高河中學(xué)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期12月月考

高一數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

Ax∣y2x,BxN∣x23x40

1.已知集合，則AB（）

A.1,0,1,2B.2,3,4C.0,1,2D.1,2

【答案】C

【解析】

【分析】分別求集合A，B，再求它們的交集.

【詳解】因?yàn)榧螦x∣y2xx∣x2，

BxN∣x23x40xN∣1x40,1,2,3,4，

所以AB0,1,2．

故選：C

2.在下列區(qū)間中，方程3x4x30的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為（）

A.2,1B.1,0C.0,1D.1,2

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可求解.

【詳解】由題意函數(shù)yfx3x4x3單調(diào)遞增，且f020,f140，

由零點(diǎn)存在定理可知方程3x4x30的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間只能為0,1.

故選：C.

3.若x,yR，則“x0”是“xy0”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

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【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若x1,y1，則xy0，所以“x0”不能得出“xy0”；

若x1,y1，則xy0，所以“xy0”不能得出“x0”.

綜上可知，“x0”是“xy0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

4.若正數(shù)x,y滿足x2y23，則xy的最大值為（）

93

A.6B.9C.D.

42

【答案】C

【解析】

【分析】由基本不等式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閤2y2322xy，

39

所以8xy12,xy,xy，

24

3

當(dāng)且僅當(dāng)x3,y時(shí)取等號．

4

故選：C．

5.下列命題的否定是真命題的是（）

A.每個(gè)正方形都是平行四邊形

B.xyy是無理數(shù)}，x3是無理數(shù)

C.mN，m21N

D.aR，關(guān)于x的方程x2ax10有實(shí)數(shù)根

【答案】B

【解析】

【分析】利用相關(guān)知識，逐一分析各命題的真假性，從而得到其否定的真假性，由此得解.

【詳解】對于A，顯然每個(gè)正方形都是平行四邊形，故該命題是真命題，

所以該命題的否定是假命題，故A錯(cuò)誤；

對于B，當(dāng)x32時(shí)，滿足xyy是無理數(shù)}，但x32是有理數(shù)，故該命題是假命題，

所以該命題的否定是真命題，故B正確；

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對于C，當(dāng)m0時(shí)，滿足mN，此時(shí)m211N，故該命題是真命題，

所以該命題的否定是假命題，故C錯(cuò)誤；

對于D，對于方程x2ax10，有=a240恒成立，故該命題是真命題，

所以該命題的否定是假命題，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

6.已知2a5，則lg2（）

1aa1

A.B.C.D.

a1a1a1a1

【答案】A

【解析】

【分析】將指數(shù)式兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，然后利用對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】由2a5得lg2alg5，

10

所以alg2lg1lg2，

2

1

解得lg2，

a1

故選：A.

7.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原

來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳

14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（）

xx

A.yQB.yQ1

NN

xx

121N

C.yQ1D.yQ

N2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，

1

N1N

根據(jù)經(jīng)過年衰減為原來的一半，則，即1，

N1p1p

22

且生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q

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x

所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為yQ1p

x

即1N

yQ

2

故選:D.

8.已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且在,0上單調(diào)遞增，又

0.21.1

af1.1,bf0.2,cflog14，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

2

A.cabB.cba

C.bcaD.abc

【答案】A

【解析】

【分析】由題意得到fx在0,上是減函數(shù)，再根據(jù)00.21.111.10.22判斷.

【詳解】解：fx是定義在R上的偶函數(shù)，且在,0上單調(diào)遞增，

fx在0,上是減函數(shù).

