太湖部分學(xué)校聯(lián)考2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)12月月考試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.2.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)3.已知拋物線，其中，若是方程的兩根，且，則當(dāng)時(shí)，的值（）A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.與零的大小關(guān)系無(wú)法確定4.某拱橋呈拋物線形，水面寬度為8米時(shí)，拱頂離水面4米．當(dāng)水面上升2米后，寬度變?yōu)椋ǎ瓵.4米 B.米 C.米 D.6米5.如圖，直線，直線分別交，，于點(diǎn)，，，直線分別，，于點(diǎn)，，，若，，則的值等于（）A. B. C. D.6.已知的三邊長(zhǎng)分別為、、，的兩邊長(zhǎng)分別是和，如果與相似，那么的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是（）A. B. C. D.7.圖1是《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”實(shí)驗(yàn)圖，圖2是其示意圖，其中物距，像距．若像的高度是m，則物體的高度AB為（）A. B. C. D.8.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形頂點(diǎn)的位置上，連接、相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中提示添加的輔助線，可以得到的值等于（）A. B. C. D.9.若二次函數(shù)與x軸只有1個(gè)公共點(diǎn)，則銳角等于（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．11.若函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為_(kāi)_______．12.已知反比例函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，則的取值范圍是_____．13.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則圖中所形成的三角形中，與相似的三角形是________．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，，連接，以為邊向上作等邊三角形，則線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____．三、計(jì)算題：本大題共2小題，共16分15.已知關(guān)于的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)圖象中只有一個(gè)圖象與軸交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，試求該二次函數(shù)的對(duì)稱軸．16計(jì)算：．四、解答題：本題共7小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17已知二次函數(shù)拋物線經(jīng)過(guò)，．（1）求拋物線的表達(dá)式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像；（2）根據(jù)圖像，直接寫(xiě)出：①當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍．18.某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？19.如圖所示，在的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：________，________；（2）判斷與是否相似？并說(shuō)明理由．20.如圖．在中，，點(diǎn)D、B、C、E在同一條直線上，且．（1）求證：；（2）若，．求BD的長(zhǎng)度．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；（3）在軸上找一點(diǎn)，使值最大，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)．22.如圖，，平分，過(guò)點(diǎn)作交于，連接交于．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．23.【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過(guò)往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)海里的速度向碼頭航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請(qǐng)注意防范．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）求漁船在航行過(guò)程中到燈塔的最短距離；（2）若不改變航行速度，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船能否在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．

太湖部分學(xué)校聯(lián)考2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)12月月考試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別．根據(jù)二次函數(shù)的定義：“形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、，整理，得：，是一次函數(shù)，不符合題意；C、，是二次函數(shù)，符合題意；D、，不是二次函數(shù)，不符合題意；故選C．2.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】A【解析】【分析】本題主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求與的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換的熟練運(yùn)用．由拋物線的開(kāi)口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵圖像開(kāi)口向下，與軸交于正半軸，對(duì)稱軸為，∴，，，∴①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由圖像知，把代入解析式得：，，∴②錯(cuò)誤；∵，，，∴③正確；由①②知且，∴，即，∴，④正確；∵時(shí)，（最大值），時(shí)，，∵的實(shí)數(shù)，，，∴⑤錯(cuò)誤．故正確的是③④，共2個(gè)，故選：A．3.已知拋物線，其中，若是方程的兩根，且，則當(dāng)時(shí)，的值（）A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.與零的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，方程的兩根可看做拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，畫(huà)出圖象進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．①當(dāng)都在x軸正半軸時(shí)，，②當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，，③當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，．【詳解】解：把代入拋物線，解得：，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則方程的兩根可看做拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)都在x軸正半軸時(shí)，由圖可知，在下方，∴，∴，不符合題意；②當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，，由圖可知，，∴，符合題意；∴；③當(dāng)在y軸左側(cè)時(shí)，，由圖可知，，∴，不符合題意；綜上：當(dāng)時(shí)，，故選：A．4.某拱橋呈拋物線形，水面寬度為8米時(shí)，拱頂離水面4米．當(dāng)水面上升2米后，寬度變?yōu)椋ǎ瓵.4米 B.米 C.米 D.6米【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)C且平行于水面的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)C且垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為，由題意得，，利用待定系數(shù)法可得到，再求出時(shí)，x的值即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)C且平行于水面的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)C且垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為，由題意得，，把代入到中得：，解得，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，解得，∵，∴當(dāng)水面上升2米后，寬度變?yōu)槊?，故選：B．5.如圖，直線，直線分別交，，于點(diǎn)，，，直線分別，，于點(diǎn)，，，若，，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)平行線分線段成比列得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】直線，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線線段成正比例，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出問(wèn)題所求的關(guān)鍵．6.已知的三邊長(zhǎng)分別為、、，的兩邊長(zhǎng)分別是和，如果與相似，那么的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．結(jié)合選項(xiàng)的數(shù)值進(jìn)行分析，判斷是否符合三邊成比例，如果符合三邊成比例，那么與相似，否則與不相似，即可作答．【詳解】解：A、，，此時(shí)，故這兩個(gè)三角形的三邊成比例，符合與相似，故該選項(xiàng)符合題意；B、，，此時(shí)，∵，故這兩個(gè)三角形的三邊不成比例，不符合與相似，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，，此時(shí)，∵，故這兩個(gè)三角形的三邊不成比例，不符合與相似，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，，此時(shí)，∵，故這兩個(gè)三角形的三邊不成比例，不符合與相似，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．7.圖1是《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”實(shí)驗(yàn)圖，圖2是其示意圖，其中物距，像距．若像的高度是m，則物體的高度AB為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出進(jìn)而根據(jù)列出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∵，．，∴，∴物體的高度為．故選：C．8.