABC繞O點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖案應(yīng)該是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象．【答案】A【分析】根據(jù)△ABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得出各對應(yīng)點(diǎn)的位置判斷即可；【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的方向得：△ABC繞O點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖案是A，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知道想要確定旋轉(zhuǎn)后的圖形①要確定旋轉(zhuǎn)的方向②要確定旋轉(zhuǎn)的大小是解題的關(guān)鍵．8．在俄羅斯方塊游戲中，已拼好的圖案如圖所示，現(xiàn)出現(xiàn)一小方格體正向下運(yùn)動(dòng)，你必須進(jìn)行以下（）操作，才能拼成一個(gè)完整圖案，使所有圖案消失．A．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 B．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 C．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向下平移 D．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向下平移【考點(diǎn)】生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；生活中的平移現(xiàn)象．【專題】網(wǎng)格型．【答案】A【分析】在俄羅斯方塊游戲中，要使其自動(dòng)消失，要把三行排滿，需要旋轉(zhuǎn)和平移，通過觀察即可得到．【解答】解：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移．故選：A．【點(diǎn)評】此題將常見的游戲和旋轉(zhuǎn)平移的知識(shí)相結(jié)合，有一定的趣味性，要根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行解答：（1）①經(jīng)過平移，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等；②平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的兩個(gè)圖形是全等形）．（2）①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．9．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為（）A．33 B．27 C．43 D．2+23【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題．【專題】動(dòng)點(diǎn)型；圖形的全等；矩形菱形正方形．【答案】B【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠GNB＝60°，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NG，易知B，E關(guān)于射線NG對稱，推出GB＝GE，推出GB+GC＝GE+GC≥EC，求出EC即可解決問題．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H．∵四邊形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等邊三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NG，易知B，E關(guān)于射線NG對稱，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH=12DE＝1，EH在Rt△ECH中，EC=EH2∴GB+GC≥27，∴GB+GC的最小值為27．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．10．等邊三角形ABC的邊長為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論正確個(gè)數(shù)是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE=2783；④△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【答案】B【分析】連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再證明∠BOD＝∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，則可對①進(jìn)行判斷；利用S△BOD＝S△COE得到四邊形ODBE的面積=13S△ABC＝33，則可對③進(jìn)行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，計(jì)算出S△ODE=34OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進(jìn)行判斷；由于△BDE的周長＝BC+DE＝6+DE＝6+3OE，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE【解答】解：連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心和外心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∠BOD=∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，①正確；∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC=13S△ABC=13×34×作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH=12OE，HE=3OH∴DE=3OE∴S△ODE=12?12OE?3OE=即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；②錯(cuò)誤；∵BD＝CE，∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+3OE當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長最小，此時(shí)OE=3∴△BDE周長的最小值＝6+3＝9，④正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），K（2，0），A為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，BK取最小值時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣1）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平面直角坐標(biāo)系；圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，作BH⊥x軸于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出點(diǎn)B在直線y＝x﹣4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，作KM⊥EF于M，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，BK的值最小，構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)M坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：如圖，作BH⊥x軸于H．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴點(diǎn)B在直線y＝x﹣4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，作KM⊥EF于M，則直線KM的解析式為y＝﹣x+2，由y=-x+2y=x-4∴M（3，﹣1），根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，BK的值最小，此時(shí)B（3，﹣1），故答案為：（3，﹣1）【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問題．12．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為9．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依據(jù)∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面積，由圖形可以知道S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最終得到陰影部分的面積．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，如圖，過A1作A1D⊥AB于D，則A1D=12A1B＝∴S△A1BA=12×6×3又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S陰影＝S△A1BA＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．運(yùn)用面積的和差關(guān)系解決不規(guī)則圖形的面積是解決此題的關(guān)鍵．13．如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC=2，則圖中陰影部分的面積等于2-1【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=12BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′=22【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC=2∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=12BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′=22∴圖中陰影部分的面積等于：S△AFC′﹣S△DEC′=12×1×1-12×（2故答案為：2-1【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出AD，AF，DC′的長是解題關(guān)鍵．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝46，AD＝10．連接BD，∠DBC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，現(xiàn)把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△BCE為△BC′E′．當(dāng)射線BE′和射線BC′都與線段AD相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為F，G．若△BFD為等腰三角形，則線段DG長為9817【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，尋找等角，等角對等邊，構(gòu)造相似三角形，利用對應(yīng)線段成比例，即可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB在Rt△ABF中，由勾股定理，得：BF2＝（46）2+（10﹣BF）2，解得BF=49AF＝10-49過G作GH∥BF，交BD于H，∴∠FBD＝∠GHD，∠BGH＝∠FBG，∵FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB，∴∠FDB＝∠GHD，∴GH＝GD，∵∠FBG＝∠EBC=12∠DBC=12∠ADB又∵∠FBG＝∠BGH，∠FBG＝∠GBH，∴BH＝GH，設(shè)DG＝GH＝BH＝x，則FG＝FD﹣GD=495-x，HD＝14∵GH∥FB，∴FDGD=BD解得x=98故答案為：9817【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC=22，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長是23+2【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】綜合題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先考慮到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要構(gòu)造直角三角形．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等邊三角形，可證明△ABE與△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再證△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根據(jù)勾股定理求解【解答】解：連接CE，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，如圖所示，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠BCA＝∠BAC＝45°∵Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與Rt△ADE重合，∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE又∵旋轉(zhuǎn)角為60°∴∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ACE是等邊三角形∴AC＝CE＝AE＝4在△ABE與△CBE中，BA=BCAE=CE∴△ABE≌△CBE（SSS）∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°∴∠AFB＝∠AFE＝90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF=2又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE=3AF＝2∴BE＝BF+FE＝2+23故答案為2+23【點(diǎn)評】此題是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)題，解決此題，關(guān)鍵是思路要明確：“構(gòu)造”直角三角形．在熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，還要應(yīng)用全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用三．解答題（共5小題）16．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM＝PN，位置關(guān)系是PM⊥PN；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形；理由見試題解答內(nèi)容；（3）492【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=12CE，PN=12BD，進(jìn)而判斷出BD＝CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM＝∠（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM＝（3）方法1：先判斷出MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，進(jìn)而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=12∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=12∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位線得，PN=12BD，PM=∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面，∴MN最大＝AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝22，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52，∴MN最大＝22+52=7∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN=12∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大=12PM2=12【點(diǎn)評】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出PM=12CE，PN=12BD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4，0），寫出頂點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；（2）若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱圖形，寫出△A2B2C2的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3，寫出△A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【專題】作圖題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用點(diǎn)C和點(diǎn)C1的坐標(biāo)變化得到平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律寫出頂點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解；（3）利用網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A3B3C3，然后寫出△A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，因?yàn)辄c(diǎn)C（﹣1，3）平移后的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4，0），所以△ABC先向右平移5個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，所以點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，2），B1點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣2）；（2）因?yàn)椤鰽BC和△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱圖形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如圖，△A3B3C3為所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．18．如圖1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB并延長交直線AD于點(diǎn)E．（1）如圖1，猜想∠QEP＝60°；（2）如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的長．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）猜想∠QEP＝60°；（2）以∠DAC是銳角為例進(jìn)行證明，如圖2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，則∠ACP＝∠BCQ，根據(jù)“SAS”可證明△ACP≌△BCQ，得到∠APC＝∠Q，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如圖3，與（2）一樣可證明△ACP≌△BCQ，則AP＝BQ，由∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，易得∠APC＝30°，∠PCB＝45°，則可判斷△ACH為等腰直角三角形，所以AH＝CH=22AC＝22，在Rt△PHC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PH=3CH＝26，于是可計(jì)算出PA＝PH﹣AH＝26-22，所以BQ＝2【解答】解：（1）∠QEP＝60°；證明：如圖1，EQ與PC相交于M點(diǎn)，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，則△CQB和△CPA中，PC=QC∠PCQ=∠ACB∴△CQB≌△CPA（SAS），∴∠CQB＝∠CPA，又因?yàn)椤鱌EM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP＝60°．故答案為：60；（2）∠QEP＝60°．以∠DAC是銳角為例．證明：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠ACP=∠BCQ∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠APC＝∠Q，∵∠1＝∠2，∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如圖3，與（2）一樣可證明△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴△ACH為等腰直角三角形，∴AH＝CH=22AC=22×在Rt△PHC中，PH=3CH＝26∴PA＝PH﹣AH＝26-22∴BQ＝26-22【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．19．已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E．點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接AF、（1）求AE和BE的長；（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值．（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ有4種情形，如答圖3所示，對于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD=20由勾股定理得：BD=AB∵S△ABD=12BD?AE=12∴AE=AB?ADBD在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．（2）設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：由對稱點(diǎn)性質(zhì)可知，∠1＝∠2．由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時(shí)，∵AB∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時(shí)，∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D為等腰三角形，∴B′D＝B′F′＝3，∴BB′＝BD﹣B′D=253-3=16（3）存在．理由如下：假設(shè)存在，在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：①如答圖3﹣1所示，點(diǎn)Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q，∴A′Q＝A′B＝5，∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=F∴DQ＝BQ﹣BD=310②如答圖3﹣2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝DQ，∴∠2＝∠P，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，∵PD∥BC，∴此時(shí)點(diǎn)A′落在BC邊上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，解得：BQ=25∴DQ＝BD﹣BQ=25③如答圖3﹣3所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°-12∠∵∠1＝∠2，∴∠4＝90°-12∠∴∠A′QB＝∠4＝90°-12∠∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°-12∠∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝5，∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=F∴DQ＝BD﹣BQ=25④如答圖3﹣4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ＝BA′＝5，∴DQ＝BD﹣BQ=253-綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q，使△DPQ為等腰三角形；DQ的長度分別為310-253、12524【點(diǎn)評】本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)．第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論；在計(jì)算過程中，注意識(shí)別旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡化計(jì)算．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．（1）求證：CF=22（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，分別延長CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使PA+PB+PC的值最?。?dāng)PA+PB+PC的值取得最小值時(shí)，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，設(shè)CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝AC=322a，由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CE＝2a，由銳角三角函數(shù)可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的長，即可求AG=22a（3）將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，可得當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BPN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE=2AD又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴CF=12DE=（2）AG=26理由如下：如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴設(shè)CD＝a，則BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC=BC2由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴CECD=∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG=2∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝22a，∴AG＝BG﹣AB=22a=22（3）如圖3﹣1，將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等邊三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，此時(shí)，如圖3﹣2，連接MC，∵將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD=3PD∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴3PD＝PD+AP，∴PD=3+1∴BD=3PD=3+由（1）可知：CE＝BD=3+3【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的位置是本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．3．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．4．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有