吉林省長春六中、八中、十一中等省重點中學2026屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.132．若等差數(shù)列的前項和為，首項，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.3．設等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.當時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數(shù)n是154．某學生2021年共參加10次數(shù)學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；5．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.6．函數(shù)在和處的導數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定7．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．2021年7月，某文學網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.9．設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.1811．已知點是橢圓上一點，點，則的最小值為A. B.C. D.12．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點M(π，0)處的切線方程為________14．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.15．已知直線與直線平行，則實數(shù)______16．一個四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍18．（12分）某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童．此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻，還為公司獲得了相應的廣告效益，據(jù)測算，首日參與活動人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設此項活動的啟動資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？19．（12分）已知函數(shù)f（x）+alnx，實數(shù)a＞0（1）當a＝2時，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，10）上的單調(diào)性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關(guān)于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）如圖，P為圓上一動點，點A坐標為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A的直線l交E于C，D兩點，若△BCD內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.21．（12分）已知橢圓的左焦點為，點到短袖的一個端點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點，若，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質(zhì)，，進而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.2、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和，確定和的正負【詳解】∵，∴和異號，又數(shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時成立的的值，解題時應充分利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數(shù)是，故D錯誤.故選：D4、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標準差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標準差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.5、C【解析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當時，，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.6、A【解析】求出函數(shù)導數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.7、B【解析】實數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數(shù)，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是故選：B【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.8、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：9、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C10、D【解析】利用給定的通項公式直接計算即得.【詳解】因數(shù)列的通項公式為，則有，所以.故選：D11、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.12、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點坐標即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，所求切線的斜率為：，由于切點坐標為，故切線方程為：.【點睛】導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點三是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導，其導數(shù)為兩層導數(shù)之積.14、【解析】當圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時，橢圓和圓有四個不同的焦點，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.15、【解析】分類討論，兩種情況，結(jié)合直線平行的知識得出實數(shù).【詳解】當時，直線與直線垂直；當時，，則且，解得.故答案為：16、1【解析】由已知中一個四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案【詳解】一個四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設除PC外的棱均為2，設P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當P到平面ABC距離h最大時，三棱錐體積最大，故當平面PAB⊥平面ABC時，三棱錐體積最大，此時h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數(shù)x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是18、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對活動天數(shù)進行討論，列出不等式求出的范圍即可.【小問1詳解】設第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.【小問2詳解】設活動第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）若，則，解得∴活動開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余.19、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導數(shù)，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和極值可得答案【小問1詳解】函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當a＝2時，，導數(shù)為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導數(shù)為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當010，即a時，當0＜x時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＜10時，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當10即0＜a時，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當a時，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，10）上單調(diào)遞增，f（x）在x時取得極小值，無極大值當0＜a時，f（x）在區(qū)間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等價為存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因為a＞0，可得當0＜x時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x時，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以當x時，g（x）取得極小值，且為最小值，由題意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，當x∈（0，2）時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x∈（2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減所以當x＝2時，h（x）取得極大值，且為最大值h（2）＝0所以滿足的實數(shù)a的取值范圍是（0，2）∪（2，+∞）20、（1）（2）【解析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立