《函數(shù)模型的應(yīng)用（第二課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解各函數(shù)模型的的特點，能根據(jù)實際問題的需求，合理選擇函數(shù)模型解決實際問題；2.準(zhǔn)確把握用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的基本過程；3.在實際問題的解決過程中，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)重點：選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的一般過程．教學(xué)難點：如何選擇合適的函數(shù)類型建立實際問題的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘（一）溫故知新回顧一下我們曾經(jīng)用過的函數(shù)模型(1)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流．教師提問：我們一起回顧常見函數(shù)模型，而在實際問題中，有的能應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決，有的需要根據(jù)問題的條件建立函數(shù)模型加以解決．設(shè)計意圖：通過對常見函數(shù)模型的回顧，提出新的問題，運用函數(shù)模型分析解決實際問題．14分鐘例題教學(xué)例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？問題1：請初步選擇一種你認(rèn)為合適的投資方案．追問：（1）你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型嗎？（2）三個方案的本質(zhì)是三個不同的函數(shù)模型，如何選擇一個標(biāo)準(zhǔn)來比較它們的差異，從而選擇合適的函數(shù)模型？（3）根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù)，你對三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認(rèn)識？（4）你能借助計算工具作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象描述一下三種方案的特點嗎？師生活動：教師可提出進(jìn)一步的問題，指導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生正確寫出三種投資方案所對應(yīng)的每天回報金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長情況，作出需要分投資天數(shù)進(jìn)行選擇的初步判斷．設(shè)計意圖：例題教學(xué)除了關(guān)注例題本身承載的教學(xué)目的外，還要注意不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)上的差異，本例設(shè)問意在分層次、有針對性地給出不同的臺階，做到“總體引導(dǎo)，分層指導(dǎo)”，結(jié)合學(xué)生的實際情況，利用追問逐步深入．追問（1）意在指導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；追問（2）意在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同函數(shù)的增長差異選擇合適的函數(shù)模型；追問（3）意在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)表對三種模型的增長情況進(jìn)行分析，借助增加量初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快，一次函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增長得快，尤其是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察增加量體會指數(shù)函數(shù)（x）的增長速度；追問（4）意在借助計算結(jié)果與圖象直觀理解“指數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的實際含義，并通過描述三種方案的特點，為下一個問題埋下伏筆．這里可以提示學(xué)生，用數(shù)表和圖象分別呈現(xiàn)它們的變化趨勢，各有優(yōu)勢，數(shù)表準(zhǔn)確，但對于趨勢的刻畫并不直觀，而圖象則可以直觀刻畫出三者的變化趨勢，但從圖中并不能準(zhǔn)確讀出精確數(shù)據(jù)。讓學(xué)生學(xué)會在不同場景，不同需求下作出正確選擇．問題2：僅僅分析每天的回報數(shù)就能準(zhǔn)確作出選擇嗎？關(guān)于三種投資方案的選擇，你應(yīng)當(dāng)如何判斷？追問：教科書152頁邊空的問題中，是根據(jù)投資天數(shù)作出不同方案的選擇，劃分天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這種劃分正確嗎？師生活動：教師可根據(jù)學(xué)生的思考，指出計算每月回報的增加量（或增長率）是對數(shù)據(jù)的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數(shù)模型的增長差異，但要具體到投資的天數(shù)，回報的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據(jù)，然后利用下述追問引導(dǎo)學(xué)生選擇累計的回報數(shù)進(jìn)行判斷，作出正確的回答．最后，在問題2的基礎(chǔ)上，給出本題的完整解答．指數(shù)增長用在收入上是好事，但如果是借錢還款的模式，后果不堪設(shè)想，提醒學(xué)生警惕生活中的陷阱，例如“校園貸”、“套路貸”等騙局，要學(xué)會用數(shù)學(xué)知識保護(hù)自己！設(shè)計意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時間內(nèi)累計的回報．最后借助計算工具，得出總收益并作出正確判斷．例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．三個獎勵模型：，，，其中哪個模型能符合公司的要求？提示學(xué)生注意，題目的兩個條件有選擇的先驗證，即不能超過五萬；要讓學(xué)生從思想的角度給出判斷和理由，因為這也是在處理實際問題時必須要關(guān)注的一件事，先驗證比較容易實現(xiàn)的，或者可以快速篩選下去不符合條件的選項．