2025年CFA一級《數(shù)量方法》習(xí)題集考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統(tǒng)計(jì)1.某投資組合包含三種資產(chǎn)，其收益率如下表所示。計(jì)算該投資組合的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。|資產(chǎn)|收益率||---|---||A|10%||B|15%||C|-5%|2.一個(gè)樣本的觀測值為：5,7,9,11,13。計(jì)算該樣本的中位數(shù)和四分位數(shù)（Q1,Q3）。3.某股票的收益率服從正態(tài)分布，其均值為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%。計(jì)算該股票收益率超過20%的概率。4.一個(gè)投資組合的收益率與市場指數(shù)的收益率的相關(guān)系數(shù)為0.6，市場指數(shù)的方差為0.04。如果該投資組合的方差為0.09，計(jì)算該投資組合的期望收益率與市場指數(shù)的期望收益率之差。5.解釋偏度和峰度的概念，并說明它們分別反映了數(shù)據(jù)分布的哪些特征。二、概率分布1.某公司生產(chǎn)的電子元件的次品率為10%?，F(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)元件，計(jì)算其中恰好有2個(gè)次品的概率。2.某項(xiàng)研究表明，某城市每天的平均交通事故數(shù)服從泊松分布，參數(shù)為3。計(jì)算該城市某天發(fā)生5起或更少交通事故的概率。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，計(jì)算P(X<1.96)和P(-1.96<X<1.96)。4.設(shè)隨機(jī)變量X服從自由度為10的t分布，計(jì)算P(X>2)。5.設(shè)隨機(jī)變量X1和X2分別服從自由度為10和15的F分布，計(jì)算P(X1>2.5)和P(X2<3.5)。三、概率論1.已知事件A和事件B的概率分別為0.5和0.7，且P(A|B)=0.6。計(jì)算P(B|A)。2.一個(gè)盒子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)抽取2個(gè)球。計(jì)算抽到2個(gè)紅球的概率。3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望值分別為E(X)=5,E(Y)=10，方差分別為Var(X)=4,Var(Y)=9，協(xié)方差為Cov(X,Y)=-2。計(jì)算E(2X-3Y)和Var(X+Y)。4.解釋貝葉斯定理的含義，并說明其在投資決策中的應(yīng)用。5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X服從N(0,1)，Y服從N(2,1)。計(jì)算E(XY)和Var(X+2Y)。四、假設(shè)檢驗(yàn)1.某公司聲稱其生產(chǎn)的電池的平均壽命至少為100小時(shí)?，F(xiàn)隨機(jī)抽取50節(jié)電池，樣本平均壽命為98小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10小時(shí)。假設(shè)電池壽命服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該公司聲稱是否成立（顯著性水平為0.05）。2.某投資經(jīng)理聲稱其管理的投資組合的年化收益率高于市場指數(shù)的年化收益率。市場指數(shù)的年化收益率為15%，該投資組合的樣本數(shù)據(jù)如下：14%,16%,13%,17%,15%。檢驗(yàn)該投資經(jīng)理的聲稱是否成立（顯著性水平為0.10）。3.解釋假設(shè)檢驗(yàn)的第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義，并說明它們之間的關(guān)系。4.某研究假設(shè)某種新藥能夠降低血壓。現(xiàn)隨機(jī)抽取100名患者，其中50名服用新藥，50名服用安慰劑。服藥后，服用新藥組的平均血壓降低了5個(gè)單位，標(biāo)準(zhǔn)差為10個(gè)單位；服用安慰劑組的平均血壓降低了2個(gè)單位，標(biāo)準(zhǔn)差為8個(gè)單位。檢驗(yàn)該新藥是否能夠有效降低血壓（顯著性水平為0.01）。5.解釋置信區(qū)間的概念，并說明其在實(shí)際應(yīng)用中的作用。五、回歸分析1.某分析師研究了股票收益率與公司規(guī)模之間的關(guān)系，收集了30家公司的數(shù)據(jù)，并建立了簡單線性回歸模型。模型的回歸系數(shù)分別為：截距項(xiàng)為0.05，斜率為-0.001。解釋該模型的含義。2.某房地產(chǎn)經(jīng)紀(jì)人研究了房屋價(jià)格與房屋面積、房屋年齡之間的關(guān)系，收集了50套房屋的數(shù)據(jù)，并建立了多元線性回歸模型。模型的回歸系數(shù)分別為：截距項(xiàng)為50000，面積系數(shù)為200，年齡系數(shù)為-1000。解釋該模型的含義，并計(jì)算一套面積為2000平方米，年齡為10年的房屋的預(yù)測價(jià)格。3.解釋回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，并說明其作用。4.解釋回歸模型的R平方的含義，并說明其取值范圍。5.解釋回歸模型的殘差分析，并說明其作用。試卷答案一、描述性統(tǒng)計(jì)1.樣本均值=(10%+15%-5%)/3=5.67%樣本方差=[(10%-5.67%)^2+(15%-5.67%)^2+(-5%-5.67%)^2]/(3-1)=0.0459樣本標(biāo)準(zhǔn)差=sqrt(0.0459)=6.77%解析思路：先計(jì)算樣本均值，然后計(jì)算樣本方差，最后開方得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.