試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖北省十堰市鄖陽中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)科特長生招生考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本卷共有4頁，22小題，滿分150分，考試時(shí)限120分鐘.2.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡指定的位置，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)和姓名，在答題卡規(guī)定的位置貼好條形碼.3.選擇題必須使用2B鉛筆在指定位置填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆答題，不得使用鉛筆或圓珠筆等筆作答.要求字體工整，筆跡清晰.請(qǐng)按照題目序號(hào)在答題卡對(duì)應(yīng)的各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題卡區(qū)域的答案和在試卷、草稿紙上答題無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷、答題卡和草稿紙一并上交.一、選擇題（本題共10小題，每小題5分，共計(jì)50分）1．如圖，對(duì)于以下結(jié)論：①②③，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．02．甲、乙、丙、丁各有一個(gè)不同的號(hào)碼，趙同學(xué)說：乙是2號(hào)，丁是4號(hào)；錢同學(xué)說：乙是1號(hào)，丙是4號(hào)；孫同學(xué)說：甲是4號(hào)，丁是3號(hào)；李同學(xué)說：甲是1號(hào)，丙是3號(hào)，他們每個(gè)人都說對(duì)了一半，則丁是（

）號(hào).A．1 B．2 C．3 D．43．一組數(shù)據(jù)為5、3、7、2、4、3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與方差分別是（

）A． B． C． D．4．如果四個(gè)互不相等的正整數(shù)m、n、p、q滿足，則的最大值為（

）A．40 B．48 C．50 D．525．如圖，線段，射線BM與AB垂直，點(diǎn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線BM上，且，作并取，連接AF并延長交射線BM于點(diǎn).設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．6．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程恒成立，則m，n的值是（

）A． B． C． D．7．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)8．若關(guān)于的不等式組最多有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的一元一次方程的解為負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為（

）A．13 B．18 C．21 D．269．如圖所示，將“”按照一定規(guī)律擺成下列4個(gè)圖形，第1幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為，以此類推，則（

）A． B． C． D．10．如圖，半圓的半徑為1，A，B在半圓上，且相交于點(diǎn).現(xiàn)將從OA與OC重合的位置開始，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn).給出以下結(jié)論：①的長與的長之和為定值

②使得的的值恰有一個(gè)③點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為.則下列說法正確的是（