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形頂點(diǎn)的位置上，連接、相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中提示添加的輔助線，可以得到的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，過(guò)點(diǎn)B作于H，先證明，進(jìn)而解直角三角形得到，，再證明得到，則，利用勾股定理求出，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于H，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，故選：B．9.若二次函數(shù)與x軸只有1個(gè)公共點(diǎn)，則銳角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的交點(diǎn)與一元二次方程根之間的關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值．二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，據(jù)此即可求得．【詳解】解：∵，，，根據(jù)題意得：，解得：，銳角等于，故選：D．10.如圖，在中，，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，則，設(shè)，則，然后通過(guò)勾股定理求出的值即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴由勾股定理得：，∴，解得：，∴，故選：．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．11.若函數(shù)是二次函數(shù)，則值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．一般地，形如是二次函數(shù)．【詳解】∵是二次函數(shù)，∴，且，解得．故答案為：2．12.已知反比例函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，則的取值范圍是_____．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解不等式等知識(shí)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．13.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則圖中所形成的三角形中，與相似的三角形是________．【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定，利用兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【詳解】解：觀察圖象可知，．故答案為：．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，，連接，以為邊向上作等邊三角形，則線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)B作軸于H，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)正弦的定義，得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，再結(jié)合角之間的數(shù)量關(guān)系，得出軸，再根據(jù)的長(zhǎng)，得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作軸于H，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴軸，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，把,代入解析式，可得：，解得：，∴線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，解本題的關(guān)鍵是正確得出點(diǎn)的坐標(biāo)．三、計(jì)算題：本大題共2小題，共16分15.已知關(guān)于的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)圖象中只有一個(gè)圖象與軸交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，試求該二次函數(shù)對(duì)稱軸．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系利用其根的判別式判斷函數(shù)圖象與橫軸的交點(diǎn)問(wèn)題．（1）首先計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的，大于零則與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，否則有一個(gè)或沒(méi)有交點(diǎn)；（2）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求得未知數(shù)的值后求對(duì)稱軸即可．【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于關(guān)于的二次函數(shù)，由于，所以此函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)．對(duì)于關(guān)于的二次函數(shù)，由于，所以此函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．故圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的二次函數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】解：將代入，得，整理，得，解得或，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線．16.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了三角函數(shù)特殊值的運(yùn)用以及四則運(yùn)算的順序．關(guān)鍵在于牢記三角函數(shù)特殊值．先明確三角函數(shù)的特殊值：，，，，．然后按照先算乘方、再算乘除、最后算加減的順序計(jì)算即可．【詳解】解：原式．四、解答題：本題共7小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知二次函數(shù)拋物線經(jīng)過(guò)，．（1）求拋物線的表達(dá)式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像；（2）根據(jù)圖像，直接寫(xiě)出：①當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍．【答案】（1），見(jiàn)解析（2）①②【解析】【分析】(1)把坐標(biāo)代入解析式轉(zhuǎn)化方程組計(jì)算即可．(2)①計(jì)算拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意計(jì)算即可．②利用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)算即可．熟練掌握拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】∵二次函數(shù)拋物線經(jīng)過(guò)，．∴解得，故拋物線的解析式為．畫(huà)圖像如下：．【小問(wèn)2詳解】①根據(jù)題意，得，解得，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍是．②∵，∴對(duì)稱軸為直線，∴在自變量范圍內(nèi)，∴函數(shù)值的最大值為；∵拋物線開(kāi)口向下，∴距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，∵，∴，函數(shù)值最小，，故函數(shù)值的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，函數(shù)的增減性，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2【解析】【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵BC=x，矩形CDEF面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長(zhǎng)度為10，∴0＜3x≤0，∴0＜x≤，∵-3<0，∴x＜4時(shí)，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.如圖所示，在的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：________，________；（2）判斷與是否相似？并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出的度數(shù)，根據(jù)和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，利用勾股定理即可求出線段的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)相似三角形的判定定理：對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等，即可證明與相似．【小問(wèn)1詳解】，；故答案為：；．【小問(wèn)2詳解】相似，理由如下:，又，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根據(jù)圖形得到兩個(gè)三角形的邊與邊、角與角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．20.如圖．在中，，點(diǎn)D、B、C、E在同一條直線上，且．（1）求證：；（2）若，．求BD的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．（1）等邊對(duì)等角結(jié)合平角的定義，得到，結(jié)合，即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∴，∴，又∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；（3）在軸上找一點(diǎn)，使的值最大，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為（2）的取值范圍為或（3）的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長(zhǎng)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及直線與雙曲線的位置關(guān)系求x的取值范圍；（3）根據(jù)一次函數(shù)，求得與y軸的交點(diǎn)P，此交點(diǎn)即為所求．【小問(wèn)1詳解】解：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，，把，的坐標(biāo)代入，可得，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問(wèn)2詳解】解：∵，，結(jié)合圖象可得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或．【小問(wèn)3詳解】解：在中，令，則，一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，該點(diǎn)即為所要求的點(diǎn)，此時(shí)，的值最大，為的長(zhǎng)．令，則，，，的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．22.如圖，，平分，過(guò)點(diǎn)作交于，連接交于．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由平分得到，則可判斷，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）先證明得到，再證明得到，則，接著利