問題3：根據(jù)題目條件，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個獎勵模型才符合公司的要求？追問：（1）公司提出的要求與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？這對選擇函數(shù)模型有什么幫助？（2）函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合公司的要求．為此，你能否作出函數(shù)圖象，并通過觀察作出初步的判斷嗎？師生活動：教師可以在學(xué)生思考問題3的基礎(chǔ)上，提出追問中的問題，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目條件，分析例題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定符合公司要求的函數(shù)模型．設(shè)計意圖：這里依然關(guān)注教學(xué)的生成，繼續(xù)在總體指導(dǎo)下有針對性地給出不同臺階的分層問題．追問（1）意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實際問題的變化規(guī)律，并建立與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系，為選擇合適模型做好準(zhǔn)備；追問（2）意在引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出初步判斷，從而實現(xiàn)將實際問題向函數(shù)模型轉(zhuǎn)化．問題4：你能說明選擇模型的理由，并給出本題的解答嗎？在給出解答這個環(huán)節(jié)要注意方法的選擇，有的可以通過直接計算得出結(jié)論，有的則需借助趨勢判斷，有的借助計算工具完成估算，要注意這里的細(xì)節(jié)處理．特別是第二個條件的驗證，中間包含了很多數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化策略，如何利用函數(shù)性質(zhì)和信息技術(shù)配合論證等，這些對于處理復(fù)雜的實際問題都有指導(dǎo)意義，注意挖掘．追問：（1）你是如何判定所選擇的獎勵模型是否符合要求？（2）能否給出本題的解答過程？師生活動：教師在學(xué)生嘗試給出解答的基礎(chǔ)上，通過追問中的問題作進(jìn)一步的指導(dǎo)，幫助學(xué)生從畫函數(shù)圖象入手，通過觀察函數(shù)的圖象，得出初步的判斷，再通過具體計算求解得出正確結(jié)果．設(shè)計意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析實際問題，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，給出正確解答．追問（1）意在引導(dǎo)學(xué)生指出判斷依據(jù)；追問（2）意在指導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)解題基本思路，從而學(xué)習(xí)運用函數(shù)觀點分析問題．5分鐘（三）課堂練習(xí)1．為了能在規(guī)定時間內(nèi)完成預(yù)期的運輸量，某運輸公司提出了五種運輸方案，每種方案的運輸量Q與時間t的關(guān)系如下圖所示．運輸效率（單位時間內(nèi)的運輸量）逐步提高的圖象編號是______________．②2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C3．若等腰三角形的周長為20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)D設(shè)計意圖：考查根據(jù)題目條件，選擇和求解函數(shù)模型刻畫實際問題的變化規(guī)律．3分鐘（四）歸納總結(jié)、布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識，并回答以下問題：通過解答以上兩道例題的實際問題，并結(jié)合上節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容，你能歸納出用建立函數(shù)模型解決實際問題的基本過程嗎？用框圖將本節(jié)課內(nèi)容多歸納總結(jié)設(shè)計意圖：總結(jié)用建立函數(shù)模型解決實際問題的基本過程，提升解決實際問題的能力．布置作業(yè)：課后練習(xí)．課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.2.有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-12 D.答案C解析當(dāng)t=4時,選項A中的V=log24=2,選項B中的V=log124選項C中的V=42-12選項D中的V=2×4-2=6,故選C.3.(多選題)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則使產(chǎn)品達(dá)到市場要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.7答案BC解析設(shè)經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達(dá)到市場要求,則2100×23n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)4.(2021福建福州三中高一期末)地震釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.據(jù)此推斷里氏8.0級地震所釋放的能量與里氏5.0級地震所釋放的能量的倍數(shù)是()A.lg4.5倍 B.4.510倍C.450倍 D.104.5倍答案D解析設(shè)里氏8.0級和里氏5.0級地震所釋放的能量分別為E1和E2,則lgE1=4.8+1.5×8,lgE2=4.8+1.5×5,所以lgE1E2=lgE1-lgE2=則E1E2=104.5,即E1=104.5E2.5.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(單位:km/s)和燃料質(zhì)量M(單位:kg)、火箭質(zhì)量m(單位:kg)的關(guān)系是v=2000ln1+Mm.若火箭的最大速度為9240km/s,則Mm≈()(參考數(shù)值:e4.62≈101)A.1100 B.C.10 D.100答案D解析由題意,火箭的最大速度v和燃料質(zhì)量M、火箭質(zhì)量m的關(guān)系是v=2000ln1+Mm,可得v=2000ln1+Mm=9240,即ln1+Mm=92402000=4.62,所以1+Mm=e4.62≈101,可得Mm=1006.已知某個病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖個.