而cflog14f(2)f(2)，

2

00.21.111.10.22，

f0.21.1f1.10.2f(2)，

即cab.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

exex

9.函數(shù)fxx2,gx，則下列選項(xiàng)正確的是（）

2

A.fxgx是偶函數(shù)B.fxgx是奇函數(shù)

C.fgx是偶函數(shù)D.gfx是奇函數(shù)

【答案】BC

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【解析】

【分析】利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論.

exex

【詳解】函數(shù)fxx2,gx，函數(shù)定義域都是R，

2

xxxx

2eeee

fxxx2fx，gxgx，

22

設(shè)h1xfxgx，fxgxfxgxfxgx，

即h1xh1x，h1xfxgx不是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)h2xfxgx，h2xfxgxfxgxh2x，

h2xfxgx是奇函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

設(shè)h3xfgx，h3xfgxfgxfgxh3x，

h3xfgx是偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確；

設(shè)h4xgfx，h4xgfxgfxh4x，

h4xgfx是偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a1bc0，則下列說法正確的是（）

11

A.abB.logalogaC.logaacD.

abcbcb2c2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用冪指對函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.

【詳解】∵a1bc0.

11

∴aaabbb,b2c2,

logaclogab0,即logcalogba，

故A項(xiàng)正確，B,D選項(xiàng)不正確；

c

∵logca0,a0,

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c

∴l(xiāng)ogcaa，

故選項(xiàng)正確

C.

故選：AC

11.已知ax2bxc0的解集是2,3，則下列說法正確的是（）

11

A.不等式cx2bxa0的解集是,

23

128

B.b的最小值是

3b43

2b4

C.若mm有解，則m的取值范圍是m1或m2

b3

2

D.當(dāng)c2時(shí)，fx3ax6bx,xn1,n2的值域是3,1，則n2n1的取值范圍是2,4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得ba,c6a,a0，解不等式判斷A；利用均值不等式計(jì)算判斷B；利用

對勾函數(shù)求范圍判斷C；探討二次函數(shù)值域判斷D作答.

【詳解】因ax2bxc0的解集是（2,3，則2,3是關(guān)于x的方程ax2bxc0的二根，且a0，

bc

于是得1,6，即ba,c6a,a0，

aa

11

對于A，不等式cx2bxa0化為：6x2x10，解得x，故A正確；

23

12121412148

對于B，b0,b3b42··3b4，

3b43b4333b4333

1212

當(dāng)且僅當(dāng)3b4，即b時(shí)取“”，故B正確；

3b433

b41

對于C，b0，令b3t3，則t在t3,上單調(diào)遞增，

b3t

b44b44

即有，因m2m有解，則m2m，

b33b33

11161116

解得m1或m1，故C不正確；

223223

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1222

對于D，當(dāng)c2時(shí)，ba，則fx3ax6bxx2x(x1)1,f(x)f11，

3max

依題意，n11n2，由fx3得，x1或x3，因fx在n1,n2上的最小值為3，

從而得n11,1n23或1n11,n23，因此2n2n14，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.3lg5eln4lg8_____.

【答案】1

【解析】

【分析】利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算法則求解.

【詳解】3lg5eln4lg8，

3lg543lg2，

3lg5lg24，

3lg(25)4，

3lg104，

341，

故答案為：1

x24x1,x0

已知函數(shù)，若方程的實(shí)數(shù)解有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

13.fxxfxk03k

23,x0

____________.

【答案】2,1

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合求解，函數(shù)fx的圖象與直線yk有3個(gè)交點(diǎn)即可求得k的取值范圍.

【詳解】當(dāng)x0時(shí)，fxx24x1,其圖象是拋物線的一部分，f01,最小值為

f24815；

當(dāng)x0時(shí)，fx2x3，其圖象是指數(shù)型函數(shù)的一部分，

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fx的圖象如圖所示：

由圖知函數(shù)fx的圖象與直線yk有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，2k1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,1.

故答案為：2,1.

23

14.若函數(shù)fxloga2xax在區(qū)間1,上為減函數(shù)，則a的取值范圍是________.

2

24

【答案】(0,](1,)

33

【解析】

【分析】令t(x)2xax2，分a1和0a1兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得

即可.

【詳解】解：令t(x)2xax2，則t(x)0，

23

當(dāng)a1時(shí)，ylogx是增函數(shù)，由fxloga2xax在區(qū)間1,上為減函數(shù)，

a2

11

11

a

a

23394

則t(x)2xax在1,上為減函數(shù)，故t0，即3a0，解得1a；

2243

a1a1

23

當(dāng)0a1時(shí)，ylogx是減函數(shù)，由fxloga2xax在區(qū)間1,上為減函數(shù)，

a2

1313

a2a2

32

則t(x)2xax2在1,上為增函數(shù)，故t10，即2a0，解得0a，

23

0a10a1

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24

綜上，a的取值范圍是.(0,](1,).