）A．①對(duì)②對(duì) B．②錯(cuò)③對(duì) C．①對(duì)③錯(cuò) D．①錯(cuò)③對(duì)二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共計(jì)30分）11．如圖，，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為.12．若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．對(duì)于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，若，則.14．對(duì)于函數(shù)（其中為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)取得最小值，則函數(shù)的最小值為.15．拋物線的部分圖象如圖所示，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間.給出以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立；⑤一元二次方程的兩根為，則.則正確的結(jié)論是.（填序號(hào)）16．已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)到軸的距離不大于2時(shí)，的取值范圍是；（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離不大于時(shí)，的取值范圍是，則的值為．三、解答題（本題共6小題，共計(jì)70分）17．（1）計(jì)算：；（2）若實(shí)數(shù)滿足，求的值.18．已知關(guān)于的方程(1)若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．給出以下等式：(1)觀察以上各式的規(guī)律，可以得到：_____________（直接寫結(jié)果，其中為正整數(shù)）(2)利用以上等式，完成下列兩題：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)，試比較與1的大小關(guān)系；②求值：20．如圖，四邊形是邊長為的菱形，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).若邊固定，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，(1)證明：動(dòng)點(diǎn)在定圓上；(2)設(shè)（1）中的定圓的圓心為，當(dāng)時(shí)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，試求的面積.21．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)到軸的距離為.(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖像開口向上時(shí)，如圖所示，設(shè)圖像與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為C，直線與軸交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)F，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為E（E在BC的下方）.記的面積為的面積為，當(dāng)取最大值時(shí)，求；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)E作對(duì)稱軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，則在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】根據(jù)數(shù)軸，得到，再通過不等式性質(zhì)逐個(gè)命題判斷.【詳解】由數(shù)軸可知：，所以，所以，故①正確.因?yàn)?，所以，所以，故②錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故③正確.綜上，正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B2．C【分析】假設(shè)丁的號(hào)碼，推導(dǎo)是否有矛盾進(jìn)行排除即可；【詳解】若丁是1號(hào)，錢同學(xué)說“丙是4號(hào)”為真，則李同學(xué)說的全錯(cuò)；若丁是2號(hào)，則趙同學(xué)說的全錯(cuò)；若丁是4號(hào)，則孫同學(xué)說的全錯(cuò)；若丁是3號(hào)，趙同學(xué)說的“乙是2號(hào)”為真，錢同學(xué)說的“丙是4號(hào)”為真，李同學(xué)說的“甲是1號(hào)”為真，符合題意；故選：C.3．D【分析】先求出平均數(shù)，代入方差公式求解方差，將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后利用中位數(shù)的概念求解中位數(shù).【詳解】由題意，則方差數(shù)據(jù)從小到大排列為2、3、3、4、5、7，其中位數(shù)為.故選：D4．C【分析】通過9的整數(shù)因子有，確定構(gòu)成的集合，即可求解.【詳解】因?yàn)?的整數(shù)因子有，由題意互不相等，所以構(gòu)成的集合只能是，即構(gòu)成的集合是，要使得取得最大值，則，此時(shí)，故選：C5．A【分析】作于，利用全等三角形性質(zhì)及平行線分線段成比例定理列式求解.【詳解】作于，由，得，在與中，，則≌，于是，，由，，得，因此，即，所以.故選：A6．B【分析】對(duì)原方程進(jìn)行化簡，根據(jù)方程恒成立的條件，列出方程組，求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當(dāng)方程恒成立時(shí)，可得，解得.故選：B.7．A【分析】根據(jù)不同圖形中的面積的等量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.【詳解】對(duì)于第一個(gè)圖形，根據(jù)直角梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和得，，整理得，可以驗(yàn)證勾股定理；對(duì)于第二個(gè)圖形，由圖形可知，割補(bǔ)前后的兩個(gè)小直角三角形全等，則原圖形面積等于正方形的面積，即，化簡得，可以驗(yàn)證勾股定理；對(duì)于第三個(gè)圖形，大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形面積，即，整理得，可以驗(yàn)證勾股定理；對(duì)于第四個(gè)圖形，右上角正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上正方形的面積，即，整理得，可以驗(yàn)證勾股定理.所以四個(gè)圖形都能夠驗(yàn)證勾股定理.所以能夠驗(yàn)證勾股定理的圖形有4個(gè).故選：A8．A【分析】根據(jù)不等式組最多有兩個(gè)整數(shù)解和方程的解為負(fù)數(shù)列出不等式組，解不等式組結(jié)合為整數(shù)即可求解.【詳解】由關(guān)于的不等式組可得，因?yàn)樵摬坏仁浇M最多有兩個(gè)整數(shù)解，所以，解得；由關(guān)于的一元一次方程可得，因?yàn)樵摲匠痰慕鉃樨?fù)數(shù)，所以，解得；綜上，的取值范圍為，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或，則符合條件的所有整數(shù)的和為.故選：A9．C【分析】由題意得，，利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解.【詳解】由題意可得，則，所以.故選：C10．B【分析】求出即可判斷①；先根據(jù)圓周角定理求得，從而可得，由此即可判斷②；取點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡所在圓上一點(diǎn)，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，再利用弧長公式求解可判斷③.【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以，所以的長與的長之和為定值，故①正確；由圓周角定理得，所以，所以為定值.使得的的值有無數(shù)個(gè)，故②錯(cuò)誤；所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧，如圖，取點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡所在圓上一點(diǎn)，則，所以，如圖，連接，則，（等腰三角形的三線合一），因?yàn)閳A的半徑為1，所以，所以，所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為，故③正確.