答案2ln21024解析當(dāng)t=0.5時,y=2,∴2=e12k,∴k=∴y=e2tln2.當(dāng)t=5時,y=e10ln2=210=1024.7.一個駕駛員喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,根據(jù)有關(guān)規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.2mg/mL,那么這個駕駛員至少要經(jīng)過h才能開車(結(jié)果精確到1h,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.30,lg3≈0.48).

答案2解析設(shè)經(jīng)過nh后才能開車,此時酒精含量為0.3(1-25%)n.根據(jù)題意,有0.3(1-25%)n≤0.2,則有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg將已知數(shù)據(jù)代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要經(jīng)過2h才能開車8.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸,2016年的年增長率為50%,有專家預(yù)測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,從哪年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸,n表示從2015年開始增加的年份的數(shù)量,由題意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,n∈N*,當(dāng)y=4000時,有32n=10,兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)=1,∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,∴從2015+6=2021年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.等級考提升練9.(2021廣西河池高一期末)某化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為()A.106噸 B.108噸 C.110噸 D.112噸答案B解析因為化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100×(1+20%)=120(噸).又因為二月份比一月份減產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為120×(1-10%)=108(噸).故選B.10.(2021福建福州高一期末)已知比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強(qiáng)級L(噪音級)為30~40分貝(符號:dB),聲強(qiáng)I(單位:W/m2)與聲強(qiáng)級L(單位:dB)的函數(shù)關(guān)系式為I=b·10aL(a,b為常數(shù)).某型號高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強(qiáng)為10-5.2W/m2,聲強(qiáng)級為68dB,駛進(jìn)市區(qū)附近降低速度后的聲強(qiáng)為10-6.5W/m2,聲強(qiáng)級為55dB,若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時的聲強(qiáng)級達(dá)到安靜環(huán)境要求,則聲強(qiáng)的最大值為()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m2答案B解析由題意可知1解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以當(dāng)L取最大值40時,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故選B.11.(多選題)(2021江蘇連云港高二期末)已知2000年底,人類知識總量為a,假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番,從2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天計算)是每73天翻一番,則下列說法正確的是()A.2006年底人類知識總量是2aB.2009年底人類知識總量是8aC.2019年底人類知識總量是213aD.2020年底人類知識總量是218a答案BCD解析2006年底人類知識總量為a×2×2=4a,故A錯誤;2009年底人類知識總量為a×2×2×2=8a,故B正確;2019年底人類知識總量為8a×210=213a,故C正確;2020年底人類知識總量為213a×25=218a,故D正確.故選BCD.12.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險狀態(tài),經(jīng)搶修后恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬分之一),經(jīng)檢驗知,該地下車庫一氧化碳濃度y(單位:ppm)與排氣時間t(單位:分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=27-mt(m為常數(shù)),則m=;若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,那么至少需要排氣分鐘才能使這個地下車庫中一氧化碳含量達(dá)到正常狀態(tài).

答案14解析∵函數(shù)y=27-mt(m為常數(shù))經(jīng)過點(4,64),∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).13.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測,記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:強(qiáng)度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級/里氏5.05.25.35.4注:地震強(qiáng)度是指地震時釋放的能量.地震強(qiáng)度x和震級y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于.(取lg2≈0.3進(jìn)行計算)

答案2解析由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x=1.6×1019時,y=5.0,x=3.2×1019時,y=5.2.所以5②-①,得0.2=alg3.2×10191.所以a=0.14.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個月時,剩留量會低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時間分別是t1,t2,t3其中所有正確的敘述是.(填序號)

答案①③解析由圖象可得,當(dāng)t=2時,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當(dāng)t=4時,有害物質(zhì)的剩余量為y=234=1681第一個月的減少量為1-23第二個月的減少量為23?232=2③由已知23t1=12,23t2=14,2315.(2021福建寧德高一期末)為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,設(shè)水過濾前的量為1,過濾次數(shù)為