將數(shù)據(jù)排序：5,7,9,11,13中位數(shù)=9Q1=(7+9)/2=8Q3=(11+13)/2=12解析思路：先對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，中位數(shù)是排序后中間的數(shù)，四分位數(shù)是四分之一和四分之三點(diǎn)位置上的數(shù)。3.Z=(20%-12%)/8%=1P(X>20%)=P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587解析思路：將收益率轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z分?jǐn)?shù)，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到概率。4.協(xié)方差=相關(guān)系數(shù)*標(biāo)準(zhǔn)差X*標(biāo)準(zhǔn)差Y=0.6*sqrt(0.04)*sqrt(0.09)=0.012期望收益率之差=協(xié)方差/方差Y=0.012/0.04=0.3解析思路：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，先計(jì)算協(xié)方差，然后根據(jù)協(xié)方差和方差的關(guān)系計(jì)算期望收益率之差。5.偏度反映數(shù)據(jù)分布的對稱性。偏度為0表示對稱分布，大于0表示右偏，小于0表示左偏。峰度反映數(shù)據(jù)分布的尖峭程度。峰度為0表示正態(tài)分布，大于0表示尖峰，小于0表示平峰。解析思路：根據(jù)偏度和峰度的定義進(jìn)行解釋。二、概率分布1.P(X=2)=C(5,2)*(0.1)^2*(0.9)^3=0.0729解析思路：使用二項(xiàng)分布公式計(jì)算。2.P(X<=5)=1-P(X>5)=1-e^(-3)*[1+3+(3^2)/2!+(3^3)/3!+(3^4)/4!+(3^5)/5!]=0.91608解析思路：使用泊松分布的累積概率公式計(jì)算。3.P(X<1.96)=0.9750P(-1.96<X<1.96)=P(X<1.96)-P(X<-1.96)=0.9750-(1-0.9750)=0.9500解析思路：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到概率。4.P(X>2)=1-P(X<=2)=1-0.8212=0.1788解析思路：查t分布表得到概率。5.P(X1>2.5)=0.6026P(X2<3.5)=0.9599解析思路：查F分布表得到概率。三、概率論1.P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)=0.6*0.7/(0.5*0.7+0.5*0.6)=0.6667解析思路：使用貝葉斯定理公式計(jì)算。2.P(紅,紅)=(5/8)*(4/7)=0.3571解析思路：使用古典概型公式計(jì)算。3.E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2*5-3*10=-10Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-2)=8解析思路：根據(jù)期望值和方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。4.貝葉斯定理描述了在已知部分條件下，事件發(fā)生的概率。它在投資決策中可以用于更新對某項(xiàng)投資的概率估計(jì)。解析思路：根據(jù)貝葉斯定理的定義和應(yīng)用進(jìn)行解釋。5.E(XY)=E(X)*E(Y)=5*10=50Var(X+2Y)=Var(X)+4Var(Y)+4Cov(X,Y)=4+4*9+4*(-2)=20解析思路：根據(jù)期望值和方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意協(xié)方差為0。四、假設(shè)檢驗(yàn)1.H0:μ>=100,H1:μ<100Z=(98-100)/(10/sqrt(50))=-1.4142p=P(Z<-1.4142)=0.0793>0.05不拒絕H0解析思路：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到p值，與顯著性水平比較做出決策。2.H0:μ>=15,H1:μ<15t=(14.6-15)/(sqrt(10.24/5))=-0.5477p=P(t<-0.5477)=0.3023>0.10不拒絕H0解析思路：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，查t分布表得到p值，與顯著性水平比較做出決策。3.第一類錯(cuò)誤是拒絕H0，但H0為真。第二類錯(cuò)誤是接受H0，但H0為假。兩者之間存在權(quán)衡關(guān)系，減小一類錯(cuò)誤會增加另一類錯(cuò)誤的概率。解析思路：根據(jù)第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的定義進(jìn)行解釋。4.H0:μ_new<=μ_control,H1:μ_new>μ_control檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=(5-2)/sqrt[(10^2/50)+(8^2/50)]=1.9365p=P(t>1.9365)=0.0294<0.01拒絕H0解析思路：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，查t分布表得到p值，與顯著性水平比較做出決策。5.置信區(qū)間是在一定置信水平下，包含總體參數(shù)真值的區(qū)間。它在實(shí)際應(yīng)用中可以用來估計(jì)總體參數(shù)的范圍。解析思路：根據(jù)置信區(qū)間的定義進(jìn)行解釋。五、回歸分析1.截距項(xiàng)表示當(dāng)公司規(guī)模為0時(shí)，股票收益率的預(yù)測值。斜率表示公司規(guī)模每增加一個(gè)單位，股票收益率變化的預(yù)測值。解析思路：根據(jù)回歸系數(shù)的含義進(jìn)行解釋。2.預(yù)測價(jià)格=50000+200*2000-1000*10=450000解析思路：將房屋面積和年齡代入回歸方程進(jìn)行計(jì)算。3.回歸系數(shù)的