33

24

故答案為：(0,](1,)

33

四、解答題：本題共5小題，共77分.（15題13分；16，17題15分；18，19題17分）

2x1

15已知集合Axx2a，集合Bx1．

.x2

（1）若a2，求AB；

（2）若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）x2x4

（2）,1

【解析】

【分析】（1）當(dāng)a2時(shí)，化簡集合A，集合B，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得解；

（2）ABA即AB，抓住集合A是否為空集討論，再根據(jù)子集關(guān)系運(yùn)算得解.

【小問1詳解】

若a2，由x22，解得0x4，則Ax0x4，

2x1x3

又1，即0等價(jià)于x2x30，解得2x3，

x2x2

則Bx2x3，

ABx2x4.

【小問2詳解】

由ABA等價(jià)于AB，

當(dāng)a0時(shí)，集合A，符合AB；

當(dāng)a0時(shí)，由x2a，解得2ax2a，

即Ax2ax2a，又Bx2x3，

2a2

，解得0a1，

2a3

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,1.

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x

16.已知函數(shù)fxalogax(a0,a1)．

11

（1）若a4，證明：存在x0,，使fx00成立；

84

（2）若fmf3m4成立；求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）證明過程見答案；

（2）當(dāng)a1時(shí)，m2；當(dāng)0a1時(shí)，m2．

【解析】

x11

【分析】（1）當(dāng)a4時(shí)，fx4logx在(,)上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理證明即可；

484

（2）分a1與0a1兩種情況討論，利用函數(shù)單調(diào)性將fmf3m4等價(jià)轉(zhuǎn)化為解m3m4或

m3m4的不等式即可．

【小問1詳解】

11

當(dāng)a4時(shí)，fx4xlogx在(,)上單調(diào)遞增，

484

111113

844．

f4log42log4820

882

11111

422．

f4log42log44210

44

11

由零點(diǎn)存在性定理知：存在x0,，使fx00成立．得證．

84

【小問2詳解】

當(dāng)a1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，fmf3m4等價(jià)于m3m4，解得m2．

當(dāng)0a1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，fmf3m4等價(jià)于m3m4，解得m2．

綜上：當(dāng)a1時(shí)，m2；當(dāng)0a1時(shí)，m2．

17.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減

慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位t小時(shí)）的

關(guān)系為：

x23691215

y3.23.53.844.14.2

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根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：

為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①ymlog3xn，

②ymx3n，③y2xmn．

（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說明理由；

（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測至少培養(yǎng)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量

達(dá)到5百萬個(gè)．

【答案】（1）ymlog3xn,理由見解析；

（2）81

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在2,有定義，且隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁

殖速度又會(huì)減慢，故只有ymlog3xn符合.

（2）可選取數(shù)據(jù)3,3.5,9,4，帶入即可計(jì)算出m,n，則當(dāng)y5時(shí)即可求出答案.

【小問1詳解】

最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①ymlog3xn，

根據(jù)圖像知函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在2,有定義，所以②ymx3n不滿足，

又隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，所以③y2xmn不符合，

只有①ymlog3xn滿足，故ymlog3xn最符合.

【小問2詳解】

可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：3,3.5,9,4，

3.5mlog33n3.5mnm0.5

代入ymlog3xn得，

4mlog39n42mnn3

則y0.5log3x3，

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當(dāng)y5時(shí)，50.5log3x3log3x4x81，

所以可預(yù)測至少需培養(yǎng)81個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬個(gè).

a2xb

18.已知函數(shù)fxa,bR.

2x1

（1）若fx為奇函數(shù)，證明：ab0；

（2）討論fx的單調(diào)性.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明fx的單調(diào)性.

【小問1詳解】

證明：fx的定義域?yàn)镽，

對xR，都有xR，

又fx為奇函數(shù)，則必有fxfx，

a2xba2xbb2xaa