2026屆北京市人大學(xué)附屬中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.2．已知長方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（）A. B.C. D.3．總體由編號為的30個個體組成.利用所給的隨機數(shù)表選取6個個體，選取的方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）A.20 B.26C.17 D.034．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.505．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.56．已知正方體中，分別為棱的中點，則直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.7．已知橢圓的右焦點為，為坐標(biāo)原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.329．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.11．已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.512．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的焦點，過F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的方程為_________14．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為____________.15．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個.(結(jié)果用數(shù)值表示)16．在正項等比數(shù)列{an}中，若，與的等差中項為12，則等于_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積19．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值20．（12分）命題：函數(shù)有意義；命題：實數(shù)滿足.（1）當(dāng)且為真時，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.22．（10分）△ABC的三個頂點分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設(shè)直線與圓M交于兩點，求|PQ|的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D2、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，易知平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故選：A3、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以內(nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以內(nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過重復(fù)的舍去，找到第5個個體的編號.【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，所以選取出來的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來的第5個個體的編號為03.故選：D4、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A5、C【解析】作出圖形，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.6、D【解析】以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,B,D1點的坐標(biāo)，利用直線夾角的向量求法求解【詳解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選D【點睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用及向量夾角的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.8、C【解析】依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得【詳解】由隨機變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線由，可得則，故故選：C9、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時，成立，反過來，當(dāng)時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求得，再求解【詳解】因為，所以，所以故選：C11、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因為點A的縱坐標(biāo)為4，所以點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學(xué)生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.12、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線與雙曲線有且只有一個交點，且焦點，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：14、【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，并計算，利用點斜式寫出切線方程.【詳解】，由題意，切線的斜率為，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：15、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因為滿足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：16、128【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項公式列方程組求出首項和公差，進而可得.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案為：128.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)題意，列出方程，即可求得公差以及通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合等差數(shù)列的前項和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【小問1詳解】因為，所以，故可得，所以.【小問2詳解】因為，所以.于是，令，則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比，所以數(shù)列的前n項和.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）若，構(gòu)建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對應(yīng)的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點坐標(biāo)可得到參數(shù)的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點，，點，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值20、(1)；(2)【解析】(1)首先將命題，化簡，然后由為真可得，均為真，取交集即可求出實數(shù)的取值范圍；(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件，進而將問題轉(zhuǎn)化為，從而求出實數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真，則，解得，當(dāng)時，命題，若命題為真，則，解得，所以，因為為真，所以，均為真，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為(2)因為是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個命題的真假，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍，同時考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)問關(guān)鍵是將問題等價轉(zhuǎn)化為兩個集合間的真包含關(guān)系21、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求得，即可求得答案；