故選：B.11．【分析】分別作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)全等推出當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，周長有最小值以及為等腰直角三角形，進(jìn)而計(jì)算即可.【詳解】分別作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，易得，，則周長為，顯然，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，周長有最小值，最小值為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故，故周長的最小值為.故答案為：12．【分析】令，由題可得，即可求解.【詳解】令，由題知當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.13．8【分析】根據(jù)條件得，令，則，從而可求出，即可求解.【詳解】由，得到，令，則，所以，則，解得，即，由，得到，所以，故答案為：.14．【分析】將函數(shù)整理成的形式，利用結(jié)論“對(duì)于函數(shù)（其中為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)取得最小值”求解.【詳解】函數(shù)即函數(shù)可看作個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)之和，其中包含1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.故答案為：15．①③④【分析】①根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷；②根據(jù)當(dāng)時(shí)，以及對(duì)稱性判斷；③根據(jù)時(shí)判斷；④利用判斷；⑤先將一元二次方程化簡，再結(jié)合韋達(dá)定理以及判斷.【詳解】因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，故①正確；因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以當(dāng)，時(shí)函數(shù)值相等，又拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，又時(shí)，故，得，故③正確；因?yàn)?，所以關(guān)于的一元二次方程滿足，又，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，故④正確；因?yàn)?，所以，所以可化為，因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛鶠椋裕?，，則故的值由共同決定，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①③④16．【分析】（1）由解析式得到拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，求得點(diǎn)到軸的距離為2時(shí)的函數(shù)值，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得符合題意的的取值；（2）由點(diǎn)到直線的距離不大于即可得到，解得，根據(jù)的取值范圍是得到或，即可求得的值為或2．【詳解】（1），拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，函數(shù)有最小值2，點(diǎn)是拋物線上，且點(diǎn)到軸的距離不大于2，，時(shí)，；時(shí)，，．故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，則，解得或；的取值范圍是，或，點(diǎn)到直線的距離不大于，，，，當(dāng)在對(duì)稱軸左邊時(shí)：，當(dāng)在對(duì)稱軸右邊時(shí)：，的值為或2．故答案為：．17．（1）（2）2024【分析】（1）由特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的定義及分式分母有理化化簡求值；（2）由根式、指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡求值.【詳解】（1）=；（2）因?yàn)?，所以，所以，即，即，所以，所?18．(1)(2)【分析】（1）分，兩類情況討論求解即可；（2）由判別式和韋達(dá)定理列出不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，若方程有實(shí)根，需滿足，即，解得，且，綜上，若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由題意結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得：，且，即，且，解得：，且，即，故方程有兩個(gè)正實(shí)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．(1)(2)①；②【分析】（1）觀察給定等式，利用規(guī)律寫出答案.（2）①利用（1）中結(jié)論變形計(jì)算，結(jié)合實(shí)數(shù)的偶次方為非負(fù)數(shù)即得；②利用（1）中結(jié)論變形計(jì)算即得.【詳解】（1）根據(jù)規(guī)律可得.（2）①，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，，則，所以.②依題意，，因?yàn)樗?20．(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合菱形的性質(zhì)，相似三角形的比例關(guān)系和圓的定義證明即可；(2)建立平面直角坐標(biāo)系，確定各個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的交點(diǎn)，并求出另一個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算出的長度和三角形的高點(diǎn)到直線的距離，最后運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榱庑危?，且，是中點(diǎn)，所以.由，可得，即，由此可得，即是線段上靠近的三等分點(diǎn).取上一定點(diǎn)，且靠近的三等分點(diǎn)，連接，則，所以，因此，故的長度為定值，且是定點(diǎn).所以動(dòng)點(diǎn)在定圓上.（2）當(dāng)時(shí)，菱形為正方形，邊長為，以為原點(diǎn)，所在直線方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系.則，由(1)可得圓的圓心為，半徑為，則圓方程為，直線的斜率，方程為，直線的斜率，方程為，所以聯(lián)立直線與直線的方程，得到交點(diǎn)，同時(shí)將直線的方程代入圓的方程中得，，整理得，解得，即.又因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為.21．(1)(2)或【分析】（1）由時(shí)，令，轉(zhuǎn)化為，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解；（2）由得到，再分，和，由求解..【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，得，令，其圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以由圖象知：；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以在時(shí)，，由題意需，解得；當(dāng)時(shí)，開口向下，則在或處取得最小值，由題意需，解得；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或.22．(1)或(2)(3)存在，【分析】（1）由已知設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入已知點(diǎn)求解；（2）將表示為的函數(shù)，求其取最值時(shí)的，利用直線與拋物線聯(lián)立所得方程反求值；（3）由線段與拋物線不相交，判斷點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證求解.【詳解】（1）由已知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)解析式